证明圆的切线方法
证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线?在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过O O上某一点A,证明I是O O的切线，只需连0A，证明OA丄l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.
求证：EF与O 0相切.
证明：连结OE, AD.
?/ AB是O 0的直径，
??? AD 丄BC.
又??? AB=BC , ???/ 3= / 4.
——
?BD=DE，/ 1 = / 2.
又??? OB=OE , OF=OF ,
???△ BOF ◎△ EOF ( SAS)
???/ OBF= / OEF.
??? BF与O O相切，
?OB 丄BF.
???/ OEF=9O°.
?EF与O O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
?/ AD是/ BAC的平分线,
???/ DAB= / DAC.
?/ PA=PD,
???/ 2= / 1+ / DAC.
又???/ B= / E,
???/ 1 = / E
?/ AE是O O的直径，
? AC 丄EC, / E+ / EAC=90 .
???/ 1 + / EAC=90°.
即OA丄PA.
? PA与O O相切.
证明二: 延长AD交O O于E,连结
?/ AD是/ BAC的平分线,
? BE=CE,
? OE 丄BC.
???/ E+/ BDE=90 0.
P ?/ OA=OE ,
???/ E=/ 1.
?/ PA=PD,
???/ PAD= / PDA.
又???/ PDA= / BDE,
即OA丄PA.
? PA与O O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图，AB=AC，AB是O O的直径，O O交BC于D，DM丄AC于M
求证：DM与O O相切.
证明一：连结OD.
?/ AB=AC ,
???/ B= / C.
?/ OB=OD ,
???/ 仁/ B.
???/ 1= / C.
?OD // AC.
?/ DM 丄AC ,
?DM 丄OD.
?DM与O O相切
证明二：连结OD , AD.
?/ AB是O O的直径,
?AD 丄BC.
又??? AB=AC,
?/ 1= / 2.
?/ DM 丄AC ,
?/ 2+Z 4=90°
?/ OA=OD ,
?/ 仁/3.
?/ 3+Z 4=90°.
即0D丄DM.
??? DM是O O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的?证明二是通过证两角互余证明垂直的,
解题中注意充分利用已知及图上已知
例4如图，已知：AB是O O的直径，点C在O O上，且/ CAB=30 °, BD=OB , D在AB的延长线上
求证：DC是O 0的切线
证明：连结OC、BC.
?/ OA=OC ,
???/ A= / 1= / 30°.
???/ BOC= / A+ / 1= 60°.
又??? OC=OB ,
?△ OBC是等边三角形.
?OB=BC.
?/ OB=BD ,
?OB=BC=BD.
?OC 丄CD.
? DC是O O的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.
例5 如图，AB是O O的直径，CD丄AB，且OA2=OD ? OP.
求证：PC是O O的切线.
证明：连结OC
?/ OA2=OD ? OP, OA=OC ,
2
? OC =OD ? OP,