高一数学奇偶性1(教师版)
学科教师辅导讲义
【典型例题分析】
判断下列函数的奇偶性：
1 2 4 2
例 1、（1） y （2） y=2x （3） y= 3x +1 （4） y=2x +3x （ 5）y=0 （ 6）y=2x+1 （7） x 解析：（ 1）奇函数（ 2）奇函数（ 3）偶函数（ 4）偶函数（ 5）既奇又偶函数（ 6）非奇非偶函数
（ 注意：常函数 f （x ）=c （c 为常数）只要定义域是对称区间， 就一定是偶函数，当 c=0 时是既奇又偶函数； 对称区间的时候就是非奇非偶函数。
变式练习 1：
1 （1） f （x ）=x 2+x
2 ； 2 f （x ） （x 1）2
非奇非偶函数 当定义域不是 2) f(x)=x- 1 ；
x
4)f(x)= |x|
x
答案：（ 1）非奇非偶函数（ 2）奇函数（ 3）偶函数（ 4）奇函数
变式练习 2：已知 （f x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则 a ＝ ______
解析：定义域应关于原点对称，
1 故有 a － 1＝－ 2a ，得 a ＝ .
3 又对于所给解析式，要使 f （－ x ）＝ f （x ）恒成立，应 b ＝0. 答
案： 1 0
3
例 2 、判断下列函数的奇偶性：
b ＝ _________ 1 x 0 解：定义域： 1 x 0
1 x 0 ∴此函数为非奇非偶函数
1 x 1 关于原点非对称区间
2． f (x) x 2 1 1 x 2
2 x 10 x 1或 x 1
解 1 ：定义域： 1 x 2 0 1x
1
∴ 定义域为 x = ± 1
f ( x) x 2 11 x 2 f (x) 且 f ( ±1) = 0
3． f (x) 2
x x (x 0) x x 2 (x
0)
1． f(x) (x 1) 11 x x
∴此函数为即奇且偶函
数
答案：奇函数解：显然定义域关于原点对称 当 x>0 时 , x<0 f (
x) = x2 x = (x x2) 当 x<0 时 ,
x>0 f ( x) = x x2 = (x2+x)
(x 2 x) (x 0) f ( x) 2
f (x)
即： (x x 2) (x 0) ∴此函数为奇函数
4 .f （ x ） =|x+1|－ |x － 1| 解析：（ 1）函数的定义域 x ∈（－∞， + ∞），对
称于原点 .
∵f （－ x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（ |x+1|－ |x － 1|）=－f （x ），
∴f （x ）=|x +1|－| x －1|是奇函数 .
变式练习：判断下列函数的奇偶性，并证明你的结论。
4 2 3
1. f (x) 2x 4 3x 2
2. f (x) x 3 略
1 x
2 x 1
3、判断 f(x) 1 x x 1 的奇偶性。
1 x
2 x 1
解：∵
1x 2 x 1 0 ∴函数的定义域为 R
且 f (x) + f ( x) 1 x 2
x 1 1 ( x) 2 ( x) 1 1 x 2
x 1 1 ( x) 2 ( x) 1 ( 1 x 2
)2(x 1)2 ( 1 x 2)2 (x 1)2 0 ( 1 x 2 1)2 x 2 ∴f (x) = f ( x) ∴f (x) 为奇函数
注：判断函数奇偶性的又一途径： f (x) + f ( x) = 0 为奇函数
f (x) + f ( x) = 2 f (x) 为偶函数
例 3、 函数 f （ x ）的定义域为 D={ x|x ≠ 0} ，且满足对于任意 x 1、 x 2∈ D ，有 f （ x 1· x 2） =f （ x 1）
+f （ x 2）
（1）求 f （ 1）的值；
（2）判断 f （ x ）的奇偶性并证明；
解析：（ 1）解：令 x 1=x 2=1，有 f （1×1） =f （ 1）+f （1），解得 f （1）=0.
（2）证明：令 x 1=x 2=－1，有 f ［（－ 1）×（－ 1）］=f （－1）+f （－ 1）.解得 f （－ 1） =0.
令 x =－ 1， x =x ，有 f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴ f （－ x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数 .
