关于勾股数计算的两个新公式
关于勾股数计算的两个新公式
庄严庄宏飞
（辽阳铁路器材厂辽阳 111000）
摘要：本文提出并证明了勾股数通解公式、勾股数再生公式，实现了全部勾股数的定a直求，这种只用算术运算就能得到三元二次方程a2+b2=c2有全部理数解的方法，简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。
关键词: 勾股数勾股数通解公式勾股数再生公式增元求解法同差直角三角形
1.引言
勾股定理是数学中一个即普通又非常重要的定理，它总结表述出了直角三角形三边a，b，c的边长关系是：a2+b2=c2。西方人把这个定理称为毕达哥拉斯（Pythagoras）定理[1]，它大约在公元前5世纪由古西腊学者毕达哥拉斯提出。而我国的商高在公元前11世纪时就已对勾股定理进行了论证应用[2]，所以在我国，勾股定理又称做商高定理。由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方关系，人们归纳出了勾股定理的一般方程：x2+y2=z2。这里，如果x、y、z是非零正整数的话，上述方程实际上就是一个求非零正整数解的不定方程。人们通常又把上述不定方程的非零正整数解称为勾股数组，比如（3，4，5），（7，24，25）。（8，15，17）等等，都是勾股数组。围绕如何求得勾股数组，古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的法则公式。
它们分别是：
毕达哥拉斯法则：x=2n+1，y=2n2+2n，z=2n2+2n+1；（其中n为≥1正整数）
柏拉图(Plato)法则：x=2ｍ，y=ｍ2-1，z=ｍ2+1；（其中ｍ为≥2的正整数) [3]
欧几里得(Euclid)法则：x=mn，y=21(ｍ-n），z=21(ｍ+n）；（其中ｍ、n同奇偶，并
且ｍn为完全平方数)[4]
丢番图(Diophantus)法则： x=ｍ+mn
2；（其中2ｍn为完
2，y=n+mn
2，z=ｍ+n+mn
全平方数)[5]
但其中较便捷的方法当属我国清代数学家罗士琳提出的勾股数法则[6]：
取ｍ、n为任意正整数，并且ｍ＞n，则下式：
x=ｍ2-n2
{ y=2ｍn
z=ｍ2+n2
中的x、y、z必然是勾股数组，满足x2+y2=z2。
在以上的各种法则中，毕达哥拉斯法则可求得部分x为奇数的勾股数，柏拉图法则可求得部分x为偶数的勾股数，欧几里得法则、丢番图法则在计算时需要对x2进行合数因子分解，需要求得二元不定方程未知数ｍ、n的全部不定解，因而常人难以掌握应用；而罗世琳法则也不能求得全部勾股数组。例如，当（x=9，y=12，z=15）时，在罗世琳法则中找不到相应的ｍ、n。时至今日，熟练自由地学习掌握运用勾股定理，仍然是大多数人心中可望所不可及的知识梦想。所以，寻找一个通用法则，通过直观简单的计算就能够一个不漏的求得方程x2+y2=z2的全部非零正整数解，进而找到不同勾股数组中x、y、z的内在联系，仍然是勾股数性质研究中需要解决的难点问题。
本文以直角三角形三边a，b，c的边长关系为切入点，提出了求算平方整数解(勾股数)的两个新公式: “勾股数通解公式”, “勾股数再生公式”,为平方整数解问题建立了新理论。
2. 勾股数通解公式（定a 直求法）
2.1 定义1．增元求解法
在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。这种利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法叫增元求解法。
2.2公式1.勾股数通解公式：
在以下a 、b 、c 、Q 关系中，当取定a 值后，如Q 值使b=(a 2- Q 2)÷2Q 是整数，则a 、b 、
c 必是勾股数；且由a 2标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a 的全部Q 值可求得含a 全
部勾股数；
a ≥3、4、5 …
{ b=（a 2-Q 2）÷2Q
c= b+Q
这里，使上式中(a 2-Q 2)÷2Q 的值恒为整数的Q 值条件是：
若a 为≥3的奇数，在a 2的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a 的因数
积为Q 。
若a 为≥4的偶数，在a 2的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效
因数全排列重组乘积中，取小于a 的偶数因数积为Q 。
证：首先证明此时的a 、b 、c 是公式勾股数条件；
若a 是≥3的整数，在正方形面积关系中取一边长为a 的正方形，由边长为a 得到面积为a 2，现引入增元项Q 并使（a 2- Q 2）÷2Q =b 关系成立（其中Q 为增元项，且b 、Q 都是整数）,
则可把原正方形面积a 2分解为a 2= Q 2+Qb+ Qb ，把分解关系按下列关系重新组合后可得到新图
形图1，其缺口刚好是一个边长为b 的正方形，如补足新图形缺口面积b 2后则可重新得到一个
边长为b+ Q 的正方形，如图2；由b 、Q 都是整数条件可知，此时b+ Q 的值一定是整数。
图1 将a 2 拆组为Q 2+ Q b+ Q b 形式图 图2 补足缺口面积b 2后重新得到正方形图
现取b+ Q =c ，根据直角三角形边长关系的勾股弦定理a 2+b 2=c 2
条件可知，此时的a 、b 、c
是直角三角形的三个整数边长。同时得到，任何满足a 2+b 2=c 2条件的（a ，b ，c ）勾股数b 值都
可表为b=（a 2-Q 2）÷2Q 关系，其中Q =c-b ；
故所述公式条件a 、b 、c 是勾股数条件成立；
然后证明，a 2标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a 全部Q 值，就是含a 全部勾股
数数量。
证：如a 为大于3的奇素数，不大于a 的a 2标准分解因数全排列重组条件得到的全部Q 值
只有1，而a 为大于3的奇素数时只能组成一组勾股数，公式条件成立；
如a 为大于3的奇合数，现以a 为15为例，不大于15的152标准分解因数全排列重组条
件得到的152=1×32×52，由公式条件得到满足b 为整数的Q 值条件是：Q =1，Q =3，Q =5, Q= Q 2
Q b Q b Q 2 Q b Q b b 2
