2019长春高三一模数学文科(可编辑修改word版)

3

2

长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数(-1+ 3i )(3 - i ) = A.

10

B.

-10

C.

10i

D.

-10i

2. 已知集合 M = {0,1}，则满足条件 M N = M 的集合 N 的个数为

A. 1

B. 2

C. 3

D.

4

3. 函数 f (x ) = 3sin x + 3 cos x 的最大值为， A.

B.

2

C.

2 D.

4

4. 下列函数中是偶函数，且在区间(0, +∞) 上是减函数的是

A.

y =| x | +1

B. y = x -2

C. y = 1 - x

x

D.

y = 2|x |

5. 已知平面向量a 、b ，满足| a |=| b |= 1，若(2a - b ) ? b = 0 ，则向量a 、b 的夹角为

A.

30? B.

45? C.

60?

D.

120? 6. 已知 S 是等比数列{a }前 n 项的和，若公比 q = 2 ，则

a 1 + a 3 + a 5

= n n

6

1 1

2

3 A.

B.

C.

D.

3

7

3

7

7. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，异面直线 A 1C 1 与 B 1C 所成角的余弦值为

A. 0

1 B.

C.

D.

2

2

2

1

8. 在?ABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若b = a cos C + 为 c ，则角 A

2

A. 60?

B. 120?

C. 45?

D. 135?

9. 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量 （单位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 y = 1.16x - 30.75 ，以下结论中不正确的为

3

3 S

- = > > 190 185 180 175

170 165 160 155 150

145

A. 15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B. 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C. 可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米，

D. 身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米，

10. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 S = 2.5 (单位:升)，则输入的 k 值为， A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 10

x 2 11. 已知双曲线 a 2 y 2

b 2 1(a 0, b 0) 的两个顶点分别为 A 、 B ，点 P 为双曲线上除 A 、

B 外任意一点，且点 P 与点 A 、 B 连线的斜率分别为 k 1 、 k 2 ，若 k 1k 2 = 3 ，则双曲线的渐

进线方程为，

A.

y = ± x

B.

y = ± 2x x -1 C. y = ± 3x D. y = ±2x 12. 已知函数 f (x ) =

上所有零点的和为

x - 2

与 g (x ) = 1- s in x ，则函数 F (x ) = f (x ) - g (x ) 在区间[-2, 6] n < 4 ?

否 是

输出 S n = n +1 结束

S = S - S

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

身 高

臂 展 开始 输入 k

n = 1, S = k

2 +

= 2 A. 4

B. 8

C. 12

D.

16

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. log 2 4 + log 4 2 = .

2 14. 若椭圆C 的方程为

x y 1，则其离心率为

.

3

4

15. 函数 f (x ) = ln x + x 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程为

.

16. 已知一所有棱长都是

的三棱锥，则该三棱锥的体（想）积为

.

三、解答题：共 70 份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22~23 选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分17.(本小题满分 12 分)

已知 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和， a 3 = 7 ， S 3 = 27 .

（1）求数列{a n }的通项公式 a n ；

1 1 1 1

(2)设b n = 13 - a n ,求 b b + + b b b b + + b b .

18. (本小题满分 12 分)

1 2 2 3 3 4

n n +1 在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， PA = PD = 2 ,四边形 ABCD 是边

长为2 的菱形， ∠A = 60?, E 是 AD 的中点. (1) 求证: BE ⊥ 平面 PAD ； (2) 求点 E 到平面 PAB 的距离.

P

D

C

E A

B

19. (本小题满分 12 分)

平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为 y 2 = 2 px ( p > 0) .

(1) 过抛物线C 的焦点 F 且与 x 轴垂直的直线交曲线C 于 A 、 B 两点，经过曲线C 上

任意一点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 H .求证: | QH |2 =| AB | ? | OH | ；

(2) 过点 D (2, 2) 的直线与抛物线 C 交于 M 、 N 两点且 OM ⊥ ON ， OD ⊥ MN .求

抛物线C 的方程.

