2004-2014年高考数学真题分类汇编：数列
数列
一、选择填空题
1.（江苏2004年4分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2
)
13(1-n a (对于所有n≥1)，且a 4=54，则a 1
的数值是 ▲ . 【答案】2。
【考点】数列的求和。
【分析】根据a 4=S 4－S 3列式求解即可：
∵S n =2
)13(1-n a ，a 4=54，且a 4=S 4－S 3，
∴4311(31)(31)5422
a a ---=，解得12a =。
2.（江苏2005年5分）在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=【】
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189 【答案】C 。
【考点】等比数列的性质。
【分析】根据等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，可求得q ，根据等比数列的通项公式，分别求得3a ，4a 和5a 代入543a a a ++，即可得到答案：
∵在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，∴3+3q +3q 2=21。
∴q =2。
∴132n n a -=?。∴()
234345322232884a a a ++=?++=?=。故选C 。
3.（江苏2006年5分）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，
则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和的公式是 ▲
【答案】122n +-。
【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n 项和的公式。
【分析】∵)1(x x y n -=，∴1
(1)n n y nx
n x -'=-+。
∴曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线的斜率为()1212n n k n n -=-+，切点为（2，2n -）。
∴所以切线方程为()()122122n n n y n n x -??+=-+-??。
把0x =，n y =a 代入，得()12n n a n =+。∴
21
n n
a n =+。 ∴数列1n a n ??
??+??
的前n 项和为231222222n n ++++???+=-。
4.（江苏2008年5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲
【答案】26
2
n n -+。
【考点】归纳推理，等比数列的前n 项和。
【分析】前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22
n n
-个，
∴第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为26
2
n n -+。
6.（江苏2009年5分）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ▲ .学科网 【答案】9-。
【考点】等比数列的性质，数列的应用，等价转化能力和分析问题的能力。
【分析】∵1(1,2,)n n b a n =+=L ，数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中， ∴{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中。
∴按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现－24，36，－54，81成等比数列，
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15 ………………
是{}n a 中连续的四项，比为3
2
q =-。
∴69q =-。
7.（江苏2010年5分）函数()20y x x >=的图像在点(2 k k a ,a )处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，k 为正整数，116a =，则135a a a ++= ▲ 【答案】21。
【考点】抛物线的性质, 函数的切线方程,数列的通项。
【分析】求出函数2y x =在点(2 k k a ,a )处的切线方程，然后令y =0代入求出x 的值，再结合116a =得到数列的通项公式，再得到135a a a ++的值：
∵函数2y x =在点(2 k k a ,a )处的切线方程为：22()k k k y a a x a -=-，当0y =时，解得2
k
a x =。 ∴12
k
k a a +=
。∴135164121a a a ++=++=。 8.（江苏2011年5分）设1271a a a =≤≤≤L ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ▲ 【答案】33。
【考点】等差数列、等比数列的意义和性质，不等式的性质。
【分析】由题意得，222322221
1 1 2a ,a q a ,a q,q a ,a q ,≥=≥+≥≥++≥223
+≥a q ∴要求q 的最小值，只要求2a 的最小值，而2a 的最小值为1，
∴321223
=+≥+≥a q 。∴3
3≥
q 。
9、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为
5
3
. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.
10、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为 。
答案： 14．12
11、（2014江苏卷7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .
【答案】4
二、解答题
1.（江苏2004年12分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)若首项=1a 3
2 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2
k k S S =成立.
【答案】解：（I ）当1,231==
d a 时，n n n n n d n n na S n +=-+=-+=2
12
12)1(232)1( 由2
2422211(), ()22k k S S k k k k =+=+得，即0)14
1(3=-k k 。 又0, 4k k ≠=所以。
（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2
)(2n n S S =中分别取k =1，2,得
22
111122
11421(), ?43214(2) 2()22a a S S a d a d S S ?=?=??????+=+=???
?
（）即（）。 解得111100110602a a a a d d d d ====????????====????
或或或。
若2210, 0, 0, 0, ()n n k k a d a S S S =====则从而成立；
若21330, 6, 6(1), 18, ()324, 216n n a d a n S S S ===-===则由知,)(2
39S s ≠
故所得数列不符合题意。
若2211,0,1,,()n n k k a d a S n S S =====则从而成立；
若2211,2,21, 13(21), ()n n n a d a n S n n S S ===-=+++-==L 则从而成立。 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…。
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。
【分析】（I ）利用等差数列的求和公式表示出前n 项的和，代入到2)(2
k k S S
=求得k 。
（Ⅱ）设数列{a n }的公差为d ，在 Sn2=(Sn)2中分别取k =1，2求得1a ，代入到前n 项的和中
分别求得d ，进而对1a 和d 进行验证，最后综合求得答案。
2.（江苏2005年14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且
Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数
⑴求A 与B 的值；（2分）
⑵证明：数列{}n a 为等差数列；（6分）
⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立（6分）
【答案】解：（1）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S ，
由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知
??