32 =9；共4个，而a为15时的全部勾股数刚好也是4组，它们是（15，112，113）；（15，36，39）；（15，20，25）；（15，8，17）；所述公式条件仍成立；
如a为大于3的偶数，现以a为10为例，不大于10的102标准分解因数全排列重组条件是102=1×22×52，去掉一个2后符合公式条件的Q值只有Q =2，而a为10时的全部勾股数刚好也是1组，它就是（10，24，26）；所述公式条件仍成立；
所以，当a遍取3、4、5 …时，定a直求法得到的勾股数是自然数中的全部勾股数。
故勾股数通解公式得证。
2.3 推论：
若a为奇素数P，含a之a2+b2=c2有唯一互素整数解；（此时Q=1）
若a为奇合数，含a之a2+b2=c2有a所含素因子数量L的2L-1组互素整数解；（此时Q=1，Q=a2所含素因子的最高方幂和最高方幂积）
若偶数a为2P（P为奇素数），含a之a2+b2=c2有唯一不互素整数解；（此时Q=2）
若a为4n+2型偶数，含a之a2+b2=c2皆为不互素整数解；（此时Q=2，Q=a2所含全部有效因数的重组偶数积）
若a为4n型偶数，含a之a2+b2=c2有a所含素因子数量L 的2L-1组互素整数解；（此时Q=2，Q=2×a2所含不同素因子的最高方幂和最高方幂积）
平方和整数解性质在任意分项时都成立，和、项都为平方数的不定方程皆有无穷多组非零正整数解；
c2=a2+b2
d2=a2+b2+c2
e2=a2+b2+c2+d2
f2=a2+b2+c2+d2+e2…
由于直角三角形边长二项平方和a2+b2=c2的特殊几何意义，所以平方整数解的三项式、四项式、五项式、六项式都可推导出其对应的几何规律。
2.4 应用实例
例1．利用勾股数通解公式求直角三角形a边为15时的全部边长整数解？
解：由Q的取值方法分解a2得到：152=12×32×52，由公式1条件得到Q =1，Q =3，Q =5, Q= 32 =9；
利用b=（a2-Q2）÷2Q； c= b+ Q关系计算得到：
b=（152-12）÷（2×1）=112； c= 112+ 1；所以有：152+1122=1132
b=（152-32）÷（2×3）=36； c= 36+ 3；所以有：152+362=392
b=（152-52）÷（2×5）=20； c= 20+ 5；所以有：152+202=252
b=（152-92）÷（2×9）=8； c= 8+ 9；所以有：152+82=172
例2．计算a=60时a2+b2=c2全部平方整数解？
解：根据公式1，由Q的取值方法分解a2得到：602=12×24×32×52，去掉一个2后有效因数为12×23×32×52，取这些因数重组不大于60的偶数积为Q，所以有Q=2，Q=22=4，Q=2×3=6，Q=23=8，Q=2×5=10，Q=22×3=12，Q=2×32=18，Q=22×5=20，Q=23×3=24，Q=2×3×5=30，Q=22×32=36，Q=23×5=40，Q=2×52=50；
利用b=（a2-Q2）÷2Q； c= b+ Q关系计算得到：
b=（602-22）÷（2×2）=899； c= 899+ 2；所以有：602+8992=9012
b=（602-42）÷（2×4）=448； c= 448+ 4；所以有：602+4482=4522
b=（602-62）÷（2×6）=297； c= 297+ 6；所以有：602+2972=3032
b=（602-82）÷（2×8）=221； c= 221+ 8；所以有：602+2212=2292
b=（602-102）÷（2×10）=175； c= 175+ 10；所以有：602+1752=1852
b=（602-122）÷（2×12）=144； c= 144+ 12； 所以有：602+1442=1562
b=（602-182）÷（2×18）=91； c= 91+ 18； 所以有：602+912=1092
b=（602-202）÷（2×20）=80； c= 80+ 20； 所以有：602+802=1002
b=（602-242）÷（2×24）=63； c= 63+ 24； 所以有：602+632=872
b=（602-302）÷（2×30）=45； c= 45+ 30； 所以有：602+452=752
b=（602-362）÷（2×36）=32； c= 32+36； 所以有：602+322=682
b=（602-402）÷（2×40）=25； c= 25+ 40； 所以有：602+252=652
b=（602-502）÷（2×50）=11； c= 11+ 50； 所以有：602+112=612
例3．请利用定a 直求法和增比法求出8个a 边长为11的直角三角形边长关系（b 、c 可 取1-8位小数）；
解：由计算得出：
112+602=612 （a 取11，Q =1；）
112+9.62=14.62 （a 取110，Q =50；）
112+26.42=28.62 （a 取110，Q =22；）
112+3024.992=3025.012 （a 取1100，Q =2；）
112+30249.9992=30250.0012 （a 取11000，Q =2；）
112+7562.4962=7562.5042 （a 取11000，Q =8；）
112+15124.9982=15125.0022 （a 取11000，Q =4；）
112+10.436718752=15.163281252 （a 取1100000000，Q =472656250；）
例4．请利用定a 直求法和增比法求出1组a=292的a 2+b 2=c 2关系； 解：首先取292×29=2，再取2×100=200；用200做整数a 并做a 2标准分解得到：2002=12×26×54，去掉一个2后有效因数为12×25×54，现取25=32为Q ，代入公式计算得到： a= 200
{ b=（a 2-Q 2）÷2Q=（2002-322）÷64=609
c= b+ Q =609+32=641
同比缩小100倍后得到平方和关系：22+6.092=6.412
等式两边同时除29得到：（292）2+（2909.6）2= （2941.6）2
把bc 项的分子化为整数并化简得到：（292）2+（10021）2=（2900641）
2 例5．计算a=1155时a 2+b 2=c 2全部含a 之互素平方整数解？
解：由于1155为奇合数，分解11552得到：11552=12×32×52×72×112，它有4个素因子，
所以1155含有24-1=8组互素整数解；它的Q 值是：Q =1，Q=32 =9，Q=52 =25，Q=72 =49，Q=112
