必修五不等式专题复习

《不等式》专题复习

知识回顾

一．不等式的主要性质：

(1)对称性： (2)传递性：

(3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则：

(同向同正可乘)

(5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：

作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

二．解不等式

1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集：

2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；

（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<112023

3、分式不等式的解法（转化为常规不等式）

()()0()

()

0()()0;0()0

()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??

≠? 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理

4、不等式的恒成立问题：

应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

三、线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件 ②线性目标函数

③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解：

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

四．均值不等式

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.

2．如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 变形： ① a+

b ≥ab 2；

②ab ≤2

2??

?

??+b a , 当且仅当a=b 时取等号.

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为

定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 3.常用不等式有：

（1

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，2

22a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等

号）；

（3）若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。 典例剖析

题型一：不等式的性质

1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 11,0<<<则若； ⑤b

a

a b b a ><<则

若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设2a >，12

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

4. 若)2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b

a R

b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关

系是 .

题型三：解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式2

5123

x

x x -<---

8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集为______

10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<

题型四：恒成立问题

11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________

12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范

围.

13. 已知0,0x y >>且19

1x y

+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范

围。

三．基本不等式

题型五：求最值

14. （直接用注正数）求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2

＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x

15. （配凑项）

（1）已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数()a f x x x

=+的单调性。 17. 求函数2

y =

18. （条件不等式）

（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

（2） 已知0,0x y >>，且19

1x y

+=，求x y +的最小值。

（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.

（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1

ab 的最小值.

题型六：利用基本不等式证明不等式

19、已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2

19. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc

16．（12分）设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：2

25

)1()1(22≥+++b b a a ．

题型七：均值定理实际应用问题：

20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图

如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

四.线性规划

题型八：目标函数求最值

21. 满足不等式组??

?

??>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值

22、已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1b

a -的取值范围是

23、已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥??

+≥??≥?

,则

222x y x ++的最小值是

24、已知变量230

,330.10x y x y x y y +-≤??

+-≥??-≤?

满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）

仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。

25、已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥??

≤-??+≤?

，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m

等于（ ）

题型九：实际应用

22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30

元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

易错点剖析

1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重

要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通”，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；

例1、正数a 、b 满足 b a +=1， )1)(1(++b a 的最大值 。

分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。

（2）要利用b a +=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。

解：∵ 23

2)1()1()1)(1(=+++≤

++b a b a ， 当且仅当 ???=++=+1

)1()1(b a b a

即21==b a 时取得“=”。 ∴ )1)(1(++b a 的最大值是 2

3

例2、已知正数a 、b 满足 b a +=1， 求 22)1()1(+++b a 最小值；

分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式④。 解：∵)(222b a b a +≤+，∴ ])1()1[(2)1()1(22+++≤+++b a b a

≤?3])1()1[(222+++b a 2

9

)1()1(22≥+++?b a ，

当且仅当21==b a 时取得“=’。 ∴ 22)1()1(+++b a 最小值是2

9

。

注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握

如： “配系数”（将“x ”写成“x 221?”或“x 2

1

2?”）；

“拆项”（将“1

3

32+++x x x ”写成“111)1(++++x x ”）； “加、减凑项”（将“x ”写成“ 1)1(-+x ” ）； “升降幂” （2)(,0a a a =>） 等都是常用的“技术处理”方法。

例3、 已知 0,0>>b a ，求证：b a a

b b a +≥+ 分析：从结构特点和字母的次数看与变式⑤吻合，可从此式入手。

解：∵ 若b>0,则

b a b a -≥22， ∴ b a b

a

-≥2……① a b a

b

-≥2……② ∴由 ① + ② ? b a a b b a +≥+。 例4、已知0>>b a 求 )

(16

2b a b a -+的最小值。

分析：本题求“和”的最小值，但“积”并不是定值，故需要进行“拆项”变形等“技术处理”，注意到 a b a b =-+)(，容易找到解题的突破口…

解：由0>>b a ? 4

4)]([)(2

2a b a b b a b =-+≤-，

于是)(162

b a b a -+≥4

1622

a a +=166422≥+a a ，当且仅当???2264a

a b a b =-=

即2,22==b a 时取“=”∴)

(16

2b a b a -+的最小值是16。

另外也可由 )(162b a b a -+

=+-+2)]([b a b )(16

b a b - = … ≥

16)

(16

)(4≥-+-b a b b a b 来求得此最小值。

二、 使用均值定理的注意事项（易错提醒）

1、应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三

相等”， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定

值， 然后必须注意等号可以成立。 如x x 22sin 4

sin +的最小值是5 ； 但

使用均值不等式容易误解为是4，因为x

x 2

2sin 4

sin =不成立（不能取“=”）。 2、在使用均值不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成

立的条件是否一致。如例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。

3、在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用

函数的单调性来解决。如求 x

x 2

2sin 4

sin + 的最小值，可利用函数x

x x f 4

)(+=的单调性来解决。

三、 应用举例：循序渐进，学会变型（配套训练）

1.求1,12

22>-+-=

x x x x y 的最小值。 （ 2 ） 2.求1,2

212

>+--=x x x x y 的最大值。 （ 21

） 3.求函数1

2++=x x x y 的值域。 （ [ - 1 ，31

] ）

不等式专题检测

一、选择题：

1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）

A ．c b c a -≥+

B ．bc ac >

C .

02

>-b

a c D ．0)(2≥-c

b a 2、若0<

A ．b a 11>

B ．

a

b a 1

1>- C ．31

31

b a < D ．3

232

b a >

3．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）

A ．3-≤m

B ．3-≥m

C ．03≤≤-m

D ．03≥-≤m m 或

4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ）

A ．最小值21和最大值1

B ．最小值43

和最大值1

C ．最小值21和最大值43

D ．最小值1

5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y

y

x x b ++

+=11， a 与b 的大小关系

（ ）

A ．a >b

B ．a

C ．a ≤b

D ．a ≥b

6．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．4-

B ．4->a

C ．12->a

D ．12-

7．若)2

1

,0(∈x 时总有,0)21(log 12>--x a 则实数a 的取值范围是( ）

A ．1||

B ．2||

C ．2||>a

D ．2||1<

8．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲、 乙两人谁先到达指定地点 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．甲乙同时到达 D ．无法判断

9．设变量x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≥+≤632x y y x x

y ，则目标函数y x z +=2的最小值为

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9 10.设f (x )是奇函数，对任意的实数

x 、y ，有

,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当则f (x )在区间[a ,b ]上（ ）

A ．有最大值f (a )

B ．有最小值f (a )

C ．有最大值)2(b a f +

D ．有最小值)2(b

a f + 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：

11．已知12

24a b a b ≤-≤??≤+≤?，求42t a b =-的取值范围 ．

12．若=-+?-=≤≤++m M m M y x x x 则最小值是的最大值是函数,,7234

,2022

1

．

13．函数1

1

)(22+++=x x x x f 的值域为 ．

14．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m ，4m 的

堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 ． 15、下列四个命题中：①a +b ≥2ab ②sin 2x +x

2sin 4

≥4 ③设x ，y 都是正数，若y

x

9

1+

=1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

16 、已知ABC ?的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，求b

a

的取值范围．

17. 设集合},0)2(2|{},045|{22=++-=>+-=a ax x x B x x x A

若A B ≠ ，求实数a 的取值范围．

18．一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有

254cm 的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．