数学建模在经济学领域的应用

数学建模在经济学领域的应用

内容摘要：随着经济学的发展，数学模型在经济学中的应用日益广泛。当今社会，数学方法及数学模型已经在经济学研究中占据重要地位，起到重要作用.

关键词：数学模型经济学应用

自19世纪30年代开始，数学就开始被应用到经济问题研究中来，特别是70年代以来，出现了一股经济研究数学化的热潮。自此，经济学的研究不再完全使用纯粹的语言表达和推理方式，在研究过程中越来越多的使用数学语言、数学工具、数学方法和数学模型。其中数学模型在经济学中的应用日益广泛。某种经济理论确立之后，通过建立经济模型进而抽象出数学模型，再根据数学模型确定模型的未知量并对其进行严谨的理论分析，最终回到对经济结构的分析、经济预测、政策评价与调整上，指导实际的经济活动。现代经济分析离开数学已寸步难行，企业、部门、地区乃至国家的决策和计划管理，都需要有大量的数学专业人员参与分析和计算。

利用数学可以对经济问题做出简洁、精确的说明。单纯的依靠文字描述进行经济理论的分析，不能保证所研究经济问题前提的规范性及推理逻辑的严密性，也不能保证研究结果的准确性和理论体系的严密性。而数学语言能够使经济研究理论的表述更清晰准确，逻辑推理更严密。对于经济学研究来说，在其中的命题、假说等的推导过程中结合使用数学语言，可以使表述精确简练、层次分明，从而可以减少由于定义不清所造成的争论，提高效率.

数学为经济学的研究提供了科学的方法。一个经济现象的产生是由现实中的诸多因素共同影响的，但并不是所有的因素都可以进行严格的度量，所以要想对这些经济现象通过科学的研究有所发展，就必须对这些因素进行一定的考虑需要根据实际情况对其简化和抽象。

应用数学方法推导出的有关经济学的理论更加明确具体，可以得到仅靠直觉无法或不易得到的经济结论。在经济研究中应用数学方法使研究对象更加明确具体，使经济变量之间的关系数量化，使逻辑推理过程更加严谨，最终保证研究得出的结论具体明确、具有科学性，从而减少经济关系中。

在经济学研究中应用数学知识，进一步拓展了经济学的研究领域。一方面，经济事物的存在是质与量的统一，对经济事物定性研究是定量研究的前提，而定性研究向定量研究发展就是研究的深化。另一方面，数学使某些经济想法变成了理论，促使经济理论的创新，在这方面也拓展了经济学研究的领域。

数学模型在经济学研究中的应用实例分析

（一）运用数学模型解决经济最优化问题

在日常生活中，许多问题都可归结为最大值和最小值的问题。在经济领域中相似的情况更多。每个消费者在符合市场条件的前提下，都在力求寻找对自己最有利的最优消费方案，即花费最少的成本而收到最大的效益；每个工厂、生产企业也都在寻求一定的产量、价格，以获得最大的利润，也就是在一定的成本下达到最大产量，或是在一定的产量下花费最低的成本。虽然这些问题表现不同，但归结起来都是关于最优化的问题。这些有关的经济问题都可以应用数学模型作为工具，寻找到最优方案。例如求函数的最大（小）值与经济生活的最优化问题就有密切联系，可用来分析社会经济中生产者和销售者的最大经济效益、资源的合理利用等一系列问题。下面举例应用导数的知识来优化分析、解决这些问题。解决此类实际问题首先是如何将它转化为数学问题，再利用导数知识去分析它、解决它。

例：设某商品可以保证至少销售10000件，每件售价为50元。如果销售量增加，可按每销售增加2000件，每件降低2元的比例适当降低价格。已知生产此种商品的固定成本是60000元，可变成本为每件20元，设此种商品是以销定产（即产量与销售量相等）的。试问产量为多少时，才能获得最好的经济效益？