=121，Q =32×52=225，Q =32×72=441，Q =32×112=1089，
利用b=（a 2-Q 2）÷2Q ； c= b+ Q 关系计算得到互素整数解是：
b=（11552-12）÷（2×1）=667012；c= 667012+ 1； 所以有：11552+6670122=6670132
b=（11552-92）÷（2×9）=74108； c= 74108+ 9； 所以有：11552+741082=741172
b=（11552-252）÷（2×25）=26668；c= 26668+ 25； 所以有：11552+266682=266932
b=（11552-492）÷（2×49）=13588；c= 13588+ 49； 所以有：11552+135882=136372
b=（11552-1212）÷（2×121）=5432；c= 5432+ 121；所以有：11552+54322=55732
b=（11552-2252）÷（2×225）=2852；c= 2852+ 225；所以有：11552+28522=30772
b=（11552-4412）÷（2×441）=1292；c= 1292+ 441；所以有：11552+12922=17332
b=（11552-10892）÷（2×1089）=68；c= 68+ 1089；所以有：11552+682=11572
例6. 请利用通解公式实际计算出5组c-b=5329的互素平方数整数解？
解：根据 Q=c-b关系和定a直求法则，利用a2的标准因数分解中因数的最高方幂为Q时是互素勾股数性质，取Q=5329=732；由b=（a2-Q2）÷2Q；c= b+ Q关系计算得到如下互素平方数整数解：
70812+20402=73692 70812=12×732×972
140892+159602=212892 140892=12×732×1932
467932+2027762=2081052 467932=2×732×6412
3713512+129361202=129414492 3713512=2×732×50872
21842332+4476304562=4476357852 21842332=1×732×5299212
例7. 请实际计算出3项、4项、5项、6项的和、项都为平方数的不定方程的非零正整数解？
解：计算得到：
1452=82+152+1442
3772=82+152+1442+3482
24652=82+152+1442+3482+24362
28252=82+152+1442+3482+13802+24362
3. 勾股数再生公式（a、b定差公式法）
3.1 定义2：同差直角三角形
我们把直角三角形a2+b2=c2的整解关系表为（a，b，c），在直角三角三边（a，b，c）整解关系中，如两个直角三角形边长b-a之差相同，则称这两个三角形为同差直角三角形。例如：由32+42=52；202+212=292，所以三角形（3，4，5）；（20，21，29）是同差直角三角形；由52+122=132；482+552=732，所以三角形（5，12，13）；（48，55，73）是同差直角三角形；
3.2 公式2.勾股数再生公式；
如（a，b，c）是直角三角形边长的一组整解（勾股数）满足a2+b2=c2关系，如有：a1=2(a+c)+b
{ b1=2(b+c)+a
c1=2(a+b)+3c
则此时的（a1，b1，c1）也是平方整数解（勾股数）关系，且具有b-a与b1-a1同差性质；此时的（a，b，c）（a1，b1，c1）具有相同的互素与不互素性质及同因数性质；
证：首先证明（a1，b1，c1）也是平方整数解（勾股数）关系成立；
若（a1，b1，c1）是勾股数必由（a，b，c）条件满足a12+b12=c12关系；
由a12=(2(a+c)+b)2,展开后得到
(2(a+c)+b)2=4a2+4ab+8ac+4bc+b2+4c2； (1)式
由b12=(2(b+c)+a)2,展开后得到
(2(a+c)+b)2=4b2+4ab+8bc+4ac+a2+4c2； (2)式
由c12=(2(a+b)+3c)2,展开后得到
(2(a+b)+3c)2=4a2+8ab+12ac+12bc+4b2+9c2,； (3)式
由a12+b12=c12关系取(1)+(2)得到:
5a2+8ab+12ac+12bc+5b2+8c2, (4)式
比较(3)式(4)式,取(4)-(3)得到a2+b2-c2；
由此得到,对满足a2+b2=c2关系的整数（a，b，c），公式条件成立；
继续证明公式b-a与b1-a1同差；
证：由公式（a，b，c）已知条件得到，b-a之差为b-a；
由公式（a1，b1，c1）已知条件得到，b1-a1之差为：
b1-a1=2(b+c)+a-（2(a+c)+b）
=2b+2c+a-2a-2c-b
=b-a
所以得到公式b-a与b1-a1同差关系成立；
然后证明（a，b，c），（a1，b1，c1）同不互素，同因数；同互素；
证：若（a，b，c）不互素且含有共同因数k，则由公式条件
a1=2(a+c)+b
{ b1=2(b+c)+a
c1=2(a+b)+3c
可知，和积结果（a1，b1，c1）必同时含有因数k，必不是互素整数组；
若（a，b，c）互素不含有共同因数，则由勾股数性质，凡互素（a，b，c）必两奇一偶，其中c必为奇数，故a，b不能同奇偶。现由交叉换位的同逻辑条件可知，公式中a1=2(a+c)+b；b1=2(b+c)+a；c1=2(a+b)+3c的（a1，b1，c1）值，c1的值必为奇数，a1，b1必一奇一偶。这里我们设得到的（a1，b1，c1）不互素且都含有公因子k，即（k-1a1，k-1b1，k-1c1）整数关系成立,则可由乘法分配率条件得到：
k-1a1=2(k-1a+ k-1c)+ k-1b
{ k-1b1=2(k-1b+ k-1c)+ k-1a
k-1c1=2(k-1a+ k-1b)+3 k-1c
这和我们给定的（a，b，c）是互素勾股数不含公因数的条件相矛盾。所以，如（a，b，c）是互素勾股数，由公式得出的（a1，b1，c1）也是互素的。
所以公式同不互素，同因数；同互素性质得证；
故勾股数再生公式得证。
3.3公式应用例子
以下我们将实际看到公式b-a与b1-a1同差性质，（a，b，c），（a1，b1，c1）相同的互素与不互素性质及同因数性质的存在：
实例1．任取一组互素勾股数（3，4，5）；这里b-a=4-3=1，代入公式得到：
a1=2(3+5)+4=20
{ b1=2(4+5)+3=21
c1=2(3+4)+3×5=29
