2018年福建中考数学A卷试题解析

2018年福建省中考数学A 卷 满分：150分 版本：人教版

一、选择题（每小题4分，共10小题，合计40分）

1．（2018·福建，1，3分）在实数3-、π、0、–2中，最小的数是 A ．3-

B ．–2

C ．0

D ．π

答案：B .解析：负数最小，故选B .

2．（2018·福建，2，3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是

A ．圆柱

B ．三棱柱

C ．长方体

D ．四棱锥

答案：C .解析：从三视图可得，该几何体为长方体.

3. （2018·福建，3，3分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是 A ．1、1、2

B ．1、2、4

C ．2、3、4

D ．2、3、5

答案：C .解析：C 中，2＋3＞4，满足三边关系，其余选项不满足.

4. （2018·福建，4，3分）一个n 边形的内角和360°，则n 等于 A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

答案：B .解析：(n －2)×180°＝360°，解得n ＝4.

5. （2018·福建，5，3分）如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于 A ．15° B ．30° C ．45°

D ．60°

答案：A .解析：∠ACE ＝∠ACD －∠ECD ＝60°－45°＝15°.

俯视图

6. （2018·福建，6，3分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是 A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B ．两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C ．两枚骰子向上一面的点数之和大于12

D ．两枚骰子向上一面的点数之和等于12

答案：D .解析：A 为必然事件，B 、C 为不可能事件.

7. （2018·福建，7，3分）m

m 的估算正确的是 A ．2＜m ＜3

B ．3＜m ＜4

C ．4＜m ＜5

D ．5＜m ＜6

答案：B .解析:m ＝2

1，3＜m ＜4 .

8. （2018·福建，8，3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是

A ．?????-=+=52

15

y x y x

B ．?????+=-=52

15y x y x

C ．??

?-=+=5

25

y x y x

D ．?

?

?+=-=525

y x y x

答案：A .解析:由题意列出方程，为A .

9．（2018·福建，9，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB ＝50°，则∠BOD 等于

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．80°

答案：D .解析:∠ABC ＝90°，∴∠A ＝40°，∠DOB ＝2∠A ＝80°.

10．（2018·福建，10，3分）已知一元二次方程0)1(2)1(2

=++++a b x a 有两个相等的实数根，则下面选项正确的是. A ．1一定不是方程x 2

＋bx ＋a ＝0的根

B ．0一定不是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根

C ．1和–1都是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根

D ．1和–1不都是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根.

答案：D .解析:由已知，△()2

24140a b =+-=，∴a ＋1＝b ，或a ＋1＝－b ，即1－b ＋a ＝0，

或1＋b ＋a ＝0，

∴1或－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，当1和－1都是方程x 2

＋bx ＋a ＝0的根时，有a ＋1＝b ＝0，∴a ＝－1，∴不满足原方程为一元二次方程.所以1或－1中仅有一个是方程x 2

＋bx ＋a ＝0的根， 二、填空题：本大题共8个题，每小题4分，满分32分．

11．（2018·福建，11，4分）计算：1220

-???

?

??＝ . 答案：0.解析:

1=0.2?-

??

12．（2018·福建，12，4分）某8种食品所含的热量值分别为：120、134、120、119、126、120、118、124，则这组数据的众数为______．

答案：120.解析:120为这组数中出现次数最多的数.

13．（2018·福建，13，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，D 是AB 的中点，则CD ＝______．

答案：3.解析:斜边上的中线为斜边一半，∴CD ＝0.5AB ＝3.

14．（2018·福建，14，4分）不等式组???>-+>+0

23

13x x x 的解集为 ．

答案：x ＞2.解析:分别解不等式可得解集为x ＞2.

15．（2018·福建，15，4分）把两个同样大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B 、C 、D 在同一直线上，若AB ＝2，则CD ＝ ．

1.解析:解三角形ACD 可得.

16．（2018·福建，16，4分）如图，直线y ＝x ＋m 与双曲线x

y 3

=交于点A 、B 两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，交BC 点C ，则△ABC 面积的最小值是_______．

答案：6.解析:当AB 过原点时，AB 最小，则△ABC 的面积最小，最小值为6. 三、解答题：本大题共9个题，满分86分．

17．（2018·福建，17，8分）解方程组: 1410x y x y +=??+=?

①②

解：②－①得： 3x ＝9，x ＝3， 将x ＝3代入①得： 3＋y ＝1，y ＝－2，

∴原方程组的解为：3,

2.x y =??=?