解：设此种商品的产量是x件，则成本函数为T(x)=60000+20x，价格函数为，收入函数为D(x)=xP(x)，利润函数为L(x)=D(x)-T(x)，从利润大于等于零的角度考虑利润函数的定义域，解得x应该是大于等于1560，并且小于等于38500，又因为原题中的至少销售一万件的条件，可定出产量x的范围应该是大于等于10000，并且小于等于38500。令D`(X)=0，解得x=30000，而此时D``(X)<0，并且D(x)在[10000，38500]内只有一个驻点，则一定存在对应于收入最大的产量，由数学分析中导数的知识可知当此种商品的产量为三万件时取得最大收入。同理，又令L`(x)=0，解得

x=20000，而此时L``(x)<0，并且L(x)在[10000，38500]内只有一个驻点，则一定存在对应于利润最大的产量，所以当产量为两万件时利润最大。比较两万件和三万件时的利润收益，显然两万件时的利润收益要比三万件时大，所以产量定为两万件时可获得最大利润，最大利润为三十四万元。可见经营管理中不能单纯地追求收入最大，而不考虑利润如何，收入最大必须以利润最高为约束条件（崔宜兰，1997）。

上例说明应用导数求极值问题在经济领域中具有实际的指导意义。实践也证明，用数学模型对经济问题所作的定性分析和定量分析是严谨的、缜密的、可信的。

（二）数学模型对经济预测的指导

经济预测借助于科学的方法和技术手段，根据客观经济过程的历史演变和发展规律，对未来一定时期内经济发展的趋势和状况进行描述、分析，并作出估计和推断。目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以减少不确定性因素对社会经济活动的影响，合理的使用人力、物力、财力，获得最大经济效益。结合数学理论，预测方法主要有三种：时间序列的趋势预测；回归预测；投入产出预测。其中线性回归分析法是经济预测的常用数学方法，即利用统计数据确定变量之间的线性关系，并参考这种函数关系来预测未来经济发展趋势。

例如：某厂生产一种机床，最近几年的产量和成本分别为：1995年共生产10

台机床，其中每台的成本为600元；1996年共生产40台机床，其中每台的成本为300元；1997年共生产30台机床，其中每台的成本为450元；1998年共生产20台机床，其中每台的成本为550元；1999年共生产50台机床，其中每台的成本为400元。问：如果该厂计划年度产量为60台，用一元回归分析的方法预测该厂计划年度的总成本。

解：根据本题所给资料，在单位成本确定的情况下，影响总成本y的因素，只表现为产量x，其线性函数可描述为y=a+bx，其中a，b为待定参数。设预测的数学模型为yi=a+bxi，要使二者所有误差的平方和Q达到最小，可以通过求函数极值的方法来解决。使Q达到最小误差的平方和可用公式表示为：（为书写方便，均用∑表示，n为计算的年数5，下同）。为使误差的平方和Q达到最小，对a，b求一阶偏导数，并令其各式均为零，由题中已知条件得出：b=290，a=3800。则预测式为：

y=3800+290x。即计划年度生产60台机床预测总成本为：y=21200元。

由以上对于a，b的计算过程可知，对于任何一组统计数据(xi,yi)，都可以推算出a，b，并据此建立一元线性回归方程，但x，y之间是否具有近似线性关系？该方程所揭示的规律是否比较准确？预测的精度如何？都没有给予说明。因此为了把握预测的准确程度还要求计算相关系数，进行相关性检验。设相关系数为r，且r的取值为-1≤r≤1，r的绝对值越接近于1，表明x与y之间线性关系越密切。当r=1，表明x与y之间完全正相关；当r=-1，表明x与y完全负相关；当r=0，表明x与y

之间不存在任何联系。在预测分析中由于产量或成本均不会为负，故只有IrI趋近于1才有实际意义。利用相关系数的计算公式，经过计算得到本例中r=0.9073，这说明该种产品产量与产品总成本具有高度的正向相关性，因而计算结果是有效的（程小红，2000）。

（三）数学模型对经济政策的指导

政策评价是指决策者从众多的决策中选择一种最优的政策来执行。其中用到弹性函数、乘数、生产技术系数、边际效益等数学概念。

例如，某地根据不同时期、不同家庭的消费资料，得到该地某种经济作物的综合需求函数为f(x,p)=0.4p-0.7x0.8，其中p为作物每斤的价格，x为人均月收入，f(x,p)为人均月需求量。由需求函数的表达式可知该式为一个减函数，这与经济理论也是相符的。当价格上升时，需求量下降；当收入增加时，需求量上升。由已知的需求函数得到：若该地人均月收入为50元，该经济作物每斤1.30元，则可预测人均月需求量为7.61斤。利用此结果，就可以在调节作物种植时做出合理的安排。