而202+212=292，所以此时（a1，b1，c1）也是勾股数；
由于4-3=1；21-20=1；所以存在b-a与b1-a1同差性质；
现（3，4，5）是互素勾股数，而（20，21，29）也是互素勾股数；
故所述公式关系成立；
实例2．再任取一组互素勾股数（15，8，17）；这里8-15=-7，代入公式得到：
a1=2(15+17)+8=72
{ b1=2(8+17)+15=65
c1=2(15+8)+3×17=97
而722+652=972，所以此时（a1，b1，c1）也是勾股数；
由于8-15=-7；65-72=-7；所以存在b-a与b1-a1同差性质；
现（15，8，17）是互素勾股数，而（72，65，97）也是互素勾股数；
故所述公式关系仍成立；
实例3．再任取一组不互素勾股数（35，84，91）；这里84-35=49，（35，84，91）含有共同因数7，代入公式得到：
a1=2(35+91)+84=336
{ b1=2(84+91)+35=385
c1=2(35+84)+3×91=511
而3862+3852=5112，所以此时（a1，b1，c1）也是勾股数；
由于84-35=49；385-336=49；所以存在b-a与b1-a1同差性质；
现（35，84，91）是不互素勾股数，而（336，385，511）也是不互素勾股数；它们都含有同一因数7；
故所述公式关系还成立；
所以，勾股数再生公式关系成立。
实例4．已知互素勾股数（11、60、61），且b-a=49，请利用勾股数再生公式求10组b-a=49的同差互素勾股数？
解：连续利用勾股数再生公式得到：
（204、253、325）；
（1311、1360、1889）；
（7760、7809、11009）；
（45347、45396、64165）；
（264420、264469、373981）；
（1541271、1541320、2179721）；
（8983304、8983353、12704345）；
（52358651、52358700、74046349）；
（305168700、305168749、431573749）；
（1778653647、1778653696、2515396145）；
4. 结论：
1．勾股数通解公式实现了用简单的算术方法求得全部勾股数，勾股数可定a直求；
本公式为精确计算任意高精度的直角三角形边长关系提供了新方法；
a2标准分解因数不同因数的最高方幂为Q可求得含a的互素勾股数。
2．勾股数再生公式拓展了勾股数的研究领域；
本公式利用（a，b，c）内在联系连求勾股数的过程不乘方，不开方，简单无比；
本公式使我们得到了一种轻松计算半同距（a，b，c）互素整数组的简单方法；
b-a与同差性质为直角三角形边长理论增加了新的内容。
3．本文使勾股数知识凭添了新内容；
勾股数通解公式、勾股数再生公式简单直观，易教易学，较原勾股数理论有更大的普及性，勾股定理将被更多的人学习和掌握。
5. 致谢：
作者对辽宁师专田源生教授、北京创造学会李全起教授、辽宁大学李觉先教授、沈阳工业大学苏小明教授、百度网友小可僾ぶ萱、辽宁大学许作铭教授、辽阳科联关佐卿先生的热情指导帮助表示衷心感谢。
参考文献
[1] 鲁又文数学古今谈[M],天津：科学出版社，1984.88-89
[2] 姚政、林力.奇妙的数理化[M],长春：时代文艺出版社，2003.77-78
[3] 苏E.B.鲍尔加尔斯基.数学简史[M],上海：知识出版社，1984.41-42
[4] 姚政、林力.奇妙的数理化[M],长春：时代文艺出版社，2003.78-79
[5] 美G.盖莫夫.从一到无穷大[M],暴永宁译,天津：科学出版社，1978.28-29
[6] 夏树人、孙道江.中国古代数学的世界冠军[M],重庆：重庆出版社，1984.29-30
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145
勾股数的规律
精选范本 所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都 为正整数时，我们就称这一组数为勾股数 那么，组成一组勾股数的三个正整数之间， 是否具有一定的规律 可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数(3, 4, 5)、( 5，12，13)、( 7, 24, 25)( 9, 40，41)中，我们发现 由(3, 4, 5)有： 3 2=9=4+5 由(5, 12, 13)有： 5 =25=12+13 由(7, 24, 25)有： 7 =49=24+25 由(9, 40, 41)有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好 等于 另外两个连续的正整数之和。 因此，我们把它推广到一般，从而 可得出以下公式： 2 2 2 2 ???(2n+1) =4n+4n+仁(2n +2n ) + (2n+2n+1) 2 2 2 2 2 ???(2n+1) + (2n+2n ) = (2n+2n+1) (n 为正整数) 勾股数公式一：(2n+1, 2n 2+2n , 2n 2+2n+1)(n 为正整数) 等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式： 2 2 2 2 ???(2n ) =4n =2[ (n-1 ) + (n+1)] ???(2n ) + (n-1 ) = (n +1) (n 》2 且 n 为正整数) 勾股数公式二：(2n , n 2-1 , n 2+1)( n 》2且n 为正整 数) 禾U 用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。 规律二：在勾股数(6, 8, 26)中，我们发现 由(6, 8, 10)有： 由(8, 15, 17)有： 由(10, 24, 26)有： 即在 一组勾股数中, 10)、( 8, 15, 17)、( 10, 24, 2 6 =36=2X( 8+10) 82=64=2X( 15+17) 2 10 =100=2X( 24+26) 当最小边为偶数时，它的平方刚好
勾股数
勾股数 勾股数 勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 目录 常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn 局限 目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。 完全公式
