高中数学必修一单元测试及答案

第一章 集合与函数概念

一、选择题

1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ?B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1}

C ．{a |a ≥2}

D ．{a |a ＞2}

3．A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =，则m 的取值集合是( )．

A ．??????21－ ，3

1

B ．??????21－ ，31－ ，0

C ．?

??

???21－ ，31 ，0 D ．??????21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )

B ．M ∩(P ∩I N )

C ．P ∩(I N ∩I M )

D ．(M ∩N )∪(M ∩P )

5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝?

??

?

?

?1＝2

－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．

A ．?

B ．{(2，3)}

C ．(2，3)

D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}

6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0

B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x

x 2

－1

C ．f (x )＝x 2

，g (x )＝(x )4

D ．f (x )＝x 3

，g (x )＝39

x

7．函数f (x )＝x 1

－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称

B ．直线y ＝－x 对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y ＝x 对称

8．函数f (x )＝

1

1＋x

2(x ∈R )的值域是( )． A ．(0，1) B ．(0，1] C ．[0，1)

D ．[0，1]

9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2

，则f (7)＝( )． A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

(第4题)

10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与

f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式：

①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )．

A ．①与④

B ．②与③

C ．①与③

D ．②与④ 二、填空题

11．函数x x y +-=1的定义域是 ．

12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝ ．

13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝ ，N ＝ ．

15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠?，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．

16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3

)，那么当x ∈(－∞，0]时，

f (x )＝ ．

三、解答题

17．已知A ＝{x |x 2

－ax ＋a 2

－19＝0}，B ＝{ x |x 2

－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2

＋2x －8＝0}，且?(A ∩B )，A ∩C ＝?，求a 的值．

18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则

a

－11

∈A ，a ≠1且1 A ． (1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a

1

∈A ．

∈

19．求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．

20．已知定义域为R 的函数f (x )＝a

b

－x x ＋2

＋21

＋是奇函数．

(1)求a ，b 的值；

(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2

－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

一、选择题 1．对数式log 3

2－(2＋3)的值是( )．

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．不存在

2．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x

与y ＝log a x 的图象是( )．

A B C D 3．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )． A ．(1－a )3

1＞(1－a )2

1 B ．log 1－a (1＋a )＞0 C ．(1－a )3

＞(1＋a )2

D ．(1－a )1+a

＞1

4．函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如

图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是( )．

A ．1＜d ＜c ＜a ＜b

B ．c ＜d ＜1＜a ＜b

C ．c ＜d ＜1＜b ＜a

D ．d ＜c ＜1＜a ＜b

5．已知f (x 6

)＝log 2 x ，那么f (8)等于( )． A ．

3

4

B ．8

C ．18

D ．

2

1 6．如果函数f (x )＝x 2

－(a －1)x ＋5在区间??

? ??121 ，上是减函数，

那么实数a 的取值范围是( )． A ． a ≤2

B ．a ＞3

C ．2≤a ≤3

D ．a ≥3

7．函数f (x )＝2－x

－1的定义域、值域是( )． A ．定义域是R ，值域是R

B ．定义域是R ，值域为(0，＋∞)

C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)

D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R

8．已知－1＜a ＜0，则( )．

A ．a ＜a

??? ??21＜2a

B ．2a

＜a

??? ??21＜a

C ．2a

＜a

＜a

??

?

??21

D ．a

??

? ??21＜a ＜2a

9．已知函数f (x )＝???+-1 log 1≤

413＞ ，，)(x x x a x a a

是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是

( )．

A ．(0，1)

B ．??

?

??310，

C ．??

????3171，

D ．??

?

???171， 10．已知y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(0，2) D ．［2，＋∞)

二、填空题

11．满足2－x ＞2x

的x 的取值范围是 ．

12．已知函数f (x )＝(－x 2

＋4x ＋5)，则f (3)与f (4)的大小关系为 ． 13．

64

log 2

log 273的值为_____．

14．已知函数f (x )＝??

???，≤ ，，

＞，020log 3x x x x 则

???

? ????? ??91f f 的值为_____．

15．函数y ＝)－(34log 5.0x 的定义域为 ． 16．已知函数f (x )＝a －

1

21

+x

，若f (x )为奇函数，则a ＝________．

三、解答题

17．设函数f(x)＝x2＋(lg a＋2)x＋lg b，满足f(－1)＝－2，且任取x∈R，都有f(x)≥2x，求实数a，b的值．

18．已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．

(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．

19．求下列函数的定义域、值域、单调区间：

(1)y＝4x＋2x+1＋1；

(2)y＝

2

＋

3

2

3

1x

－

x

?