如果该地人均月收入增加了2.50元，政府为了让种植户也增加收入，决定该经济作物的价格提高39%。同时，政府为了不使消费者受太大的损失，决定对消费者进行补贴，那么，应该补贴多少比较合适呢？

根据需求函数公式，由全微分公式得dy=fx(x,p)dx+fp(x,p)dp，近似地有Δy≈

f(x,p)。当p=1.30，x=50时，由于Δx=2.5，Δp=0.39，则Δy≈-1.3。由此计算结果可知，如果该地人均月收入增加2.50元、该经济作物的价格提高39%的前提下，每月该经济作物人需求量减少1.3斤。所以，为了保持需求量不减少，在提价39%的前提下，通过计算可知大约人均每月应补贴2.35元才能达到目的（杨丽贤、曹新成、关丽红，2006）。

经济学研究中应用数学方法的注意事项

经济学是人类活动中有关经济现象和经济行为的一种力量，它作为社会科学的一个分支，受到历史、社会、文化、道德等诸多方面的影响，并不是所有的经济活动和经济关系都可以用数学进行量化研究。甚至有些经济学思想是不能转化成简单的数学模型的。在经济研究中过分强调数学的应用，会失去经济学作为社会科学的人文性和真正的科学性。

经济学研究中要综合应用各种方法，不能将数学作为经济研究的唯一方法。在经济研究中过分强调数学的应用，会导致经济研究资源和研究方向的单一化，不利于经济学的发展。一种唯一的方法不可能形成对真实的经济事物的正确认识，经济学是一门非常复杂的科学体系，数学只是其研究方法中的一个，而不是全部。研究经济学的方法包含多个层次：一般方法是唯物辩证法和历史唯物主义；特殊方法是系统抽象理论；辅助方法是电脑及信息手段，而数学方法是经济研究中某些方面的具体方法。所以，在经济研究中必须综合应用各种方法，才能使相关的经济问题有效解决，才能使经济理论真实有效，具有真正的科学性。正如凯恩斯曾经说过的那样，“一个好的经济学家，在某种程度上必须是一位数学家、历史学家、政治学家和哲学家。”

经济研究在应用数学方法时，要力求数学条件的设定与真实的经济现实相一致，不可设定一种脱离现实的完全竞争的经济模型。运用数学方法演绎出来的理论，是在给定的假设条件下的有效结论，如果假设是错误的，那么得到的结论也不是真实事物的表现。正如某些经济学家所说：“数学像磨盘一样，把撒在下面的东西磨碎，如果撒下的是蒺藜，怎么也不可能得到面粉的。”所以，要保证经济理论的真实性，

就要不断地追求假设条件和经济现实的最大接近，要找好数学与经济理论的结合点，提高解决问题的能力，使数学成为经济理论研究的科学依据。

综上，经济科学的发展，要求继续深入研究的同时，也要求加强数量关系的分析研究，以便更有效地认识和利用经济规律。因此，数学方法作为辅助工具，会一直在经济研究中被成功地运用。相信随着经济和数学的共同发展，在经济研究中还将更进一步地运用现代数学方法和更多的数学模型。数学模型作为研究的一种方法，是源于现实的，最终还要回到现实中去，去接受现实的检验，经得住现实检验的经济模型才能得以有效应用。

数学建模的目的是构建数学建模意识，培养学生创造性思维能力，在诸多的思维活动中，创新思维是最高层次的思维活动，是开拓性、创造性人才所必须具备的能力，培养创造性思维能力，主要应培养学生灵活运用基本理论解决实际问题的能力，在数学教学中培养学生的建模意识实质上是培养、发展学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动，它既具有一定的理论性，又具有较强的实践性，还要求思维的深刻性和灵活性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立、自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力、直觉思维、猜测、转换、构造等能力，而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征，而这种创新思维可以让我们在软件开发方面有着过人之处.

参考文献：

1.崔宜兰.导数在经济领域中的最优化问题的应用.安庆师范学院学报，1997（2）

2.程小红.回归分析在经济预测中的应用.铜陵财经专科学校学报，2000（4）

3.杨丽贤，曹新成，关丽红.谈高等数学理论在经济领域中的应用.长春大学学报，2006（12）