－

18．（2018·福建，18，8分）如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 过点O 且与 AD ，BC 分别相交于点E ，F ．求证：OE ＝OF ，

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DO ＝OB ，AD ∥BC ， ∴∠EDO ＝∠OBF ， 在△EOD 和△FOB 中， EOD FOB

EDO FBO OD OB =??

=??=?

∠∠∠∠, ∴△EOD ≌△FOB (AAS ), ∴OE ＝OF .

19．（2018·福建，19，8分）化简求值：m m m m 1

1122

-÷??

? ??-+，其中13+=m 解：原式2

211

=m m m m

m m +-??-÷

???

()()111=

m m m m m

+-+÷

()()

1=

11m m

m m m +?

+-

1

=

1

m -

∵1

3+=

m

∴原式＝

11m ==-.

20．（2018·福建，20，8分)

求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．

要求：①根据给出的△ABC 及线段A B '',∠A '（∠A '＝∠A ）.以线段A B ''为一边，在给出的图形上用尺规作出△C B A '''，使得：△C B A '''∽△ABC .不写作法，保留作图痕迹;

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程

.

解：①如下图，△C B A '''即为所求做的三角形

.

②已知：△C B A '''∽△ABC ,CD 和C E '分别为AB 和A B ''边上的中线， 求证：

'E'CD C ＝'C'

BC B . 证明：∵CD 和C E '分别为AB 和A B ''边上的中线，

∴BD ＝12AB ,'B E ＝1

''2

A B , ∴'1''2

BD B E AB A B ==, ∴

'''

BD AB

B E A B =

, ∵△C B A '''∽△ABC ， ∴∠'''CBA C B A =∠，''''

BC AB

B C A B =

， ∴

''C'

BD BC

B E B =

， ∴△B C E ''∽△BCD ， ∴

'E'CD C ＝'C'

BC

B . 21．（2018·福建，21，8分）如图，在Rt △AB

C 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.线段A

D 由AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，且直线EF 经过点D ，． （1）求∠BDF 的大小； （2）求CG 的长．

思路分析：（1）由DF ∥AB ，可得∠FDB ＝∠DBA ＝45°.

（2）由平移知AE ＝CG ，易证△ADE ∽△ACB ，从而列比例求解.

解：（1）由旋转知，AB ＝AD ，∠DAB ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝

1

2

（180°－90°）＝45°， 由平移知：DF ∥AB ， ∴∠BDF ＝∠ABD ， ∴∠BDF ＝45°，

（2）由平移知EG ∥AC ，EG ＝AC ，

∴四边形ACGE 是平行四边形，又∠C ＝90°，

∴四边形ACGE 是矩形，

∴AE ∥CF ，∠EAC ＝90°，AE ＝CG ， 又∵∠DAB ＝90°，

∴∠EAB ＋∠EAD ＝∠CAB ＋∠EAB ， ∴∠DAE ＝∠CAB ， 由（1）知DF ∥AB ， ∴∠EDA ＋∠DAB ＝180°， ∴∠EDA ＝90°，∠EDA ＝∠C ， ∴△AED ∽△ABC ，∴AE AD

AB AC

=

， ∴

10108AE =，∴AE ＝25

2

， ∴CG ＝

25

2

. 22．（2018·福建，22，10分）．甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资金＋揽件提成” ．其中基本工次为70元/日，每揽收一件抽成2元； 乙公司无基本工资，仅揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元．

下图是四月份两家公司人均揽件数条形统计图： （1）现从四月份的30天中随机抽取1于，求这

一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不 含40）的概率；

（2）根据以上信息，以四月份的屡依据，并将各公

司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题：

①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数； ②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员， 如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识 帮他选择，并说明了理由．

解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的共有4天，所以所求的概率P ＝42

=3015

. （2）①设甲公司各揽件员的日平均揽件数为x ，则： 3813+399+404+413+421

=

30

x ?????＝40＋213+(1)9+13+21=3930x -?-???=（）.

即甲公司各揽件员的日平均揽件数为39.

②由①及甲公司工资方案可知，

甲公司揽件员的日平均工资为70＝39×2＝148（元）.

由条形统计图及乙公司工资方案可知，乙公司揽件员的日平均工资为： ()()[38739740853]415236

159.430

?+?+?++?+?+??=（元）.

因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘.