?+=-+=--B A S S B A S S 2122732312，即?
??-+-=+48228
B A B A ，解得8,20-=-=B A 。 （2）由（1）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① ∴2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②
②－①得，20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ ∴20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④
④－③得 0)25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n 。
∵n n n S S a -=++11，∴0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 。
∵ 0)25(≠+n ，∴ 02123=+-+++n n n a a a 。∴ 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 。
又∵ 51223=-=-a a a a ，∴数列}{n a 为等差数列。 （3）由（2） 可知，45)1(51-=-+=n n a n ，
要证15>-n m mn a a a ，只要证n m n m mn a a a a a 215++>。
因为45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ， 故只要证>-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证n m a a n m 2372020>-+。 因
为
372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m ，
由于以上过程是可逆的，所以命题得证。
【考点】数列的应用。 【分析】（1）由题意知??
?+=-+=--B
A S S B
A S S 2122732312，从而解得A=－20，B=－8。
（2）由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ，所以在式中令1n n =+，可得
2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ．
由此入手能够推出数列{an}为等差数列。
（3）由（2）可知，45)1(51-=-+=n n a n ，然后用分析法可以使命题得证。
3.（江苏2006年14分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），
证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1n n b b +≤（n =1,2,3,…） 【答案】证明：必要性：设}{n a 是公差为1d 的等差数列，则
()()()()1132132110n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d +++++++-=---=---=-=。
∴1n n b b +≤（n =1,2,3,…）成立。
又()()()1121322111123236n n n n n n n c c a a a a a a d d d d ++++++-=-+-+-=++=(常数)
（n =1,2,3,…）
∴数列}{n c 为等差数列。
充分性： 设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1n n b b +≤（n =1,2,3,…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ①，∴223423n n n n c a a a ++++=++ ②，
∴①－②得()()()221324122323n n n n n n n n n n n c c a a a a a a b b b ++++++++-=-+-+-=++。 又∵()()211222n n n n n n c c c c c c d ++++-=-+-=-， ∴122232n n n b b b d ++++=-③。 从而有1232232n n n b b b d +++++=- ④。
∴④－③得()()()12132230n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=⑤。 ∵1n n b b +≤，即10n n b b +-≥, 210n n b b ++-≥，320n n b b ++-≥， ∴由⑤得10n n b b +-=（n =1,2,3,…）。
由此不妨设3n b d =（n =1,2,3,…）则23n n a a d +-= (常数)。 由此121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-⑥，
从而11231231323423425n n n n n n n n c a a a a a d a a d +++++++=++=+-=+-⑦。 ∴⑦－⑥得()()()113131342542322n n n n n n n n c c a a d a a d a a d ++++-=+--+-=--。 ∴1132311
()22
n n c c a a c c d d d ++-=
-+=+(常数n =1,2,3,…)。 所以数列}{n a 是等差数列。
【考点】等差数列的性质，必要条件、充分条件与充要条件的判断。
【分析】本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，理解公差d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式．利用递推关系是解决数列的重要方法，，
熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来。
5.（江苏2007年16分）已知 {}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11221,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，
（1）若(,k m b a m k =是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（4分）
（2）若3(i b a i =是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
【答案】解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）
（1）证：∵k m b a =， ∴()()1
11111k a q
a m a q -=+--，()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-。
∴()()()
()1111111111k k a q a m m q S m a q
q
------=
=
=--。
（2）证：∵()()2
3111,11i b a q a a i a q ==+--，且3i b a =，
∴()()()()2
2
111,120,q i q q i q i =+----+-=
解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，∴2q i =-。 ∵i 是正整数，∴2i -是整数，即q 是整数。 设数列{}n b 中任意一项为()
11n n b a q n N -+=∈，
设数列{}n a 中的某一项m a =()()1111a m a q +--()
m N +∈，
现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()1
11111n a q a m a q -=+--中
m 有正整数解即可。
∵()()11
221
111,111
n n n q q
m q m q q q q ----=+---==+++-L ，
∴22
2n m q q q
-=+++L 。
若1i =，则1q =-，那么2111222,n n b b a b b a -==== 。 当3i ≥时，∵1122,a b a b == ，只要考虑3n ≥的情况， ∵3i b a =，∴3i ≥，∴q 是正整数。∴m 是正整数。
∴数列{}n b 中任意一项为()
11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第22
2n q q q
-+++L 项
相等，从而结论成立。