3 2 ? 20. (本小题满分 12 分)

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气 温位于区间[20, 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定

六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 [10,15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40)

天数

2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率，； （2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f (x ) = e x - 1

x 2 + ax (a ∈ R ) .

2

（1） 当 a > -1 时，试判断函数 f (x ) 的单调性；

1

（2） 若 a < 1- e ，求证：函数 f (x ) 在[1, +∞) 上的最小值小于 ；

2

（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选讲

?x = 1+ t cos

已知直线l 的参数方程为? y = t sin

（ t 为参数， 0≤< ），以原点为极点， x 轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为

2

+1 = 2cos + 4sin

.

（1） 求圆C 的直角坐标方程；

（2） 若直线l 与圆C 相交于 A 、 B 两点，且| AB |= 2

，求的值.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲已知 a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2 . (1)求证： a 2 + b 2≥2 ；

(2)

≥1+ . 2

2 + 1 a b

y 长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. C 【命题意图】本题考查复数的运算.

【试题解析】C (-1+ 3i )(3 - i ) = 10i .故选 C. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算.

【试题解析】D M N = M 有 N ? M .故选 D. 3. C 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识. 【试题解析】C 由题意可知函数最大值为2 4. . B 【命题意图】本题主要考查函数的性质.

. 故选 C. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除 C ，在(0, +∞) 上是减函数，排除 A ，D.故选 B.

5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.

【试题解析】C 由题意知2a ? b - b 2 = 0, cos < a , b >= 1 .故选 C.

2

6. A 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识.

1

【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于 .故选 A

3

7. B 【命题意图】本题考查线面成角.

1

【试题解析】B 由题意知成角为 ，余弦值为 .故选 B.

3 2

8. A 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.

1

【试题解析】A 由正弦定理可知cos A = 9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.

, A = 60? .故选 A.

2

【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选 D. 10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.

【试题解析】D 由题可知 k = 10 .故选 D. 11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.

【试题解析】C 由题意可知3 = y 2

x 2 - a 2 x 2 , a 2 2 - = 1，从而渐近线方程为

3a 2

y = ± 3x .故选 C.

12. D 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.

【试题解析】D 函数 g (x )，f (x ) 的图象关于(2,1) 点对称，则 F (x ) = 0 共有 8 个零点，

其和为 16. 故选 D.

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 5 13.

【命题意图】本题考查对数运算.

2 5 【试题解析】由题意可知值为 . 2

1 14.

【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.

2

【试题解析】 a = 2, b =

3, c = 1, e = 1

. 2

3

3 b b 0 0 ?

1 1

2 2 15. 15. y = 2x -1【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识. 【试题解析】由题意可得 f '(x ) = 1

+1, f '(1) = 2, f (1) = 1, y = 2x -1. x

1

16.

【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识.

3

【试题解析】由题意可知其V = 1 ? 1

?( 2)2 ?

3 ? 2 3 = 1 .

三、解答题

17.(本小题满分 12 分)

3 2

2 3 3

【命题意图】本题考查数列的相关知识.

【试题解析】解：（1）由 a 1 + 2d = 7, 3a 1 + 3d = 27 ，解得 a 1 = 11, d = -2 ，

可得 a n = 13 - 2n .

1 1

1 1 1

（2）由（1） b n = 2n ， n n +1

= = 4n (n +1) ( - 4 n n ) ，所求式等于 +1 1 +

1 + 1 + ??? + 1 = 1 (1- 1 ) . b 1b

2 b 2b

3 b 3b 4

b n b n +1 4 n +1 18.(本小题满分 12 分)

【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：（1）连接 BD ，由 PA = PD = 2 ， E 是 AD 的中点，得 PE ⊥ AD ， 由平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，可得 PE ⊥ 平面 ABCD ， PE ⊥ BE ，又由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠A = 60 ，所以 BE ⊥ AD ，从而 BE ⊥ 平面 PAD .

（2）在?PAB 中， PA = AB = 2, PB = 6, S ?PAB =

15 ，

2

V

= 1 ? 3 ? 1 ?1? = 1 ，所以点 E 到平面 PAB 的距离为 15 .

