最新高三下学期第二次周考数学试卷(理科)

高中数学系列复习资料

老河口市高级中学高三下学期第二次周考

数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

1．若221i i z =++，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -

2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则

A ．{|02}A

B x x =<

C ．{|02}A B x x =<

D ．{|12}A B x x =-<

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a =

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股

定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相

补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，

即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形

ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”

，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为

A ．1637

B ．949

C ．937

D ．311

5．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是

A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住

B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%

D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 6．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为

A ．2

B ．31+

C ．5

D ．51-

7．函数cos ()cos x x f x x x +=-在[2,2]-ππ的图象大致为

A B

C D

8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A ．96

B ．84

C ．120

D ．360

9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且

12B P PC =，

平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为

A ．36

B ．26

C ．5

D ．53 10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b

+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为

A ．2

3 B ．3

4 C ．1

5 D ．105 11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了

著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini a S

=称为基尼系数. 对于下列说法：

①Gini 越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ?∈，均有

()1f x x

>； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则

1Gini 4

=；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④

12．定义：{}()()N f x g x ?表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，

2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ?=，则实数a 的取值范围是

A ．(,1]-∞-

B ．2(log 32,0)-

C ．2(2log 6,0]-

D ．2log 32(,0]4- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知单位向量,a b 的夹角为

2π3

,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πcos()12

α-=_________. 15．已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，则{}n a 的前200项和200S =_________. 16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体

积的最小值为_________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a b B c

-=

. （1）求角C 的大小；

（2）若ABC △的面积为33，求ABC △的周长的最小值.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，23BC CD ==，2AB AD ==.

（1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ；

（2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．

19．（本小题满分12分）

已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）. （1）若直线l 过点F ,12OA OB ?=-u u u r u u u r ，求C 的方程； （2）当0OA OB ?=u u u r u u u r 时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

20．（本小题满分12分）

21．（本小题满分12分）

已知函数ln ()e x x f x a

=-. （1）若()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的最大值； （2）若01a <<，求证：2ln ()a f x a +≥

.

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ??=+??=?

(?为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()36

ρθ-=.

（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；

（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知()|||2|f x x x =+-.

（1）求不等式|4|()x f x x

>的解集；

（2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：2224

9

a b c ++≥.