陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答(9-11章)

第九章习题解答

9-1. 用白光再现彩虹全息时，如果彩虹全息有实狭缝象，在狭缝实象处观察全息图，人眼将能观察到单色的全息象，试分析人眼在狭缝前后位置时的全息象的颜色分布情况。如彩虹全息再现的是虚狭缝，再分析人眼观察到的全息象情况。 答：

在图示的情况下，物的两个端点为A 和B 点，它们被全息记录在一条线区域上，当白光再现时，这一区域的衍射光是色散的，长波长的衍射角较大，而短波长的衍射较小，。按图示的光路结构， A 点的长波长沿AM 方向衍射，短波长沿AN 方向衍射，B 点的长波长沿BN 方向衍射，短波长沿BM 方向衍射。假设沿AP 和BP 方向衍射的波长相同，那么人眼在P 处观察将看到单色象，当眼睛靠近全息图时，将看到象的上方偏蓝，而下方偏红，反之则相反。

对于虚狭缝的情况，如上图所示，P 点是某一衍射波长的虚狭缝，A 和B 两点是两线全息图，象上的两点与它们对应，AM 是线全息图A 最短波长的衍射方向，BM 是线全息图B 的最长波长衍射方向。显然，眼睛在M 点观察，将能看到A 、B 之间的所有象点，但它们的颜色呈光谱色分布，在图示情况下，上部是紫色，下部是红色。眼睛观察到的象的范围由眼睛离全息图的距离决定，离得越远，观察到的范围越大。

9-2. 用白光点光源再现彩虹全息时，人眼将能观察到由光谱色组成的单色象。如果用白光线光源作为再现光源，线光源的扩展方向与狭缝方向垂直，这时观察到的是消色差的黑白象，试解释其原因。 答：线光源可以看成由无数个点光源组成，每一个点光源都按光谱色排列形成一组彩色狭缝，线光源上不同点形成的狭缝的位置各不相同，它们在与狭缝垂直的方向上平移。这无数个狭缝相互迭合在一起，使人眼在该处观察时，无数个不同波长的再现象重合在一起，这也就形成了消色差的黑白象。

9-3. 在一步法彩虹全息记录光路中，物的大小为10cm ，人双眼的瞳孔间距为6.5cm ，透镜的孔径为20cm ，对物体1：1成像，如狭缝距全息图30cm ，要求人双眼能同时看见完整的象，试计算成像透镜的焦比。 解：

设透镜L 对物1:1成象，由上图可见，只有人眼在POQ 三角区域内才能观察到整个物体的象，显然狭缝应在使MN 大于等于双眼间距处。设透镜孔径为D ，焦距为f ，物体AB 大小为a ，人眼瞳孔间距为d ，狭缝距象的距离为L 。由图中的几何关系可以得到

d

a aL

MN AB L AB O O +=+?=

'

O O a

f a D '

=-2 所以

a

D D L d a f D -+=2 将D=20cm ，a=10cm ，d=6.5cm ，L=30cm 代入上式，得到D/f=2.2，这是一个很不切合实际的数据。实际上用一步彩虹全息是不可能获得大观察范围。

9-4. 在用横向面积分割法制作彩色彩虹全息母板的方法中，已知下列条件：三色光的中心波长分别为645.2nm 、526.3nm 和444.4nm ；第一步记录时被记录物中心位于建在母全息图H M 的坐标系的z 轴，物体距H M 30cm ；第二步记录时参考光为平行光，入射角30?；白光再现时入射光是入射角为45?的平行光，三色再现狭缝位于z 轴；设两次记录的波长均为442nm 。试据以上条件，确定H M 上H 1、H 2、和H 3的位置。如果每个狭缝的光谱带宽为10nm ，试确定狭缝宽度。 解：

(a) (b)

图(a)和图(b)是本习题的记录和再现光路。在图(a)中设三个狭缝图象中心的入射角分别

S R

S G

S B

是θR 、θG 和θB ，参考光入射角是θr ，图(b)是共轭再现光路，再现光入射角是θc ，图象中心三狭缝的不同色光的衍射光方向相同，设衍射角为θi 。由光栅方程