?

?

?

?

．

20．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，其中a＞0，a≠1．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；

(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．

第三章 函数的应用

一、选择题

1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2

＋x －3＝0 B ．

x

1

＋1＝0 C ．

2

1

x ＋ln x ＝0

D ．x 2

－lg x ＝0

2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．

A ．(－∞，－2］

B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．(－2，2)

3. 若函数f (x )＝a x

－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |a ＞1}

B ．{a |a ≥2}

C ．{a |0＜a ＜1}

D ．{a |1＜a ＜2}

4．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点 D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点

5. 函数f (x )＝???

0＞，ln ＋2－0 ，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).

A ．y ＝

23

|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝23－23

|x －1|(0≤x ≤2)

C ．y ＝2

3

－|x －1|(0≤x ≤2)

D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)

7．当x ∈(2，4)时，下列关系正确的是( )．

A ．x 2

＜2x

B ．log 2 x ＜x 2

C ．log 2 x ＜

x

1 D ．2x

＜log 2 x 8．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，

则第7年它们繁殖到( )．

A．300只B．400只C．500只D．600只

9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．A．2元B．元C．1元D．元

10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．

A．250 B．400 C．300 D．350

二、填空题

11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是．

12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长米，宽米.

13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0＜x≤40)(克)的函数，其表达式为．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成

正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为

a

t

y

-

?

?

?

?

?

=

16

1

(a为常数)，

如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围．

16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为．

(第14题)

三、解答题

17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高

18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．

(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案

(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少

19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小

期末测试题

考试时间：90分钟试卷满分：100分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩U B＝( )．

A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}

2．下列四个图形中，不是

．．以x为自变量的函数的图象是( )．

A B C D 3．已知函数 f (x )＝x 2

＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2

＋a ＋2

B ．a 2

＋1

C ．a 2

＋2a ＋2

D ．a 2

＋2a ＋1

4．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．

4log 8log 22＝

4

8

log 2 C ．log 2 23

＝3log 2 2

D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 4

5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2x B ．f (x )＝lg x 2

，g (x )＝2lg x

C ．f (x )＝1

－1－2

x x ，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x 6．幂函数y ＝x α

(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0)

B ．一定经过点(1，1)

C ．一定经过点(－1，1)

D ．一定经过点(1，－1)

7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：

运送距离x (km)

O ＜x ≤500 500＜x ≤1 000

1 000＜x ≤1

500

1 500＜x ≤2

000 …

邮资y (元)

…

如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．元

B ．元

C ．元

D ．元

8．方程2x

＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0)

B ．(2，3)

C ．(1，2)

D ．(0，1)

9．若log 2 a ＜0，b

??

?

??21＞1，则( ).

A ．a ＞1，b ＞0

B ．a ＞1，b ＜0

C ．0＜a ＜1，b ＞0

D ．0＜a ＜1，b ＜0

10．函数y ＝x 416－的值域是( ). A ．[0，＋∞)

B ．[0，4]

C ．[0，4)

D ．(0，4)

11．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ). A ．f (x )＝

x

1

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

12．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是( ). A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(0，1)

D ．(－1，0)∪(1，＋∞)

13．已知函数f (x )＝?

??0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1

14．已知x 0是函数f (x )＝2x

＋x －11

的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则有( ). A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0

D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A ?B ，则a 取值范围是 ． 16．若f (x )＝(a －2)x 2

＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是 ． 17．函数y ＝2－log 2x 的定义域是 ． 18．求满足8

241－x ?

?

?

??＞x －24的x 的取值集合是 ．

三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．(8分) 已知函数f (x )＝lg(3＋x )＋lg(3－x )． (1)求函数f (x )的定义域；

(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．

20．(10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋ax(x∈R)．

(1)证明：当a＞2时，f(x)在R上是增函数．

(2)若函数f(x)存在两个零点，求a的取值范围．

21．(10分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大最大月收益是多少

参考答案

第一章 集合与函数的概念

一、选择题

1．A 解析：条件U A ＝{2}决定了集合A ＝{0，1}，所以A 的真子集有?，{0}，{1}，故正确选项为A ．

2．D 解析：在数轴上画出集合A ，B 的示意图，极易否定A ，B ．当a ＝2时，2 B ，故不满足条件A ?B ，所以，正确选项为D ．

3．C 解析：据条件A ∪B ＝A ，得B ?A ，而A ＝{－3，2}，所以B 只可能是集合?，{－3}，{2}，所以，m 的取值集合是C ．

4．B 解析：阴影部分在集合N 外，可否A ，D ，阴影部分在集合M 内，可否C ，所以，正确选项为B ．

5．B 解析：集合M 是由直线y ＝x ＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P 是坐标平面上不在直线y ＝x ＋1上的点组成的集合，那么M P 就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U (M P )就是点(2，3)的集合，即U (M P )＝{(2，3)}．故正确选项为B ．

