高中数学.集合中的常用数学思想

当前形势

集合在近五年北京卷（理）考查5～18分

高考 要求

内容

要求层次 具体要求

A B C 集合的含义与表示

√

了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

集合间基本关系 √

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在具体情境中，了解全集与空集的含义．

集合基本运算 √

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

能使用Venn 图表达集合的关系及运算

北京 高考 解读

2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标） 第20题13分

第1题5分 第20题13分

第1题5分

第1题5分

第1题5分

<教师备案> 可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度．

对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到．

集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来．

集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反．这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲．

“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：

已知集合{}12n M a a a =，，，，121n a a a <<<≤，若对于任意1i j n ≤≤≤，i j a a ，

j

i

a a 中至少有1个在M 中，则称集合M 具有性质P ．判断{}1234，，，（不具有）、{}1248，，，（具有）、{}24612，

，，（不具有）是否具有性质P ．(更进一步的问题见华山论剑)

新课标剖析

集合中的常用数学思想

1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元

素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示； 不含任何元素的集合叫做空集，记作?． 2．元素与集合的关系：∈、?； 3．常见的数集的写法：

自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

N *N 或N + Z Q R 4．元素的性质：确定性、互异性、无序性．

5．集合的表示法 ⑴ 列举法．

⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：

形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．

⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集． <教师备案> ⑴ 元素的性质：

元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法：

① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合

{|24}A x x k k ==+∈Z ，，{|42}B x x k k ==+∈Z ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A =--，，，，，，，{22610}B =-，，，，，，就知道B 是A 的真子集；

② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}x A p x ∈，x A ∈表达x 的外延，即x 的最大

讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x 并不一定能取到A 中的所有，只是x 一定是A 中的元素，()p x 表示x 的内涵，是对x 的精确描述．

如：集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=，，，，，，，，

则3(212)S ∈，，，3(234)S ?，，． ③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；

④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到

集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)a a -，，就表示213a a -<，即1a >-．这与{|213}x a x a -<<是有区别的，这个集合可以出现213a a -≥的情况，此时这个集合是空集．

知识点睛

1.1 元素与集合

1．由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．

有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【解析】

C

2．下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）

A. 2{0}x x -=

B. 2{|0}y y y -=

C. 2{|}x y x x =-

D. 2{|}y y x x =-

【解析】 B ．

3．若{}2123A =-，，，，{}

2|B x x t t A ==∈，，则集合B 中的元素共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．7个 D ．8个

【解析】 A

考点1：元素与集合的关系 【例1】 ⑴

已知{}1021A x =-，，，且2x A ∈，求实数x 及集合A ．

⑵

已知a ∈Z ，集合{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -?，求满足条件的a 的值．

⑶

已知A 是数集，且满足：若x A ∈，则2

3A x

-∈，则当x = 时，A 中仅有1个元素．若

集合A 中有且仅有两个元素，集合A =_______．

【解析】 ⑴ 当0x =时，{}101A =-，

，；当1x =-时，{}103A =-，，． ⑵ 012，，；

⑶ 1或2；{12}，．

备注：所有的【备选】在学生版都不出现．．．．．．．．

，只在教师版与课件上出现，供老师选讲． 【备选】设A 是非空数集，0A ?，1A ?，且满足条件：若a A ∈，则1

1A a

∈-． 证明：⑴ 若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；

⑵ 集合A 不可能是单元素集；

⑶ 集合A 中至少有三个不同的元素．

【解析】 ⑴ 若2A ∈，则1

112

A =-∈-，于是

()11112A =∈--， 故集合A 中还含有1-，

1

2两个元素． ⑵ 若A 为单元素集，则11a a =-，即210a a -+=，此方程无实数解，∴1

1a a

≠-，

∴a 与1

1a

-都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集．

暑假知识回顾

经典精讲

⑶ 由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a

-∈?