()r o c i θ-θλλ

±

θ=θsin sin sin sin 0

， 得到共轭再现时的θo ，

()c i r o θ-θλ

λ-

θ=θsin sin sin sin 0

， 式中λ0和λ分别为记录波长和再现波长，θo 的下标o 分别对应于R 、G 和B 。按题中条件及图(a)的坐标系，

?=θ?=θ?-=θ180,135,30i c r

以λ0=442.0nm 和λ=444.4nm 、526.3nm 、645.2代入上式，得到

?-=θ-=θ73.11,203.0sin B B

?-=θ-=θ38.5,094.0sin G G ?=θ=θ89.0,016.0sin R R

以l =-30cm 计算，得到

cm l x B B 23.6tan =θ=

cm l x G G 82.2tan =θ= cm l x R R 47.0tan -=θ=

由于狭缝有一定宽度而引起的带宽可对光栅方程微分得到，即

λ?θθ-θλ

λ=

θ?o c

i o cos sin sin 2

0。 由此可得到狭缝宽度

cm w B 97.0=

cm w G 34.0= cm w R 22.0=

9-5. 采用图示的双狭缝彩虹全息记录光路，可以在同一张底片上记录两个物体的彩虹全息图，记录的方法步骤是：第一步，用挡板挡住S 2，用S 1对物体O 1曝光；第二步，用挡板挡住S 1，用S 2对物体O 2曝光。然后将显影的全息图用白光照明，人眼在不同位置即可看到不同物体的再现象。 （1）画出再现狭缝实象的示意图，说明再现象的特点。

（2）解释多狭缝彩虹全息图作多目标存储和假彩色编码的原理。

图 习题9-5 答：（1）以R 的共轭光再现全息图，在原狭缝处得到实狭缝，此时在实狭缝处观察，观察到的是赝象，即凹凸与原记录物体相反的象。

（2）记录多目标时，在透镜处放置多个狭缝，分别对应于不同的物体进行全息记录，再现时用单色光，眼睛位于不同的狭缝处，将能见到不同的物体。进行假彩色编码时，将待编码的物体分别置于透镜的物面，在透镜处分别遮挡不同的狭缝，记录在同一张全息图上，再现时用白光再现，不同编码图象按不同颜色重叠在一起，结果形成假彩色图象。

9-6. 有人提出用蓝色单色激光以反射全息的方式也可以记录二维彩色照片，方法是：将三张分色片分别置于记录介质一侧，并用散射屏照明，在记录介质另一侧分别用三个不同角度的参考光入射，在同一记录介质上记录三张分色片，当白光以某一角度再现全息图时，三分色片将分别被三原色再现，呈现彩色图象。试说明其原理，并作相应的三参考光入射角设计计算。（提示：用三棱镜与记录介质用匹配液匹配的方法可以增加参考光入射角；用布喇格条件和光栅方程进行设计，参考第5章和第7章体全息部分）。

答：反射体全息有很好的波长选择性，利用布喇格条件，可以按所要求的衍射方向和衍射波长推算出两束相干记录光束的入射角，这也就是本习题提出的记录彩色二维图片的原理。体全息中记录光与再现光之间的布喇格条件关系是

0cos cos cos cos 2211=λθ-λθ+λθ-λθi

c r o 0sin sin sin sin 2

211=λθ-λθ+λθ-λθi

c r o 式中角度量θ的下标o 、r 、c 、i 分别表示记录时的物光、参考光和再现时的再现光、衍射

光，它们均是介质内的量，λ1和λ2分别表示记录光和满足布喇格条件的再现光波长。按题意，θc 、θi 和λ2均由使用条件决定，利用上式求出θo 和θr ，从上式可以求出

????

??θ-θλλ+θ+θ=

θ-2sin sin 2211c

i c i o ???