（3）设数列{}n b 中有三项()
,,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列，则有 21
11111n m p a q
a q a q ---=+。
设()
,,,n m x p n y x y N +-=-=∈，则21y
x q q
=
+。 令1,2x y ==，则3
210,q q -+=()()
2110q q q -+-=。
∵1q ≠，∴2
10q q +-=，解得1
2
q =
()舍去负值。
即存在1
2
q -=
使得{}n b 中有三项()
13,,m m m b b b m N +++∈成等差数列。 【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由11a b =，把k m b a =代入1
1k m a q a -=，即可表示出1k S -，题设得
证。
（
2
）
利
用
()()
23111,11i b a q a a i a q ==+--，可得
()()()()22111,120q i q q i q i =+----+-=即，
整理即可求得2q i =-，从而可判定2i -是整数，即q 是整数。设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+
=∈，设数列{}n
a 中的某一项
m a =()()1111a m a q +--()
m N +∈，只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程
()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可。
（3）设数列{}n b 中有三项()
,,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列，利用等差中项的
性质建立等式，设()
,,,n m x p n y x y N +-=-=∈，从而可得以21y
x q q
=+，令1,2x y ==，求得q 。
6.（江苏2008年16分）（1）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i ）当4n =时，求
1
a d
的数值； （ii ）求n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，
L ，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
【答案】解：（1）（i ）当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成
等比数列，则推出d =0。
若删去2a ，则2314a a a =?，即2
111(2)(3)a d a a d +=?+化简得140a d +=，得
1
4a d
=-。 若删去3a ，则2214a a a =?，即2
111()(3)a d a a d +=?+化简得10a d -=，得
1
1a d
=。 综上，得
14a d =-或11a
d
=。 （ii ）当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项。 若删去3a ，则1524a a a a ?=?，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+?+化简得2
30d =，因为0≠d ，所以3a 不能删去；
当n ≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -?=?，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有
132n n a a a a -?=?，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -?=?，这与0
≠d 矛盾。(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。
综上所述，4n =。
（2）假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21， 其中111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列，
则2111y x z b b b +++=?，即2111()()()b yd b xd b zd +=+?+，化简得22
1()(2)y xz d x z y b d -=+-
（*）
由10b d ≠知，2
y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0。
当2
y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾；
故2
y xz -与2x z y +-同时不为0，所以由（*）得212b y xz
d x z y
-=+-。
∵01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z 为整数，∴上式右边为有理数，从而1
b d
为有理数。 ∴对于任意的正整数)4(≥n n ，只要
1
b d
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n 项数列1，12+，122+，……，1(1)2n +-满足要求。 【考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质
【分析】（1）根据题意，对n =4，n =5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，从而推广到n ≥4的所有情况．
（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。
7.（江苏2009年14分）学设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前
n 项和，满足
222223457,7a a a a S +=+=。（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；学科网
（2）试求所有的正整数m ，使得
1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。 【答案】解：（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+。
∵0d ≠，∴430a a +=，即1250a d +=。 又由77S =得176
772
a d ?+
=，解得15a =-，2d =。 ∴数列{}n a 的通项公式为27n a n =-；前n 项和26n S n n =-。 （2）∵
12222(4)(2)8
2923
m m m m m m a a a a m a a m +++++--==-+
-为数列{}n a 中的项， ∴
8
23
m -为整数，且m 为正整数，∴1,2m =。 经检验，符合题意的正整数只有2m =。
【考点】数列的求和，等差数列的性质。
【分析】（1）先把已知条件用1a 及d 表示，然后联立方程求出1a ，d 代入等差数列的通项公式及前n
项和公式可求。
（2）先把已知化简可得
128
2923
m m m a a m a m ++=-+
-，然后结合数列{}n a 的通项公式可寻求m 满足的条件。
8.（江苏2010年16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}
n
S 是公差为d 的等差数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为
2
9
。 【答案】解：（1）由题意知：0d >，
(1)(1)n d n d =-=-
21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=
，22213)]2),d a d -=
化简，得：2
2
11,a d d d a d -+===
22(1),n d n d nd S n d =+-== ，
当2n ≥时，22222
1(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形。 故所求2
(21)n a n d =-。
（2）2
2
2
2
2
2
2
2
2
m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?， 22
2
m n c k
+<恒成立。
又n m k n m ≠=+且3，222
2
2
2
29
2()()92
m n m n m n k k ++>+=?