∈?=∈----．

现只需证明a 、11a -、1a a

--三个数互不相等． ①若21101a a a a =

?-+=-，方程无解，∴1

1a a ≠

-； ②若2110a a a a a -=?-+=-，方程无解；∴1a

a a -≠

-； ③若211101a a a a a -=?-+=--，方程无解，∴111a a a -≠

--， 故集合A 中至少有三个不同的元素．

【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入

手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知a A ∈，1a ≠，得到1

1A a ∈-，

1111A a

∈--，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．

考点2：两个集合相等

<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相

等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．

【例2】 ⑴设a b ∈R ，，集合{1}{0}a b =，，，则b a -=_____． ⑵

若a ，b ∈R ，集合{}10b a b a b a ??

+=????

，，，，，则b a -=_____． ⑶由三个实数构成的集合，既可以表示为1b a a ?

????

?，，，也可表示为{}

20a a b +，，，则20132013a b +=____．

【解析】 ⑴ 1；

⑵ 2； ⑶ 1-；

点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从

特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和b

a

中的a 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．

考点3：集合中涉及到的数学思想

<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例

6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．

【例3】

已知集合{}

2|320A x ax x =++=中至多有一个元素，则实数a

的取值范围是 ．

【解析】 0a =或9

8

a ≥．

解法一（按照A 的元素个数分类讨论）：

解法二（按照方程的次数分类讨论）：

解法三（先考虑问题的反面）：

备注：所有的【拓展】在学生版都不出现．．．．．．．．

，只在教师版与课件上出现，供老师选讲． 【拓展】已知{}

2|0A x x x a =++≤，{}

2|210B x x x a =-+-<，{}|49C x a x a =-≤≤，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．

【解析】 5|38a a a ??

≥或．

=? ≠? A 14a >

14a ≤

B

58a ≥

58

a < C

3a <

3a ≥

至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：A ≠?或B ≠?或C ≠?也就是14a ≤，5

8

a <

和3a ≥取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”?取A =?，B =?，C =?的公共部分也就是交集，再取个补集就行． 当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．

若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．

1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ?或B A ?； 规定：?是任意集合的子集．

如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ?，且存在x B ∈，但x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，

记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．

规定：?是任意非空集合的真子集．

3．集合相等：如果A B ?，且B A ?，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ． 4．交集：{}|A B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|A

B x x A x B =∈∈或；

6．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．

②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈?，

且． 知识点睛

1.2集合之间的关系与运算

7．A B A B A A B B ??=?=．

<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，

老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算．

1．⑴ 下列各个关系式中，正确的是（ ）

A ．{}0?=

B ．2∈Q

C ．{}{}3553≠，，

D ．{}{}

21|x x x ?= ⑵ 若集合{}1M x x =>-，则下列关系成立的是（ ）

A ．0M ?

B ．{}0M ?

C ．M ?∈

D ．{}0M ∈

⑶ 已知两个集合1M x y x ??=∈=????R ，1N y y x ?

?=∈=???

?R ，这两个集合的关系是（ ）

A ．M N =

B ．M N ∈

C ．M N

D ．M N ⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ，

，{}42P x x n n ==+∈Z ，，则下列关系正确的是（ ） A ．S P ? B ．S P = C ．S P D ．S P

【解析】 ⑴ D

⑵ B ⑶ A ⑷ C

2．⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<

N =___________．

⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ，，{210}N =--，，，则M

N =_________．

⑶ 已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集

合()U A B 中元素的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】 ⑴ {}101-，

， ⑵ {}2101--，，

， ⑶ B

考点4：集合的关系 【例4】 ⑴

设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ，，{}|64N x x k k ==+∈Z ，，{|32}P x x k k ==-∈Z ，，

则下列说法正确的有________．

①M N P = ②()M N P ③M N =? ④P M N =

⑵

设集合1|24k M x x k ??==+∈????Z ，，1|42k N x x k ??

==+∈????

Z ，，则（ ）

A ．M N =

B ．M N

C ．M N

D ．M N =?

暑假知识回顾

经典精讲

⑶

已知集合1|6M x x m m ??==+∈????Z ，，1|23n N x x n ??

==-∈????

Z ，，

1|26p P x x p ??

==+∈????

