初中几何题解题技巧

在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。

一、割补法

割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。

例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。

练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。

二、平移法

平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。

例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。

练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。

三、旋转法

旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。

例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。

分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。

练一练3：如图9，在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，E点正好落在直角三角形的斜边AC上，已知AE＝8厘米，EC＝12厘米，求图中阴影部分的面积。

四、等分法

等分法是指把一个几何图形平均分成若干个完全相同的小图形，然后根据大图形与小图形面积之间的倍数关系进行求解的方法。

例4如图10，三角形ABC的面积是48平方分米，点D、E、F与G、H、I

分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。求阴影部分的面积。

分析与解：通过作辅助线，可以将三角形ABC平均分成16个完全一样的小三角形（如图11所示），阴影部分为其中3个小三角形，即阴影部分的面积占三角形ABC的面积的。阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。

练一练4：如图12所示，长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点，求阴影部分的面积。

五、轴对称法

轴对称法是指根据轴对称图形的特点，在原图上再构造一个完全相同的图形，使原图的面积扩大2倍，然后通过计算新图形的面积来求出原图面积的方法。

例5如图13，在扇形OAB中，OA、OB的长均为6厘米，∠AOB＝45°，求阴影部分的面积。

分析与解：如图14所示，根据轴对称图形的特点，以OB边所在的直线为对称轴，作一个与扇形OAB完全一样的扇形OA′B，这样两个扇形就组成了一个圆。阴影部分的面积就相当于用圆的面积减去等腰直角三角形AOA′的面积，然后再除以2，列式为：（3.14×62×－6×6÷2）÷2＝5.13（平方厘米）。

练一练5：如图15所示，已知等腰直角三角形ABC的斜边AC长是8厘米，求这个三角形的面积。

六、整体分析法

整体分析法是指不注重对问题局部细节的考虑，而着眼于把局部放在一个整体中，通过观察、分析，寻求局部与整体之间的联系，从而找到解决问题的方法。

例6如图16，已知大圆的直径是20厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有4个，其中阴影1个，空白3个。要求阴影部分的面积，就相当于把大圆的面积平均分成4份，求其中一份的面积，列式为：3.14×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。

练一练6：如图17所示，已知大圆的直径是16厘米，求阴影部分的面积。

七、等量代换法

等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换，从而求出面积的方法。

例7如图18，长方形ABCD的面积为1500平方厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，求四边形EFGO的面积。

分析与解：在长方形ABCD中，△ABF与△DBF同底（即BF的长）、等高（即长方形的宽），所以S△ABF＝S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF，则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。这样S阴影＝S四边形EFGO＋S△ACD ，则S四边形EFGO＝S阴影－S△ACD 。四边形EFGO的面积为：880－1500÷2＝130（平方厘米）。

练一练7：如图19所示，已知平行四边形EFGH的底是8厘米，高是6厘米，阴影部分的面积是16平方厘米，求四边形ABCD的面积。

八、两次求差法

两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方法。

例8如图20，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：从图中可以看出：阴影部分面积等于扇形ADE的面积减去空白部分AFCD的面积。AFCD是一个不规则的图形，它的面积无法直接求出，可以用长方形ABCD的面积减去扇形ABF的面积得出。空白部分AFCD的面积为：6×4－3.14×42×＝11.44（平方厘米），阴影部分的面积为：3.14×62×－11.44＝16.82（平方厘米）。

练一练8：如图21所示，已知正方形ABCD的边长是8分米，求阴影部分的面积。

九、比例法

比例法是指根据几何图形中相关联的量之间的正、反比例关系求出面积的方法。

例9如图22，在梯形ABCD中，BC＝2AD，BF＝2EF，E是CD的中点。已知梯形ABCD的面积是72平方厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：在梯形ABCD中，三角形BCD与三角形ABD的高相等，底BC＝2AD，所以三角形BCD与三角形ABD的面积比为2∶1，三角形BCD的面积为72÷（2＋1）×2＝48（平方厘米）。由于E是CD的中点，三角形BDE与三角形BCE 的面积相等，三角形BDE的面积为48÷2＝24（平方厘米）。又因为三角形BDF 与三角形EDF的高相等，底BF＝2EF，所以三角形BDF与三角形EDF的面积比为2∶1，三角形BDF的面积为24÷（2＋1）×2＝16（平方厘米）。

练一练9：如图23所示，平行四边形ABCD的面积是96平方分米，BE＝2DE，AF＝3DF，求三角形DEF的面积。

十、方程法

方程法是指通过设未知数列方程的方法，求出某条线段的值，然后再求出面积的方法。

例10如图24，在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，已知AB＝3厘米，BC＝4厘米，AC＝5厘米，EG垂直于AC，且EG＝0.3厘米。求正方形BDEF的面积。

分析与解：如图25，连接AE、BE、CE。要求正方形BDEF的面积，一般要先求出其边长，根据题目中的条件，我们可以采用列方程的方法求出正方形边长。设正方形BDEF的边长为x厘米，根据S△ABE＋S△BCE＋S△ACE＝S△ABC，可列方程为：3x×＋4x×＋5×0.3×＝3×4×，解：x＝1.5。正方形BDEF的面积为：1.5×1.5＝2.25（平方厘米）。

练一练10：如图26所示，长方形ABCD的长是8分米，宽是6分米，BE ＝2AE，三角形ECG的面积18平方分米，OF的长是多少分米？