P - ABE

3 2 2 5

19.(本小题满分 12 分)

【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.

【试题解析】答案：（1）设Q (x 0 , y 0 ), H (x 0 , 0),| QH |=| y 0 |,| OH |= x 0 ,

| AB |= 2 p ，从而| QH |2 = y 2

= 2 px =| AB || OH | .

（2）由条件可知， MN : y = -x + 4 ，联立直线 MN 和抛物线C ， 有 ? y = -x + 4 ， 有 ? y 2 = 2 px y 2 + 2 py - 8 p = 0 ， 设 M (x , y ), N (x , y ) ， 由 OM ⊥ ON 有

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ，有(4 - y 1 )(4 - y 2 ) + y 1 y 2 = 0 ，由韦达定理可求得 p = 2 ， 所以抛物线C : y 2 = 4x .

20.(本小题满分 12 分)

【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.

【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25， 由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 2 +16 + 36 = 0.6 ， 所以这种酸奶一天的需

90

求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. （2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，

若最高气温不低于 25，则 Y =6 × 450-4 × 450=900； 若最高气温位于区间 [20,25），则 Y =6 × 300+2（450-300）-4 × 450=300；若最高气温低于 20，则 Y =6 × 200+2（450-200）-4 × 450= -100.

2 (2 + 2)2

2 + 1 a b ( ) 所以，Y 的所有可能值为 900,300，-100.

Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为

36 + 25 + 7 + 4

= 0.8 ，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.

90

21.(本小题满分 12 分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法， 考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】解：（1）由题可得 f '( x ) = e x - x + a ，

设 g ( x ) = f '( x ) = e x - x + a ，则 g '( x ) = e x - 1， 所以当 x > 0 时 g '( x ) > 0 ， f '( x ) 在(0, +∞) 上单调递增， 当 x < 0 时 g '( x ) < 0 ， f '( x ) 在(-∞, 0) 上单调递减，

所以 f '( x ) ≥ f '(0) = 1 + a ，因为 a > -1 ，所以1 + a > 0 ，即 f '( x ) > 0 ， 所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递増.

（6 分）

（2）由（1）知 f '( x ) 在[1, +∞) 上单调递増，因为 a < 1 - e ，所以 f '(1) 所以存在t ∈(1, +∞) ，使得 f '(t ) = 0 ，即e t - t + a = 0 ，即 a = t - e t ， 所以函数 f ( x ) 在[1, t ) 上单调递减，在(t , +∞) 上单调递増，

= e - 1 + a < 0 ，

所以当 x ∈[1, +∞) 时 f ( x )

min

= f (t ) = e t - 1 t 2 + at = e t - 1 t 2 + t t - e t = e t (1 - t ) + 1

t 2 ， 2 2 2

令h ( x ) = e x (1 - x ) + 1

x 2 , x > 1，则 h '( x ) = x (1 - e x ) < 0 恒成立，

2

所以函数 h ( x ) 在(1, +∞) 上单调递减，所以h ( x ) < e (1 - 1) + 1 ?12 = 1 ，

2 2

所以e t (1 - t ) + 1 t 2 < 1

，即当 x ∈[1, +∞) 时 f ( x ) 2 2

min

< 1 ，

2 故函数 f ( x ) 在[1, +∞) 上的最小值小于 1

.

（12 分）

2

22. (本小题满分 10 分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.

【试题解析】 （1）圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4 y +1 = 0 .

（2）将直线 l 的参数方程代入到圆 C 的直角坐标方程中，有 t 2 - 4t sin

= 0 ，由

AB = 2 得sin =

3 2 ，所以

=

或

=

.

2

3

3

23.(本小题满分 10 分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本 小题重点考查化归与转化思想.

【试题解析】（1） a 2 + b 2 ≥ 1

(a + b )2 = 2 .

2

2 1 a + b 2 1

3 b a 3 （2） + = ?( + ) = + + ≥ + = ，

a b 2 a b 故 ≥ 1+ 2

.

2 a 2b 2 4

2

3