Z ，，则M 、N 、P 满足的关系是（ ）

A ．M N P =

B ．M N P =

C ．M N P

D ．N

P M =

【解析】 ⑴ ③④；

⑵ B ； ⑶ B ；

考点5：集合的关系与运算

<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵

－⑷是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！

为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．

【例5】 ⑴已知{}{}

22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a ∈R ，如果A B B =，

则实数a 的取值范围是_______．

⑵已知集合{}|25A x x =-<<，{}|121B x a x a =+-≤≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ．

⑶已知集合{}|40A x x x =><或，{}|10B x ax =->，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ．

⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ，，{}15B x x x =<<∈R ，，若A B =?，则实数a 的取

值范围是___________．

【解析】 ⑴ {|1a a -≤或1}a =；

⑵ {|3}a a <；

⑶ 1|4a a ?

????

?≤；

⑷ {|0a a ≤或6}a ≥；

【拓展】设集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|2151B x a x a =-+≤≤，若A B ?，则实数a 的取值范围是

__________；若A

B ，则实数a 的取值范围是___________．

【解析】 ①{|1a a <-或01}a ≤≤；

② {|01}a a ≤≤；

<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解A B ?，需要从

元素角度出发：即对任意的x A ∈，有x B ∈；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明．

集合的运算满足德摩根律：①()U A B =()()U U A B ；②()U A B =()()U U A B ． 对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下： 证明：① 对任意的()U x A B ∈，则x A B ?，从而x A ?且x B ?；

因为x A ?，所以U x A ∈；因为x B ?，所以U x B ∈，从而()(

)U U

x A B ∈；

从而有

()()()U

U U A

B A B ?；

对任意的()()U U

A B x ∈，则U

x A ∈

且U x B ∈，从而x A ?，且x B ?．

故()x A B ?，即()U

x A

B ∈

，故()(

)()U U

U

A B A B ?

．

综上有

()U

A B =

(

)(

)U

U

A B ；

②对任意的()U

x A B ∈，则x A

B ?，从而x A ?或x B ?；

若x A ?，则U x A ∈，从而()

(

)U U

x A B ∈；若x B ?，则U x B ∈，从而(

)(

)U

U

x A B ∈；

从而有

()()

()U

U U A

B A B ?；

对任意的()

()U U

A B x ∈，则U x A ∈或U x B ∈，即x A ?或x B ?，从而()x A

B ?，

故()U x A B ∈，故()()()U U U A B A B ?． 综上有，()U A B =()()U

U

A B ．

德摩根律的严格证明并不容易，学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有．德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的，韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观．见例6．

考点6：韦恩图 【例6】 ⑴

设A 、B 、I 均为非空集合，且A B I ??，则下列各式中错误的是( ) A ．()I A B I = B ．()()I I A B I = C ．()I A B =? D ．()()I I I A B B = ⑵

若全集{}123456789U =，，，，，，，，，A 、B 为U 的子集，且(){}19U

A B =，，

{}2A

B =，(

)(

){}468U

U

A B =，，，求A 、B 和

U

B ．

【解析】 ⑴ B ； ⑵ {}2357A =，，，，{}129B =，，，

{}345678U

B =，，，，，．

A

A∩C U B B A∩B B∩C U A

C U (A ?B )

U

U

4,6,8

1,9

2

B

3,5,7A

考点7：子集个数问题(尖子班选讲)

若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．

<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当A 中有两个元素时，记为212{}A a a =，，2A 的子集有4个；

当A 中有三个元素时，记为3A ，32

3{}A A a =，2A 的四个子集仍然为3A 的子集，且这些

子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集，且3A 的每个子集都可以归在这两类中，从而3A 的子集个数是2A 的两倍，从而3A 有8个子集，可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集．

如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到n A 的子集，只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中，对n 个元素，可以通过n 步得到，每步有两种不同的方法，故共对应2n 个子集．

【例7】 ⑴

已知A B ?，A C ?，{01234}B =，，，，，{0248}C =，，，，则满足上述条件的集合 A 的个数是（ ）

A ．8

B ．32

C ．16

D ．4

⑵

已知{12310}A =，，，，，{12345}B =，，，，，若C 是A 的子集，且B C ≠?，则子集C 共有_____个．

⑶若集合A 满足：对任意x A ∈，都有1

A x

∈，就称A 是“和谐”集合．则在集合

111012345632M ??

=-????