? ??θ-θλλ-θ+θ=

θ-2sin sin 22

11c i c i r 。 在本习题中，θc 取207.7°（在记录介质中角度，空气中为225°），θI 取0°，λ2则取三原色波长，利用上式可求出在记录介质内的物光和参考光入射角。如取三原色波长为450nm 、530nm 和630nm ，得到参考光和物光入射角如下表

显然，如果在参考光入射的一边不采取其他措施，530nm 和630nm 的介质内入射角是无法实现的。采用45°直角三棱镜匹配的光路如下图所示。

把上表的数据折算成空气中的入射角如下表所示（表中r θ'为在直角三棱镜斜边的入射角），如果物光由散射角非常大的散射屏照明，表中的物光散射角没有什么意义，因照明光

中总有一部分物光满足表中的入射条件。实际上大散射角的照明会降低衍射效率，采用有一定散射角的散射屏更适合物光照明，散射的中心光线因满足下表中物光入射角。作全息记录时，在全息干板前分别换三原色掩膜，对应于它们的光路参数作三次曝光。在对全息干板进

第十章

习题解答

10.1

试比较被动三维传感和主动三维传感系统的原理、系统结构、适用范围和优缺点。（思

考题）

10.2 在三角测量法中通常采用的三种坐标系统如图10.6所示。试推导三种坐标关系中，物体的距离或高度z 与测量变量△x 之间的关系式，即三角测量法中的测量方程。

解答：

（1

）投影光轴与成像光轴平行。所构成的物三角形和像三角形是相似的直角三角形, 测量方程是。

x

bh

z ?=

式中：b 是物三角形的基线，h 是像三角形的高度，△x 是像三角形的基线，z 是物体的

匹配液 三棱镜 散射照明

距离或高度。

（2）投影光轴和成像光轴相交。θ是投影光轴与成像光轴的夹角，O 是两光轴交点并作为物体高度计量的原点，I 和I ′是成像系统的入瞳和出瞳，线阵探测器与成像光轴垂直，与I ′点的距离为f;当物距l 较大时，f 近似地等于成像透镜的焦距。由图中所示的几何关系可以导出。

x

f x

l z ?θθ??+?=

cos sin

(3) 投影光轴和成像光轴相交,探测器基线与成像光轴成一倾角β，当满足Scheimpflug 条件，即满足关系 βθtg k tg ?= 时，待测距离z 和可测变量△x 之间的关系式为

x

f x

f OI z ?βθθ?β?+?-=

sin cos sin sin )(

10.3 为什么说激光散斑对三角法测量精度具有重要影响，试解释公式(10.16)和(10.17)的物理含义，并说明如何提高激光三角法测量精度。

解答：由于物体表面的微观起伏的不确定性，在探测器上的像点的散斑分布也是不确定的，这种不确定性引起的光点中心的定位误差，因此激光散斑对三角法测量精度具有重要影响。公式(10.16)和(10.17)表明，这种不确定性与透镜的数值孔径、激光的波长和散斑的对比度有关。通过增大透镜的数值孔径，减小波长C ，降低散斑的对比度可以提高激光三角法测量精度。

10.4 在位相测量剖面术中，由于变形光栅像与传统的干涉条纹图相类似，因此变形光栅像有时又被称为“干涉图”。 在干涉计量中，光波长被作为度量微观起伏的尺度，而在位相测量剖面术中与投影条纹间距有关的“等效波长”被作为度量三维宏观面形的尺度。试比较这两种方法在物理概念上和条纹处理方法上的异同性。（思考题）

10.5 由于实际得到的位相数据是一个二维的采样点阵列，所以位相展开应针对二维进行。模仿一维位相函数的位相展开过程，推导二维截断位相函数φw(i,j) 展开过程的数学表达式.

解答：可以首先沿二维数据阵列中某一列进行位相展开，然后以该列展开后的位相为基准，沿每一行进行位相展开，得到连续分布的二维位相函数。例如首先沿二维数据阵列

中第一列展开，然后以该列展开后的位相为基准，沿每一行展开。

()()[]{}()()()

()()()[]0

5021120

50211121101101

=++--=++==++--=+=--,,.,,,,,./,,int ),(),(i j w w j u j w u i w w i i w u n n πj i φj i φINT n i φn πj i φj i φn n πi φi φn n πi φi φ 10.6采用远心光路的PMP 系统如图10.22所示。设图中θ=300 ，θ’=00，在参考平面上看到的投影正弦光栅是等周期分布的，其周斯0P =5mm ，求该系统的等效波长。如果系统对条纹位相的测量精度为2π/100, 求系统的测量精度。试讨论提高系统的测量精度的方法。

