江苏省南通市2020届高三高考考前模拟卷(九)数学试题含附加题 Word版含答案 (1)
南通市2020届高考考前模拟卷（九）
数 学Ⅰ
（南通数学学科基地命题）
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合A ={xe x ≤1}，B ={－2，0，2，4}，则集合A ∩B 的子集的个数为 ▲ .
2. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9：8：8，教务处为了解学生“停课不停学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为100的样本进行调查，则应从高三年级抽取 ▲ 名学生.
3. 已知复数z 满足(1+i )z ＝a +4i （i 为虚数单位)，且|z |=22，则实数a = ▲ .
4. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是 ▲ .
5. 在平面直角坐标系中，抛物线y 2
=4x 的焦点F 在双曲线x 2a 2－y 2
4＝1（a ＞0）上，则焦点F
到该双曲线的渐近线的距离为 ▲ .
6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ .
7. 函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，若函数y =f (x )在区间[m ，n ]上的值 域为[－1，2]，则n －m 的最小值是 ▲ .
8. 已知正六棱柱的侧面积为36cm 2，高为3cm ，则它的外接球的体积为 ▲ cm 3. 9. 已知函数f (x ) = x |x |＋3x ，若f (a )＋f (a 2－2)＜0，则实数a 的取值范围为 ▲ . 10. 已知实数x ，y 满足约束条件?????
x －y ＋2≥0x ＋y －2≥0x ≤2，，则m ＝2x 2＋4x ＋y －2
x ＋2
的最大值是 ▲ .
11. 已知等比数列{a n }的公比q =2，且a 1?a 2?a 3?…?a 30=1,则a 3?a 6?a 9?…?a 30= ▲ .
（第6题图）
（第7题图）
12. 在平面四边形ABCD 中，已知点E ，F 分別在边AD ，BC 上，AD →=3AE →，BC →=3BF →
，AB =3，
EF =2，DC =3，则向量AB →与DC →
的夹角的余弦值为 ▲ .
13. 若在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3. 在△ABD 中，∠ADB ＝45°，则CD 的
取值范围是 ▲ .
14. 已知x >0，y >0，x ＋4y ＋32(1x ＋y )＝15
2，则x －y 的最小值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
在如图所示的空间几何体中，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，M 是BC 的中点， DA 、EB 都垂直于平面ABC . 求证：(1) AM ⊥平面EBC ;
(2) DA ∥平面EBC ．
16.（本小题满分14分）
已知 cos(α＋π3)＝3314，α∈(0，π
2)． (1) 求cos α的值;
(2) 若tan(α＋β)＝5311，β∈(0，π
2)，求β的值．
D
A
E
M
C
B (第15题图)
已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1=1，a 4，a 6，a 9成等比数列，数列{b n }满 足 i ＝1n
a i
b i ＝(n －1)2n +1.
(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求证：数列{b n }是等比数列；
(3) 若数列{c n }满足c n =a n
b n
，且c m (m ∈N *)为整数，求m 的值.
18.（本小题满分16分）
如图,某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距2百米的点A 处安装一套监测设备. 为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分別安装一套监测设备，且满足AB =AC ，∠BAC =90°. 定义: 四边形OACB 及其内部区城为“直接监测覆盖区域”; OC 的长为“最远直接监测距离”设∠AOB =θ.
(1) 求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值； (2) 试确定θ的值，使得“最远直接监测距离”最大.
C
北
θ O
B
A
如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，右准线的方程为x ＝4，A 为椭圆C 的左顶点，F 1、F 2分别为椭圆C 的左，右焦点. (1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 过点T (t ，0) ( t ＞a )作斜率为k (k ＜0)的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(点M 在点N 的左
侧)，且F 1M ∥F 2N . 若MA ＝MT ，求t 的值.
20.（本小题满分16分）
已知函数f (x )=(x －a )e x
＋b (a ，b ∈R). (1) 讨论函数f (x )的单调性；
(2) 对给定的a ，函数f (x )有零点，求b 的取值范围；
(3) 当a ＝2，b ＝0时，F (x )= f (x )－x +1n x ，记y =F (x )在区间(14，1)上的最大值为m ，且m ∈
[n ，n +1)，n ∈Z ，求n 的值.
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．
，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵M =??????
1a b 3，所对应的変换T M 将直线l :2x －y =3变换为自身，求实数a ,b 的值.
B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线C :ρ=2cos θ，直线l ：?
???
?x ＝3t 2，
y ＝－1＋t
2
(t 是参数)，且直线l 与曲线C
交于A ，B 两点.
(1) 求曲线C 的直角坐标方程；
(2) 设定点P (0，－1)，求(PA ＋1)(PB ＋1)的值.
C ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x 2＋y 2
＝2，且|x |≠|y |，求1 (x ＋y ) 2＋1 (x －y )
2 的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知抛物线C: y 2
=2px (p ＞0)
(1) 若抛物线C 经过点(1，2)，求抛物线C 的方程及其准线方程;
(2) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线交抛物线C 手M 、N 两点，直线x =分别交直线OM ，ON 于点A 和点B . 求证: 以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点. 23．（本小题满分10分）
数列{a n }的前n 项和为R n 记S n =∑i ＝1
n 1i ，数列{b n }满足b i = a 1，b n ＝R n -1
n ＋S n a n (n ≥2)，且数列{b n }
的前n 项和为T n .
(1) 请写出R n ，S n ，T n 满足的关系式，并加以证明;
(2) 若数列{a n }通项公式为a n ＝1
2n -1，址明:T n ＜2＋2ln n
试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、答案：4 2、答案：32 3、答案： 0 4、答案：1
5 5、答案：25
5 6、答案：19 7、答案：8
3 8、答案：125π
6 9、答案：（－2 ，1） 10、答案： 92 11、答案：1024 12、答案：53
12
13、答案：[5－2,17＋2] 14、答案：－1
二、解答题（共90分） 15、（本小题满分14分） （略） 16、（本小题满分14分）
（1）43
7； （2）β＝π
6.
17、（本小题满分14分）
（1）a n ＝n ;
（2）m ＝1或m ＝2； 18、（本小题满分16分）
（1）5＋5
2; （2）22＋1. 19、（本小题满分16分）
（1）x 24＋y 2
3＝1; （2）t =3.
20、（本小题满分16分） （1）x ∈（－∞，a －1），函数f （x ）单调递减; x ∈（a －1，＋∞），函数f （x ）单调递减; （2）当b ≤e n -1时，函数f （x ）有零点； （3）n =－4.
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
答案：?
????a ＝1，b ＝0
B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 答案：(1)（x －1）2＋y 2＝1
(2) 3＋ 3
C ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
答案：当且仅当???x ＝0，y ＝±2或???x ＝±2，
y ＝0
时，取等号.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
（1）x ＝－1 ;
（2）（－p 2，0）或（3p
2，0）. 23．（本小题满分10分）
（1）T n ＝S n R n ; （2）（略）.