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）
应纳税额的计算公式整理汇总
一、工资、薪资所得应纳税地计算 、一般工资、薪资所得应纳税额地计算公式为： 应纳税额应纳税所得额适用税率﹣速算扣除数 （每月收入额﹣减除费用标准）适用税率﹣速算扣除数 、对个人取得全年一次性奖金等计算征收个人所得税方法： ⑴雇员当月工资薪金所得高于（或等于）税法规定地费用扣除额； 应纳税额雇员当月取得全年一次性奖金适用税率﹣速算扣除数 ⑵雇员当月工资薪金所得低于税法规定地费用扣除额： 应纳税额（雇员当月取得全年一次性奖金雇员当月工资薪金所得与费用扣除地差额适用税率﹣速算扣除数 二、个体工商户地生产、经营所得应纳税额地计算公式为： 应纳税额应纳税所得额适用税率﹣速算扣除数 （全年收入总额﹣成本、费用及损失）适用税率﹣速算扣除数 三、对企事业单位地承包经营、承租经营所得应纳税额地计算公式为： 应纳税额应纳税所得额适用税率速算扣除数 （纳税年度收入总额﹣必要费用）适用税率﹣速算扣除数 四、劳务报酬所得应纳税额地计算公式为： 、每次收入元地： 应纳税额应纳税所得额适用税率 （每次收入额﹣） 、每次收入在元以上地： 应纳税额应纳税所得额适用税率 每次收入额（） 、每次收入地应纳税所得额超过元地： 应纳税额应纳税所得额适用税率﹣速算扣除数 每次收入额（）适用税率﹣速算扣除数 五、稿酬所得应纳税额地计算公式为： 、每次收入不足元地： 应纳税额应纳税所得额适用税率（） （每次收入额﹣）（） 、每次收入在元以上地： 应纳税额应纳税所得额适用税率（） 每次收入额（）（） 六、对特许权使用费所得应纳税额地计算公式为： 、每次收入不足元地： 应纳税额应纳税所得额适用税率 （每次收入额﹣） 、每次收入在元以上地： 应纳税额应纳税所得额适用税率 每次收入额（） 七、利息、股息、红利所得应纳税额地计算公式为： 应纳税额应纳税所得额适用税率每次收入额适用税率 八、财产租赁所得应纳税额地计算公式为： 、每次（月）收入不足元地：
三种常见的勾股数
三种常见的勾股数 我们知道，如果a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222c b a =+，反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得()()2 2211+=+-x x x ，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）； 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 设后两数为连续整数的勾股数组为（x ，y ，y ＋１），则 ()2 221+=+y y x ， 整理，得122=-y x ，（＊） 显然，x 不能是偶数，否则，当x 为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x 不能是偶数，因此， 取x ＝２m ＋１，则y ＝m m 222+（m ∈Ｎ）， 故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m ＋１，m m 222+，m m 222 +＋１）； 分别取m ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导． 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），则 ()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2 y ，化为 ()121222-=-+y x ，即
勾股数序列
勾股数序列 山东定陶一中刘述省 序言 两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ2－ｎ2，ｃ＝ｍ2＋ｎ2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。 2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多， 只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。 学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。 正文 先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c . a2 + b2 = c2且a b c 互质。因ａ2 = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在 ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数） 以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。 k＝１时，a2＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a = 2m +1，则b = (a2 －１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1 素勾股数序列如下： a b c 说明：1. a列从上到下依次多 2 ，b列从上到下依次多加4 . 3 4 5 5 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。 7 24 25 9 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。可编口诀如下： 11 60 61 13 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当； 15 112 113 17 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。 19 180 181 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ｋ＝２时，ａ2＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ2－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一， 要保证a b c 互质。这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。第二，要保证b ＞a 。这里换算为m2 —1 ＞2m 。得到m ＞1+2。