变式练习 1、若 f （x ） 是定义在 R 上，对任意的 x,y 均满足 f(x+y)=f(x)+f(y),
试判断 f （x ） 为奇函数还是偶函数？
a 2
b b 变式练习 2、 已知 f （x ）、 g （ x ）都是 奇函数， f （
2 x ）> 0的解集是（ a 2，b ），g （x ）> 0的解集是（ 2 ， 2 ）， 2 >a 2，那 么f （x ）· g （x ） >0 的解集 是
a 2 b
A. ( 2 ，2 ）
B.( － b ，－ a 2）
b b 2
a C.（a 2， 2） ∪（－ 2 ，－ a2) D.( 2 ，
b ）∪（－ b 2，－ a 2）
f (x) 0,
f (x) 0, 提示： f （x ）
·g ( x ）> 0 g(x) 0或
g(x) 0. bb ∴ x ∈（ a ， 2 ）∪（－ 2 ，－ a ） 答案： C
2
x 3x x 0 例 判断函数 fx 的偶性。 2 x 3x x 0
解：
当
x 0时, x 0,f x x 当
x 0时， f 0 0, f 0 0,f 0 f0 当 x 0时， x 0, f x
fx 综上，
对于任意 x R , f x f x 恒成立， 故 f x 为偶函数。 【说明】对于分段函数的奇偶性也应该分段取 x 加以验证，本题也可以通过图像加以说明。
变式练习：（ 1）已知 f （x ） 为奇函数，且当 x>0 时的解析式是 f （x ） x x 3 ，求当 x<0 时的解析式。
（2）已知 f （x ）为偶函数，且当 x 《0时的解析式是 f （x ） x 2 2x ，求当 x>0 时的解析式。 2
（3）已知 f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 是， f （x ） x 2 4x 1求 f （x ）的解析式。 解析：
（ 1）x<0 时， f （x ） x x 3
2
（2） x>0, f （x ） x 2 2x
2）定义域为 1 ，不关于原点对称，故 f x 为非奇非偶函数；
3）定义域为 1, 1 ，关于原点对称且此时 f x 0 ，故函数 f x 既是奇函数又是偶函数
4）定义域为 3,0 U 0, 3 ，定义域关于原点对称，且 f x f x ，故函数 f x 是奇函数； （ 5） x R ，关于原点对称， f x f x ，故函数 f x 是奇函数。
【说明】：判断函数的奇偶性，首先要看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数。若对称， 则需根据定义进一步判断，其中比较复杂的函数，当难以判认 f x 的关系时，应将 f x 的解析式先化简再判断。
2、下面四个结论中，正确命题的个数是
①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对称 ④既是奇函 数，又是偶函数的函数一定是 f （x ）=0（x ∈R ）
A.1
B.2
C.3
D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数 可以为 f （x ）=0〔x ∈（－ a ，a ）〕 .
答案： A
3、已知函数 f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么 g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是
A. 奇函数
B.偶函数
C.既奇且偶函数
D.非奇非偶函数
解析：由 f （ x ）为偶函数，知 b=0，有 g （ x ）=ax 3＋cx （ a ≠ 0）为奇函数 . 答案： A
4、若函数 f （x ）=（x-a ） 2 +bx+c 是偶函数，则 a 、b 、 c 应具备什么条件？
x 2 4x 1,x 0
(3) f (x)
0, x 0 x 2 4x 1,x 0
【课堂小练】
1、判断下列函数的奇偶
性
1） x 2 x 1
x1 2) f x
3） x 2 1 1 4) f x 3 x 2 x44
5） 2x 3 2x
解： 1）定义域
,1 U 1, ，不关于原点对称，故 f x 为非奇非偶函数；
【课堂总结】
奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点
对称) .
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
(3)若奇函数的定义域包含数0，则f( 0)=0.
(4)奇函数的反函数也为奇函数.
(5)定义在(－∞，+∞)上的任意函数 f (x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和
【课后练习】
一、单选题
1. 函数 f (x) = x4-x2 在区间［a，b］(a ≠上b)( )
A．是偶函数但不是奇函数 B ．是奇函数但不是偶函数
C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
2. 若奇函数f(x) 在［a，b］上，(a< b< 0)上有最大值-5，且为增函数，则f(x) 在区间［-b ，-a］上是( )
A．增函数且有最大值-5 B．增函数且有最小值5
C．减函数且有最小值 5 D．减函数且有最大值-5
3.若函数f (x) x x 2bx(b 0) 定义在R 上，则f(x)( )
A ．既是偶函数，又是增函数
B ．既是偶函数，又是减函数
C．既是奇函数，又是增函数 D ．既是奇函数，又是减函数
4. 对于定义域是R 的任何奇函数f(x) ，都有( )
A．f (x)-f (-x)>0 ，(x∈R) B．f ( x )-f (- x) ≤0(x∈R )
C．f ( x ) f (·- x) ≤0，(x ∈R ) D．f ( x ) f (·-x) <0(x ∈R )
5.已知偶函数y f(x)在( 0，+ )上的图像如下，那么在( -
A、x1 B 、x 1 C、x 1 D 、1 x
6. 若 f (x) = (m-1)x2+2mx+3(x ∈R)为偶函数，那么在(0，+ ∞内) f(x) 是
( A ．增函数 B ．部分是增函数，部分是减函数
C．减函数 D ．不能确定增减性
7. 已知函数f(x)定义域为［a，b］，其中b>-a>0，那么，函数 f ( x ) + f ( -x ) 的定义域是( ) A．［a，b］ B ．［a，-a］
C．［-b，-a］ D．［-b，b］
二、填空题
1. 已知f(x)为偶函数，当x< 0时，f(x)=2x-3 ，那么当x>0时，f(x)= _______ ．
2. 函数f(x) 是偶函数，且在(-∞，0)上表达式是f(x)=x2+2x+5 ，则在(0，＋∞)上表达式为___ ．
3. 偶函数f(x)在区间［2，4］上是减函数，则 f (-3) _______ f (3.5) ．
4. 若函数f(x)=x3+bx2+cx 是奇函数，函数g(x)=x2+(c －2) x+5 是偶函数，则b= ______ ，c= _____
5. 已知f(x)=x5+ax3+bx －8，且f( －2)=10 ，那么f(2)= _____ ．
三、解答题：
1、判断函数f(x) 1 x x 1的奇偶性
1 x x
2 1
答案：
一、单选题
1. C
2. B
3. C
4. C
5. C
6. C
7. B
二、填空题
1. -2x-3
2. f (x) = x2- 2x+5
3. >“”
4. b=，0 c=2
5. －26
三、解答题