，，，，，，，，， 的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个．

【解析】 ⑴ A

⑵ 992； ⑶ 15

（2009年北京）已知数集{}12n A a a a =，，，()1212n a a a n <<<≤，≥具有性质:P 对任

意的i j ，()1i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A ．

⑴ 分别判断数集{}134，，与{}1236，，

，是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 证明：11a =，且

1211

1

12n

n n

a a a a a a a ---++

+=+++． 【解析】 ⑴ 由于34?与

4

3

均不属于数集{}134，，，所以该数集不具有性质P ． 由于12?，13?，16?，23?，62，63，11，22，33，6

6

都属于数集{}1236，，

，， 所以该数集具有性质P ．

⑵ 因为{}12n A a a a =，，，具有性质P ，所以n n a a 与n n

a

a 中至少有一个属于A ．

由于121n a a a <<<≤，所以n n n a a a >，故n n a a A ?．

从而1n n

a

A a =∈，故11a =．

因为121n a a a =<<<，所以k n n a a a >，故()23k n a a A k n ?=，

，，． 由A 具有性质P 可知

()123n

k

a A k n a ∈=，，，，． 又因为121n n n n n n a a a a

a a a a -<<<<，

所以121121n n n n n n n n a a a a

a a a a a a a a --====，，，，．

从而121121n n n n n n n n a a a a

a a a a a a a a --++++=++++，

故12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++．

【演练1】设集合{}113A =-，，，{}

224B a a =++，，{}3A

B =，则实数a =_____．

【解析】

1．

【演练2】⑴ 已知{}234567U =，

，，，，，{}3457M =，，，，{}2456N =，，，，则（ ） A ．{}46，M

N = B ．M

N U =

C ．()U N M U =

D ．()

U M N N =

⑵ 已知集合{}|1M y y x ==+，(){}|23N x y y x ==+，，则集合M

N 中的子集个数为

（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

⑶ 集合{}101A =-，，

，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个

【解析】 ⑴ B ；

⑵ B ； ⑶ B ．

【演练3】已知集合{|25}A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+-≤≤，若A B A =，求实数m 的取值范围．

【解析】 3m ≤．

【演练4】已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R ．

⑴ 1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；

⑵ 若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ； ⑶ 若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围．

【解析】 ⑴ 1,13A ??

=-????

．

⑵ {01}B =，．

⑶ {}|10a a a =≥或．

【演练5】设A B ，是两个非空集合，定义A 与B 的差集{|A B x x A -=∈且}x B ?，

⑴已知集合{1234}A =，，，，{2345}B =，，，，求它们的差集A B -与B A -；

⑵已知{|4}A x x =>，{|6}B x x =<，求()A A B --及()B B A --，并猜测它们之间的关系；

⑶若差集A B -与B A -是同一集合，证明A B =．

【解析】 ⑴ {1}A B -=，{5}B A -=；

⑵ (){|46}A A B x x --=<<，(){|46}B B A x x --=<<，

实战演练

由此猜测()()A A B B B A --=--．

⑶ 对任意的x A ∈，若x B ?，则x A B ∈-，但x B A ?-，与已知条件矛盾， 故对任意的x A ∈，有x B ∈，从而A B ?；同理有，B A ?，故A B =．

已知集合{}1234A a a a a =，，，，{}

2222

1234

B a a a a =，，，，i a ∈N （1234i =，，，），其中1234a a a a <<<，且{}14A

B a a =，，1410a a +=，A

B 的所有元素之和为124，

求⑴14a a ，；⑵A ．

【解析】 ∵20i a ≥()1234i =，，

，，{}14A B a a =，，

∴211a a =，则10a =或11a =．

若10a =，则410a =，又集合B 中必存在某个数的平方为10，即A 中存在10， 这与(12345)i a i ∈=N ，，，，矛盾，因此有11a =，∴49a =． 由49a =知3A ∈，于是利用A

B 的元素之和为124，分23a =或33a =进行讨论，

①若23a =，则有2

3313981124a a +++++=，解得35a =或36a =-（舍），

②若33a =，则有2

2213981124a a +++++=，解得25a =或26a =-（舍），

∵23a a <，∴2335a a ==，， 综上所述，{}1359A =，

，，．

大千世界