解答：等效波长 θλtg P e /0=＝8.7mm,系统的测量精度为0.087mm. 减小等效波长e λ可以提高系统的测量精度。 10.7

位相测量轮廓术和傅立叶变换轮廓术是基于三角测量原理，试比较调制度测量轮廓术

与上面两种方法在原理上的区别，并比较三种方法的测量精度。（思考题） 10.8

飞行时间法(TOF)是基于直接测量激光或其他光源脉冲的飞行时间来确定物体面

形的方法。图10.43是采用位相检测技术的TOF 系统框图，对时间的测量可以通过对调制光波的位相测量来实现。光束经9MHz 的调制器调制后投射到物接收的信号经9MHz 的滤波器后与基准信号比较，然后从位相变化计算出距离的变化。假定位相的测量精度为2π/100，求系统的测量精度。如果保持位相的测量精度不变，光束的调制频率提高到90MHz, 系统的测量精度是多少。

解答：系统的测量精度为0.33m 。如果光束的调制频率提高到90MHz, 系统的测量精度提高到0.03m 。

第十一章习题

11.1 试证明任意两个相互统计独立的随机变量之间相关系数为零。 答：参阅《统计光学（基本概念个习题）》P21。

证明 设V U 为两相互统计独立的随机变量，由于其相互独立，V U 的联合概率密度函数可为边缘概率密度函数的乘积：

)()(),(v p u p v u p V U V U ?=

因而V U 和的相关函数为

根据定义，V U 和的协方差则为

0=-Γ=-

-v u C V U V U

故相关系数)/(V U U V C σσρρ=为零。

11.2 若N 个微小随机相幅矢量

k j k e a N

φ1之和中每一个幅值

N

a k 及相位k φ都相互独立；

所有的k a 具有相同的概率分布，数学期望与二阶矩分别为a 和2a ；随机位相k φ均布于(]ππ,-区间内。试计算：（1）当N 趋近于无穷大时这N 个随机相幅矢量之和的实部和虚部的均值与方差及相关系数；（2）实部和虚部的联合概率密度函数并绘出复平面上等概率密度曲线图。如果随机位相k φ均布于???

?

?22-ππ,区间内计算结果及函数图象有何变化？

答：参阅《统计光学》P42-45及《统计光学（基本概念个习题）》P30-34。

解：设和矢量为a （用复数表示），即

1

k

N

j j k k ae a e φθ

===

a

其实部与虚部分别为

{

}1Re cos N

j k

k k r ae

a θ

φ===

{

}1

Im sin N

j k

k k i ae

a θ

φ===

根据N 个微元矢量的相互独立性可得

-

-∞

∞

-==Γ?v

u dudv v u uvp V U V U ),(

1cos N

k k

k r a φ==

1

sin N

k k

k i a φ==

对于均布与,22ππ??

-

???之中的Φk 有 /2

/2

1

2

cos cos k k k d ππφφφπ

π

-==

?

/2

/2

1

sin sin 0k k k d ππφφπ-==?

所以

2

0r i π

π

=

?

=

=

为了要计算2r

σ及2i σ，首先计算二阶矩2r 及2i ，

2

11

1cos cos N N

k n k n k n r a a N φφ===∑∑

2

11

1sin sin N N

k n k n k n i a a N φφ===∑∑

式中

2

2/2/22

cos cos ,

cos cos cos ,4,11(1cos2),24

,1,2

k n k n k k k d n k n k ππφφφφφπφφππ-??=?

???

??=??+???≠??=?

?=??? 当当

2

2/2/2sin sin ,

sin sin sin ,4,11(1cos2),20,1

,2

k n k n k k k d n k n k ππφφφφφπφφπ-??=?

???

??=?

?-??≠??=?=??? 当当 因而

2

22

2224(1),22

a a r N a i π=+-=

故有

2

222

22222

4,22

r i a a a r r i i σσπ=-=-=-=

要计算相关函数，还需要计算实部与虚部之间相关函数，

N

11

1a cos cos N i k n k n k n r a N φφ===∑∑

其中

/2/2cos sin ,

cos sin cos sin ,0,1

sin2,20

k n k n k n k k n k d n k ππφφφφπ

-??=?