6．D 解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A ，B ，C 中，两函数的定义域不同，正确选项为D ．

7．C 解析：函数f (x )显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C ．取特殊值不难否定其它选项．如取x ＝1，－1，函数值不等，故否A ；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D ，点(0，－1)也不在图象上，否选项B ．

8．B 解析：当x ＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A ，C ；当x 的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D ．故正确选项为B ．

9．A 解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12

＝－2，故正确选项为A ．

10．C 解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．

二、填空题

11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：

3

19．解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2

＝4，ab ＋b ＝1(a ∈

＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31

，于是f (3)＝319．

13．参考答案：??

?

?? 21，．解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0．

(1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0． 综上得实数a 的取值范围是??

?

?? 21，．

14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N)＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．

15．参考答案：(2，4]．

解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组??

?

??7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥

1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，

4]．

16．参考答案：x (1－x 3

)． 解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3

］＝－x (1－x 3

)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，

即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3

)． 三、解答题

17．参考答案：∵B ＝{x |x 2

－5x ＋6＝0}＝{2，3}，

C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}，

∴由A ∩C ＝?知，－4 ，2 A ； 由?(A ∩B )知，3∈A ．

∴32

－3a ＋a 2

－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．

当a ＝5时，A ＝{x |x 2

－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝?矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ，

∴

a －11＝2－11

＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ； ∈A ∈ ＋∞ ＋∞

∴

a －11＝2

1

－11＝2∈A ． 因此，A 中至少还有两个元素：－1和2

1． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝

a

－11，整理得a 2

－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．

(3)证明： a ∈A ?

a －11∈A ? a

1－1－

11∈A ?1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1

∈A ．

19．参考答案： f (x )＝22

2??

? ??

a x －＋3－22a ．

(1)当

2

a

＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为??

?

??2a f ＝3－22a ；

(3)当

2

a

＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ． 综上可知，f (x )的最小值为???

?

?????．＞ ，－，

≤≤ ，－，＜－ ，

＋22522232252

a a a a a a － 20．参考答案：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数，

∴ f (0)＝0，即a b

2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 从而有f (x )＝a

x x ＋21＋2－＋1．

又由f (1)＝－f (－1)知a

4＋＋1

2－＝－a 1＋＋1

21

－，解得a ＝2．

(2)先讨论函数f (x )＝

2

＋21＋2－＋1x x ＝－

21

＋1

＋21x 的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝

1

＋212

x －

1

＋211

x ＝

)

)((1＋21＋22－21

2

2

1x x x x ，

∵指数函数2x

为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)，

∴函数f (x )＝

2

＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．

由f (t 2

－2t )＋f (2t 2

－k )＜0得f (t 2

－2t )＜－f (2t 2

－k )，

∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2

＋k (*)． 由(*)式得k ＜3t 2

－2t ．

又3t 2

－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是??? ?

?31－ －∞，．

第二章 初等函数

一、选择题

1．A 解析：log 3

2－

(2＋3)＝log 3

2－

(2－3)－1

，故选A ．

2．A 解析：当a ＞1时，y ＝log a x 单调递增，y ＝a －x

单调递减，故选A ． 3．A 解析：取特殊值a ＝2

1

，可立否选项B ，C ，D ，所以正确选项是A ．

4．B 解析：画出直线y ＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a ，b ，c ，d 的值，由图形可得正确结果为B ．

5．D 解析：解法一：8＝(2)6

，∴ f (26

)＝log 22＝2

1． 解法二：f (x 6

)＝log 2 x ，∴ f (x )＝log 26x ＝

61log 2 x ，f (8)＝61

log 28＝2

1． 6．D 解析：由函数f (x )在??

?

??121 ，上是减函数，于是有21－a ≥1，解得a ≥3． 7．C 解析：函数f (x )＝2－x

－1＝x ??? ??21－1的图象是函数g (x )＝x

??

? ??21图象向下平移一个单位

所得，据函数g (x )＝x

??

?

??21定义域和值域，不难得到函数f (x )定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．

8．B 解析：由－1＜a ＜0，得0＜2a

＜1，0.2a

＞1，a

??

?

??21＞1，知A ，D 不正确．

当a ＝－21时，2

1

21－

?