勾股定理及其应用总结归纳
精心整理第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。
重点知识勾股定理的验证
重点知识确定几何体上的最短路线 例1 B A
图 AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. （2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 例7 如图1-2-6，A 、B 两个小镇在河流CD 同侧，到河的距离分别为AC ＝10千米，BD ＝30千米， 图 图1-2-9
且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用. 例8 如图1-2-7，一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果 家庭作业 ＝，CH＝，5.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S △ABC MH＝ 图 6.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
7.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD= . 8.如图1-1-2，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则BC 的长为 9.如图1-1-5，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米， 且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万 元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。 这个梯子顶端离地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了4 11.如图1-2-11，长方体的长为15cm ，宽为10果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 图1-1-2 B 图
2017个人所得税税率表(含计算公式)
个人所得税税率表 一、工资、薪金个人所得，7级超额累进税率表，税率为3%--45%（专职）(个税免征额3500元) ●应纳税额T=(工资薪金所得-“五险一金”-免征额)×适用税率-速算扣除数 ●半年奖金法T=(工资薪金所得+半年奖金-“五险一金”-免征额)×适用税率-速算扣除 数 ●一年奖金法T=(工资薪金所得-“五险一金”-免征额)×适用税率-速算扣除数+12个月 奖金（年终奖摊每月=年终奖金额÷12月×适用税率-速算扣除数）（当工资低于3500时，应从奖金里抵足免征额后再计算） 二、个体（生产经营）、企事业单位（承包经营）所得，适用5%---35%的超额累进税率表。 以每一纳税年度的收入总额，减除成本、费用以及损失后的余额，为应纳税所得额。 ●应纳税所得额A=全年收入总额–成本、费用以及损失 ●应纳税额T=应纳税所得额A×税率-速算扣除数 三、劳动报酬所得，适用比例税，税率为20%--40%（兼职） ●每次收入不超过4000元的，减除费用800元；其余额为应纳税所得额。 应纳税所得额A=全年收入总额–800费用
应纳税额T=应纳税所得额A×税率-速算扣除数 ●每次收入超过4000元的，减除20%的费用，其余额为应纳税所得额。 应纳税所得额A=全年收入总额–（1-20%）费用 应纳税额T=应纳税所得额A×税率-速算扣除数 四、稿酬所得，适用比例税，税率为20%，并按应纳税额减征30% ●每次收入不超过4000元的，减除费用800元；其余额为应纳税所得额。 应纳税所得额A=全年收入总额–800费用 应纳税额T=应纳税所得额A×税率-（1-30%）减征额 ●每次收入超过4000元的，减除20%的费用，其余额为应纳税所得额。 应纳税所得额A=全年收入总额*（1-20%）费用 应纳税额T=应纳税所得额A×税率*（1-30%）减征额 五、利息、股息、红利所得适用比例税，税率为20% ●每次收入不超过4000元的，减除费用800元；其余额为应纳税所得额。 应纳税额T=应纳税所得额A（全年收入总额–800费用）×税率 ●每次收入超过4000元的，减除20%的费用，其余额为应纳税所得额 应纳税额T=应纳税所得额A〈全年收入总额*（1-20%）费用〉×税率
勾股定理常见题型
1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①
速算扣除数是什么
速算扣除数是什么 速算扣除数是指用快捷方法计算税款时，可以扣除的数额。以下是unjs小编整理的速算扣除数概述、计算公式方法、例子说明及税额计算，欢迎阅读参考！速算扣除数是什么-计算公式方法&例子说明及税额计算概述 速算扣除数是指采用超额累进税率计税时，简化计算应纳税额的一个数据。速算扣除数实际上是在级距和税率不变条件下，全额累进税率的应纳税额比超额累进税率的应纳税额多纳的一个常数。故此，在超额累进税率条件下，用全额累进的计税方法，只要减掉这个常数，就等于用超额累进方法计算的应纳税额，简称速算扣除数。 计算公式 个人所得税是采用速算扣除数法计算超额累进税率的所得税时的计税公式是: 应纳税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数 速算扣除数的计算公式是: 本级速算扣除额=上一级最高应纳税所得额×(本级税率-上一级税率)+上一级速算扣除数 年末一次性奖金的个人所得税计算方式如下: 应纳税额=(收入总额÷12)×对应税率-速算扣除数 方法