??≠?

?

?=??=?当当 最后可得出

0i r i

r r i

ρσσ-=

=

这说明实部与虚部之间仍是不相关的。

因为N 是个很大的数，由中心极限定理知实部r 与虚部i 分别为高斯随机变量，即

2222()422R r p r a a π?????- ??????=-?????? ?-?? ??????

?

2

2

()

2

2

I

i

p i

a

??

??

??

=-??

??

??

??

因为r与i不相关，其联合概率密度函数仍为高斯型，可写作

2

2

22

2

(,)

8

RI

p r i

r

i

a

a

a

π

??

??

?

??

??

-

??

??

??

=--

??

??

??

??

-

??

??

??

??

图1.12为r与i的联合等概率密度曲线简图，若图中各椭圆之长短轴分别为a n与b n，则有

2

22

8

::()

n n

a

a b a a

π

=-

图(,)

RI

p r i的等概率密度曲线简图

11.3若图11.3中光学成像系统的脉冲响应函数为()y

x

h,，光瞳函数为()η

ξ,

P，试证明全息再现的变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式（11.27b）可以转化为（11.13）式中复自相干度的表达形式。

证明：变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式(11.27b)为

[]

?

?

-

-

-

-

=

2

r

r

r

r

(r)

d

r

r

)

r

(r

d

h

d

h

h

2

*

)

(

μ

该式右边分子是脉冲响应函数的自相关函数，根据自相关定理，可以表示成脉冲响应函数的傅氏变换的模平方的傅氏反变换，即

[]

???

??

????+2=

---2ηξηΔξΔλπηξd d y x z j exp P d h h )(),(*

0200r (r)d r r )r (r

式中(r)d 2是和y x ΔΔ的两个分量。当(r)d 2即和y x ΔΔ为零时，式 (11.27b) 右边分子变为分母的形式，因而有 []

???

2

=

--ηξηξd d P d h h ),(*

000r r r )r (r

将上述两式代回相关因子的表达式中，（11.27b ）即可转化为（11.13）式中复自相干度的表达形式。

()????2

2??????+2=η

ξηξηξηΔξΔλπηξΔΔμd d P d d y x z j exp P y x ),()(),(, （11.13）

11.4 在如图11.2的全息干涉记录光路中置于物面处的被测物在激振器驱动下垂直于物面

进行稳态振动，照明参考光与物面法线方向夹角可近似为不变的30°。用时间平均法记录下的全息图处理后放到图11.3的全息干涉再现光路中，再现参考光与物面之间几何关系与记录光路中完全相同。如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗纹，试问稳态振型的振幅最大值是多少？假设记录和再现的光波长为633纳米。 答：因为在时间平均法记录下的全息图重现像的振动图样中，不运动的区域即节线处显示最亮的条纹，随着条纹级次的增加，亮条纹的强度逐渐下降。如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗纹，稳态振型的振幅最大值处是第三条暗纹。因此

65378=4.max B λ

π

故振幅最大值为

μπ

λ

B 4360=4?65378=..max

11.5 分离再现外差全息干涉方法中，如果被测物的空间频谱分布在0-f 与0f 之间，而且

两束参考光均为平面波，试问参考角α，β（参阅图11.7）需满足什么条件才能保证外差全息干涉图与噪声项完全分离？

答：分离再现外差全息干涉方法中，复原到全息记录面上的处理好的全息图振幅透过率可表示为

[

]2

222110++++=)

()()(h h h r r r A R A R βττ

再现时用调制频率为0ω与ωω?+0的两束光照明全息图，则由全息图射出的光场分布由三部分组成，第一部分为再现光场中的直透项，不会产生干涉现象，第二部分为再现出的原物光场及交叉再现光场，第三部分为再现出的原物光场的共轭光场及交叉再现光场。因为第二部分和第三部分光场分布在第一部分直透光场的两侧，只要第一部分直透光场与第二部分光场不重叠，第三部分光场就不会与第二部分再现出的原物光场重叠，只需要保证第一部分直透光场与第二部分光场不重叠就可以了。如果参考角α和β的两束参考光分别记录