?

?

??＝

5

01.＜

2

01.＝2

12

0－

.，知C 不正确． ∴ 2a

＜a

??

? ??21＜0.2a

．

9．C 解析：由f (x )在R 上是减函数，∴ f (x )在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0

＜a ＜1 ①，又由f (x )在(－∞，1]上单减，∴ 3a －1＜0，∴ a ＜31

②，又由于由f (x )在R 上是减函

数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1］上的最小值7a －1要大于等于f (x )在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f (x )在R 上是减函数．

∴ 7a －1≥0，即a ≥

71③．由①②③可得71≤a ＜3

1

，故选C ．

10．B 解析：先求函数的定义域，由2－ax ＞0，有ax ＜2，因为a 是对数的底，故有a ＞0且

a ≠1，于是得函数的定义域x ＜a 2．又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜a 2

，

从而0＜a ＜2且a ≠1．

若0＜a ＜1，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )增大，即函数

y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.

若1＜a ＜2，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )减小，即函数

y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递减的．

所以a 的取值范围应是(1，2)，故选择B ． 二、填空题

11．参考答案：(－∞，0)． 解析：∵ －x ＞x ，∴ x ＜0．

12．参考答案：f (3)＜f (4)． 解析：∵ f (3)＝ 8，f (4)＝ 5，∴ f (3)＜f (4)． 13．参考答案：21． 解析：64log 2log 273＝3lg 2lg ·64lg 27lg ＝63＝2

1

．

14．参考答案：

4

1

． 解析：???

??91f ＝log 391＝－2，

???

? ??

??? ??91f f ＝f (－2)＝2－2

＝41． 15．参考答案：??? ??143 ，

． 解析：由题意，得 ?????0 34log 0345.0≥)

－(＞－x x ? ??

???13443 ≤－＞x x ∴ 所求函数的定义域为??

?

??143 ，

． 16．参考答案：a ＝

2

1

． 解析：∵ f (x )为奇函数， ∴ f (x )＋f (－x )＝2a －121＋x －1

21

＋x -＝2a －1212＋＋x x ＝2a －1＝0，

∴ a ＝

2

1

． 三、解答题

17．参考答案：a ＝100，b ＝10． 解析：由f (－1)＝－2，得1－lg a ＋lg b ＝0 ①，由f (x )≥2x ，得x 2

＋x lg a ＋lg b ≥0

(x ∈R )．∴Δ＝(lg a )2

－4lg b ≤0 ②．

联立①②，得(1－lg b )2

≤0，∴ lg b ＝1，即b ＝10，代入①，即得a ＝100． 18．参考答案：(1) a 的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a 的取值范围是[0，1]．

解析：(1)欲使函数f (x )的定义域为R ，只须ax 2

＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有?

??0 ＜440

a －a ＞，

解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；

(2)欲使函数 f (x )的值域为R ，即要ax 2

＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值． ①当a ＝0时，a x 2

＋2x ＋1＝2x ＋1，当x ∈(－

2

1

，＋∞)时满足要求； ②当a ≠0时，应有?

?

?0 ≥440

a －a ＝＞Δ? 0＜a ≤1．当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，

x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的二根)．

综上，a 的取值范围是[0，1]．

19．参考答案：(1)定义域为R ．令t ＝2x

(t ＞0)，y ＝t 2

＋2t ＋1＝(t ＋1)2

＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．

t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，

故函数y ＝4x

＋2

x ＋1

＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．

(2)定义域为R ．令t ＝x 2

－3x ＋2＝2

23??? ??x －－41????

????????，＋∞41－t ∈． ∴ 值域为(0，43]．

∵ y ＝t

???

??31在t ∈R 时为减函数，

∴ y ＝2

＋3－231x x ?

?

?

??在 ??－∞，???23上单调增函数，在 ??23，＋∞???

?

为单调减函数． 20．参考答案：(1){x |－1＜x ＜1}； (2)奇函数；

(3)当0＜a ＜1时，－1＜x ＜0；当a ＞1时，0＜x ＜1．

解析：(1)f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，若要式子有意义，则 即－1＜x ＜1，

所以定义域为{x |－1＜x ＜1}．

(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(－1，1)，且

F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－［log a (1＋x )－log a (1－x )］＝－F (x )，

所以f (x )－g (x )是奇函数．

(3)f (x )－g (x )＞0即log a (x ＋1)－log a (1－x )＞0有log a (x ＋1)＞log a (1－x )．

x ＋1＞0

1－x ＞0

x ＋1＞0