综上述公式求得的速算扣除数，可用直接计算法验证其准确性，以个人所得税工资、薪金所得适用的7级超额累进税率第2级验证如下: ① 用上述公式计算: 1500×(10%-3%)+0=105 ② 用直接计算法计算 全额累进税率的应纳税额=2000×10%=200 超额累进税率的应纳税额=(1500×3%)+(500×10%)=95速算扣除数=200-95=105 例子 如某人工资扣除3500元后的应纳税所得额是2200元，则税款计算方法为:1500*3%+700*10%=115元。个人所得税的计算，也可以将应纳税所得额直接按对应的税率来速算，但要扣除一个速算扣除数，否则会多计算税款。 如某人工资扣除3500元后的应纳税所得额是2200元，2200元对应的税率是10%，则税款速算方法为:2200*10%-105=115元。 这里的105就是速算扣除数，因为2200元中，有1500元多计算了7%的税款，需要减去。其他税率所对应的速算扣除数分别是:20%:555，25%:1005，30%:2755，35%:5505，45%:13505。 说明
个税速算扣除数的计算公式是什么
个税速算扣除数的计算公式是什么 一、个税速算扣除数的计算公式是什么 个税速算扣除数的计算公式是应纳税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数。速算扣除数是指为解决超额累进税率分级计算税额的复杂技术问题，而预先计算出的一个数据。超额累进税率的计税特点，是把全部应税金额分成若干等级部分，每个等级部分分别按相应的税率计征，税额计算比较复杂。 二、速算扣除数税额计算怎样的 1.工资、薪金所得部分的个人所得税额=应税所得金额×适用税率-速算扣除数 2.个体工商户的生产、经营所得的个人所得税税额=应纳税所得金额×适用税率-速算扣除数 3.对企事业单位的承包经营、承租经营所得个人的所得税额=应纳税所得金额×适用税率-速算扣除数 4.劳动报酬所得(4000元以下)的个人所得税额=(每次所得收入-800元)×20% 劳动报酬所得(4000元以上)的个人所得税额=[每次所得收入 x(1-20%)]X适用税率-速算扣除数。 应纳税所得额不超过20000元的，税率20%，速算扣除数为0; 应纳税所得额超过20000元至50000元的部分，税率30%，速算扣除数为2000元;
应纳税所得额超过50000元的部分，税率40%，速算扣除数为7000元. 5.稿酬的所得(每次收入不超过4000元)的个人所得税税额=(每次所得收入-800元)×20%×(1-30%)稿酬的所得(每次收入超过4000元)的个人所得税税额=[每次所得收入×(1-20%)]×20%×(1-30%)" 6.特许权使用费所得，财产租赁所得(每次收入不超过4000元)的个人所得税税额=(每次所得收入-800)×20%特许权使用费所得，财产租赁所得(每次收入超过4000元)的个人所得税税额=[每次所得收入×(1-20%)]×20% 7.利息、股息、红利所得，财产转让所得，偶然所得和其他所得的个人所得额=每次所得收入×20% 8.2008年10月9日起，对储蓄存款利息所得暂免征收个人所得税 9.根据2018年8月31日第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》第七次修正，自2018年10月1日起施行新的个人所得税税率及速算扣除数。 我国关于各项税收都有自身的计算方式，以及计算方法，因此在计算个人所得税速算扣除数的时候，按照规定的计算方式就能得出想要的结果。税收的主要存在目的是为了更好的发展社会，建设有利于人们和谐生存的环境，应该按照规定做事。
100以内各数开方、100以内各数平方、常见勾股数
100以内各数开方 √1 = 1 √2 = 1.41421 √3 = 1.73205 √4 = 2 √5 = 2.23607 √6 = 2.44949 √7= 2.64575 √8 = 2.82843 √9 = 3 √10 = 3.16228 √11 = 3.31662 √12 = 3.4641 √13 = 3.60555 √14 = 3.74166 √15 = 3.87298 √16 = 4 √17 = 4.12311 √18 = 4.24264 √19 = 4.3589 √20 = 4.47214 √21 = 4.58258 √22 = 4.69042 √23 =4.79583 √24 = 4.89898 √25 = 5 √26 = 5.09902 √27 = 5.19615 √28 = 5.2915 √29 = 5.38516 √30 = 5.47723 √31 = 5.56776 √32 = 5.65685 √33 = 5.74456 √34 =5.83095 √35 = 5.91608 √36 = 6 √37 = 6.08276 √38 = 6.16441 √39 = 6.245 √40 = 6.32456 √41 = 6.40312 √42 = 6.48074 √43 = 6.55744 √44 = 6.63325 √45 = 6.7082 √46 = 6.78233 √47 = 6.85565 √48 = 6.9282 √49 = 7 √50 = 7.07107 √51 = 7.14143 √52 = 7.2111 √53 = 7.28011 √54 = 7.34847 √55 = 7.4162 √56 = 7.48331 √57 = 7.54983 √58 = 7.61577 √59 = 7.68115 √60 = 7.74597 √61 = 7.81025 √62 =7.87401 √63 = 7.93725 √64 = 8 √65 = 8.06226 √66 = 8.12404 √67 = 8.18535 √68 = 8.24621 √69 = 8.30662 √70 = 8.3666 √71 = 8.42615 √72 = 8.48528 √73 = 8.544 √74 = 8.60233 √75 = 8.66025 √76 = 8.7178 √77 = 8.77496 √78 = 8.83176 √79 = 8.88819 √80 = 8.94427 √81 = 9 √82 = 9.05539 √83 = 9.11043 √84 = 9.16515 √85 = 9.21954 √86 = 9.27362 √87 = 9.32738 √88 = 9.38083 √89 = 9.43398 √90 = 9.48683 √91 = 9.53939 √92 = 9.59166 √93 =9.64365 √94 = 9.69536 √95 = 9.74679 √96 = 9.79796 √97 = 9.84886 √98 = 9.89949 √99 = 9.94987 √100 = 10 100以内各数平方 12=1 22=432=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400