)()(h h r r A A 和1，两束参考光的空间频率可表示为

λαsin f =1 和 λβsin f =2 第一部分的直透项中对应于2

1)

(h r A 的空间频谱分布在10+2-f f 与10+2f f 之间，对应于

2

2)(h r A 的空间频谱分布在20+2-f f 与20+2f f 之间，其他直透项对应着频域的δ函数。

第二部分中再现出的原物光场)()(h h r r A A 和1的空间频谱，分布在0-f 与0f 之间。第二部分中再现出的两个交叉再现光场的空间频谱，则分布在210-+-f f f 与210-+f f f 之间和

120-+-f f f 与120-+f f f 之间。不失一般性，假设α<β。欲使第二部分中再现出的原物光

场和两个交叉再现光场不重叠，则要求 1200-+-

欲使第二部分中再现出的原物光场和第一部分中对应于2

1)(h r A 和2

2)(h r A 的直透项不

重叠，则要求

100+2-

03>f λsin α-1

??

?

?

?+

2>01

-λαsin f λsic β

11.6 相移全息干涉技术中，已知三次相移)(t β分别取为

4π，π43，π4

5

，相应光强测量结果为)(i r 1I )(i r 2I )(i r 3I ，试计算(11-35)式中i r 处的相对初位相)(i r Δ。 答：相对初位相为：2

1231---=I I I I tg )(i r Δ。

11.7 在图11.9的双光楔剪切散斑干涉记录光路中，光楔玻璃折射率0n 为1.5，楔角α为

0.05°，物距0l 为500mm ，照明使用波长为633纳米的氦氖激光且入射光与观察方向

z 夹角ψ为30°，而()y x ,ω及()y x u ,分别为()y x ,点沿z 及x 方向变形产生的位移

分量。第一次拍摄两次曝光剪切散斑干涉图后，使物体绕z 轴旋转180°再拍摄一次。对应同一()y x ,点在两次拍摄的两次曝光剪切散斑干涉图中的条纹级数分别为2.5和3，试问()y x ,点沿z 及x 方向的应变为多大？ 答： 首先用式(11.41)计算剪切量

()43750=01750?050???=1-2=00...)(1-1.55002αδn l x

根据式(11.43)可以计算出x 方向的面内应变为

()()()()()()()()

3

-3-1221122110?72340-=+1-+1+13-+152?4375010?6330=???

?????+1-+1+1-+12=??....)()()()(000000cos30-30sin -30cos 30sin cos30-30cos cos sin cos sin cos N cos N x x u ψψψψψψδλ

再根据式(11.42) 计算出z 方向的离面应变为

3-3

-3

-10?132=866

0+110?72340?50+4375010?6330?52=

??.......x ω

11.8 在图11.16所示的全场滤波光学系统中，透镜焦距为500毫米，使用波长为633纳米

的氦氖激光照明，放大率为1，滤波孔中心离光轴15MM ，滤波孔直径有1.5、3、6MM 三种。如果被测物是一个直径55MM 的旋转圆盘，两次曝光之间转动角度为0.35°，记录两次曝光散斑图时的放大率也为1，而且相对口径足够大。试问用三种不同口径

滤波时得到的全场滤波条纹图上可以观察到条纹的区域直径分别为多大？ 答：该全场滤波光学系统可测量的面内位移的最大值分别为

mm D f f 2570=51500

?10?6330?221=221=3-1.....max λ2

d 。 m m 1290=3500

?10?6330?221=3-2...max 2

d 。 m m 0640=6

500

?10?6330?221=3-3...max 2

d 。 因为被测物是一个直径55MM 的旋转圆盘，两次曝光之间转动角度为0.35°，面内位移最大值为0.257mm 、0.129mm 、0.064mm 的区域都是圆，其直径分别为 mm 4784=350?1416360?2570=350?14163360?=21......d φ mm 2442=350?14163360?1290=2....φ mm 1221=350?14163360?0640=3....φ