>， 故92
c ≤
，即c 的最大值为29
。
【考点】等差数列的通项、求和以及基本不等式。
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于1a 、d 的方程，求出1a ，从而推出n S ，再利用n a 与n S 的关系求出n a 。
（2）利用（1）的结论，对m n k S S cS +>进行化简，转化为基本不等式问题求解，求出c 的最大值的范围。
9.（江苏2011年16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n >k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立.
（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式.
【答案】解：（1）由题设知，当2≥n 时，)(2111S S S S n n n +=+-+即1112)()(S S S S S n n n n =----+，
∴2211==-+a a a n n 。
又22=a ，∴当2≥n 时，22)2(22-=-+=n n a a n ，∴5a 的值为8。 (2) 由题设知, 当{}4,3=∈M k ，
且k n >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++， 两式相减得1112+-+++=-n k n k n a a a ，即1111+-++++-=-n k n n k n a a a a ，
∴当8≥n 时，6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列，且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数
列。
∴当8≥n 时，332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*，且22-++n n a a 66-++=n n a a 。 ∴当8≥n 时，222-++=n n n a a a ，即22-+-=-n n n n a a a a 。
∴当9≥n 时，3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列，从而33-++n n a a 11-++=n n a a 。 ∴由)(*式知=n a 211-++n n a a ，即11-+-=-n n n n a a a a 。
∴当9≥n 时，设1--=n n a a d ，当82≤≤m 时，86≥+m ，从而由)(*式知
1262+++=m m m a a a
∴13172++++=m m m a a a ，从而1213167()(2+++++-+-=-m m m m n n a a a a a a ， ∴d d d a a m m =-=-+21。∴d a a n n =-+1，对任意都2≥n 成立。
又由k n k n k n S S S S 22=-+-+（{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+， ∴329S d =且4216S d =。解得d a 2
7
4=。 ∴d a 232=
，d a 2
1
1=。 ∴数列{}n a 为等差数列，由11=a 知2=d ，所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n 。
【考点】数列递推式，数列与函数的综合。
【分析】（1）由集合M 的元素只有一个1，得到k =1，所以当n 大于1即n 大于等于2时
)(2k n k n k n S S S S +=+-+，都成立，变形后，利用11=a 化简，得到当n 大于等于2时，此数列除去
首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n =5代入通项公式即可求出第5项的值；
（2）由)(2k n k n k n S S S S +=+-+，利用数列递推式得到k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+，从而求出2=d ，得到数列{}n a 的通项公式。
10.（江苏2011年附加10分）设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中
,a b ∈{}1,2,3,,n …，a b >．
（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1
()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B ．
【答案】解：（1）∵点P 的坐标满足条件331-≤-=≤n a b ，∴3-=n A n 。
（2）设k 为正整数，记)(k f n 为满足条件以及k b a 3=-的点P 的个数。只要讨论
1)(≥k f n 的情形。
由k n k a b 331-≤-=≤,知k n k f n 3)(-=，且3
1
-≤
n k , 设r m n +=-31，其中{}2,1,0,∈∈*
r N m ，则m k ≤， ∴∑∑
==-==m
k m
k n n k n k f B 1
1
)3()(2
)
332(2)1(3--=
+-
=m n m m m mn ， 将31r n m --=
代入上式，化简得6
)
1(6)2)(1(----=r r n n B n ， ∴???
????---=不是整数是整数3,6)2)(1(3
,6)3(n n n n
n n B n 。
【考点】计数原理，数列递推式。
【分析】（1）n A 为满足3a b -=的点P 的个数，显然(,)P a b 的坐标的差值，与n A 中元素个数有关，直接写出n A 的表达式即可。
（2）设k 为正整数，记)(k f n 为满足题设条件以及k b a 3=-的点P 的个数，讨论)(k f n ≥1
的情形，推出k n k f n 3)(-=，根据k 的范围 3
1
-≤
n k ，说明1n -是3的倍数和余数，然后求出n B 。 11.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221n
n n
n n b a b a a ++=+，
*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ????
??
?? ?
?????
?
是等差数列； （2）设n
n
n a b b ?
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11，∴11222
=1n n
n n n n
n n a a b b a ++=
+??
+ ???
。
∴
2
1
11n n n n b b a a ++??=+ ???
。∴
()2
2
2
221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++?
????????? ?-=+-=∈ ? ? ? ? ? ?????????
??
。 ∴数列2
n n b a ??????
?? ???????
是以1 为公差的等差数列。
（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b ∴12 2 12n n n n n ≤+。 （﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >则2 12= 2a a 12log q n >a 时，112n n a a q += 盾。 若01, 1a a >a >q ，∴当1 1 log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。