[实用参考]常见的勾股数及公式.doc
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2， 则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（G －１，G ，G ＋１），则由勾股数的定义，得（G+1）2+G 2=（G+1）2，解得G ＝ ４或G ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n 是正整数)都是勾股数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（G ，G ＋１，1222++x x ）（G 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（G ，G ＋１，P ），P=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222 -=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ） ， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得G ＝4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，P ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a= 21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；16 63 65 17144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 362 39 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 202 40 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626
个人所得税应纳税额计算公式及计算方法
表1个人所得税应纳税额计算公式一览表
表2工资、薪金所得七级超额累进税率表 （2011年9月1日执行） 所谓的“速算扣除数”就是：在超额累进税率计税法中，对计税依据直接乘上最高税率，得到的结果与真实的税额之差，这个差在每一级都是一个常数。事先推出这个常数，对于快速计算税额很有帮助，所以这个数叫“速算扣除数”。 快速计算个税的公式是【计税依据×最高税率-速算扣除数=最终税额】。 税率3%对应速算扣除数为0 税率10%对应速算扣除数为1500*（10%-3%）+0=105 税率20%对应速算扣除数为4500*（20%-10%）+105=555 税率25%对应速算扣除数为9000*（25%-20%）+555=1005
税率30%对应速算扣除数为35,000*（30%-25%）+1,005=2,775 税率35%对应速算扣除数为55,000*（35%-30%）+2,775=5,505 税率45%对应速算扣除数为80,000*（45%-35%）+5,505=13,505 例二：如果某人扣保险后工资10,000，怎么计算个税呢？ 10,000-3,500=6,500元。 6,500介于4,500和9,000之间，使用税率20%，速算扣除数555 6,500*20%-555=745 表3个体工商户的生产、经营所得和 对企事业单位的承包经营、承租经营所得 五级超额累进税率表 （2011年9月1日执行）
表4劳务报酬所得三级超额累进税率表 在个人所得税中使用超额累进税率的有3个税目，一是工资薪金，适用3-45的7级超额累进税率，二是个体工商户和企事业承包承租所得，适用5-35的5级超额累进税率，三是劳务报酬，适用 20-40的3级超额累进税率，而且要注意计税依据的差异，工资薪金是按月、劳务报酬按次、个体户及承包承租按年。 +
勾股数的常用套路
勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169；
各种税的计算公式最新
一各种税的计算公式 一、增值税 1、一般纳税人 应纳税额=销项税额—进项税 销项税额=销售额×税率此处税率为17% 组成计税价格=成本×（1+成本利润率） 组成计税价格=成本×（1+成本利润率）÷（1 —消费税税率）2、进口货物 应纳税额=组成计税价格×税率 组成计税价格=关税完税价格+关税（+消费税） 3、小规模纳税人 应纳税额=销售额×征收率 销售额=含税销售额÷（1+征收率） 二、消费税 1、一般情况： 应纳税额=销售额×税率 不含税销售额=含税销售额÷（1+增值税税率或征收率） 组成计税价格=（成本+利润）÷（1—消费税率）
组成计税价格=成本×（1+成本利润率）÷（1 —消费税税率） 组成计税价格=（材料成本+加工费）÷（1—消费税税率） 组成计税价格=（关税完税价格+关税）÷（1—消费税税率） 2、从量计征 应纳税额=销售数量×单位税额 三、关税 1、从价计征 应纳税额=应税进口货物数量×单位完税价×适用税率 2、从量计征 应纳税额=应税进口货物数量×关税单位税额 3、复合计征 应纳税额=应税进口货物数量×关税单位税额+应税进口货物数量×单位完税价格×适用税率 四、企业所得税 应纳税所得额=收入总额—准予扣除项目金额 应纳税所得额=利润总额+纳税调整增加额—纳税调整减少额 应纳税额=应纳税所得额×税率 月预缴额=月应纳税所得额×25%
月应纳税所得额=上年应纳税所得额×1/12 五、个人所得税： 1、工资薪金所得： 应纳税额=应纳税所得额×使用税率—速算扣除数2、稿酬所得： 应纳税额=应纳税所得额×使用税率×（1—30% ）3、其他各项所得： 应纳税额=应纳税所得额×使用税率 六、其他税收 1、城镇土地使用税 年应纳税额=计税土地面积（平方米）×使用税率2、房地产税 年应纳税额=应税房产原值×（1—扣除比例）×1.2% 或年应纳税额=租金收入×12% 3、资源税 年应纳税额=课税数量×单位税额 4、土地增值税 增值税=转让房地产取得的收入—扣除项目