23．（2017·福建，23，10分）如图，一个矩形菜园ABCD ，一边AD 靠墙（墙MN 长为a 米，MN

≥AD ），另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成．

（1）当前a ＝20米时，矩形ABCD 的面积为450平方米，求AD 长； （2）求矩形ABCD 面积的最大值． 思路分析：（1）由矩形面积公式列方程求解.

（2）设AD ＝y 米，同（1）列出面积关于y 的函数关系式，注意a 的取值范围，分类讨

论.

解：（1）设AD ＝x 米，则BD ＝x 米， AB ＝CD ＝12(100－x ）＝（50－1

2

x ）米, 依题意有： x （50－

12

x ）＝450，整理得：x 2

－100x ＋900＝0，解得x ＝90或x ＝10， ∵MN ＝a ＝20，MN ＞AD ， ∴x ＝90＞20不合题意，舍去， ∴x ＝10，即AD 长为10米.

（2）设AD ＝y ，则，AB ＝CD ＝（50－

1

2

y ）米， 满足： 01

500.2

y y ??

?-??＞；＞，解得：0＜y ＜100， 设矩形ABCD 的面积为S ，则： S ＝y （50－

12y ）＝－12y 2＋50y ＝－12

(y －50)2

＋1250， ①若a ≥50，则当y ＝50时，S 最大＝1250.

②若当0＜a ＜50，则当0＜y ≤a 时，S 随y 的增大而增大，故当y ＝a 时，S 最大＝50a －21

2

a .

综上，当a ≥50时，矩形菜园ACBD 的面积的最大值是1250平方米.

当0＜a ＜50时，矩形菜园ABCD 的面积的最大值是（50－21

2

a ）平方米.

24．（2017·福建，24，12分）24．(12分)如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，DE ⊥AB ，垂足为 E ，交⊙O 于点F ．

(1)延长DE 交⊙O 于点F ，、延长DC 、FB 交于点P ，求证：PB ＝PC ；

(2) 如图2，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为G ，BG 交DE 于点H ．且点O 和点A 都在DE 的左侧，若AB ＝3，DH ＝1，∠OHD ＝80°，求∠BDE 的大小．

思路分析：（1）易得DF ∥BC ，只需证明∠PCB ＝∠PDF ＝∠PFD ＝∠PBC 即可. （2）不难得出四边形DHBC 由平行四边形，从而tan ∠ADB ＝tan ∠ACB ＝AB :BC ＝3， 所以∠ADB ＝∠ACB ＝60°，连接OD 可得∠ODH ＝20°，由∠ODA ＝∠DAC ＝∠DBC ＝∠EDB °可得答案.

解：（1）∵AC 为直径， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， 又DF ⊥AB ，

∴∠ADE ＝∠ABC ＝90°， ∴DF ∥BC ，

∴∠PCB ＝∠PDF ，∠PBC ＝∠PFD ，

∵DF ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠ABF ＋∠DFB ＝90°， ∵∠ADC ＝∠ADF ＋∠CDF ＝90°， ∵=AF AF ，∴∠ADF ＝∠ABF ， ∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴∠PCB ＝∠PBC ， ∴PB ＝PC .

（2）连接OD ，∵BG ⊥AD ，

∴∠BGD ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BGD ＋∠ADC ＝180°， ∴BG ∥CD ，

∴四边形DHBC 为平行四边形，

∴DH ＝BC ＝1，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝BC AB , ∴∠ACB ＝60°， ∴∠CAB ＝30°，

∴BC ＝DH ＝1

2AC ，

∴DO ＝HD ，

∴∠DOH ＝∠DH 0＝80°， ∴∠ODH ＝20°，

∵∠EDB ＝∠DBC ，=DC DC , ∴∠DAC ＝∠DBC ， 又OD ＝OA ， ∴∠ODA ＝∠OAD , ∴∠ADO ＝∠BDH ， ∵=AB AB ,

∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°，

∴∠ADO ＋∠ODH ＋∠BDE ＝60°， ∴∠ADO ＝∠BDH ＝20°，即∠EDB ＝20°.

25．（2017·福建，25，14分）已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 过点A (0，2) ． (1)若点(2-

，0)也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；

(2) 抛物线上任意不同两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)都满足：当x 1＜ x 2＜0时，0))((2121>--y y x x ；当0＜x 1＜ x 2时，0))((2121<--y y x x ．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且△ABC 有一个内角为60°． ①求抛物线解析式；

②若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：P A 平分∠MPN ．

思路分析：（1）把(2-

，0)和(2-，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 可得.

（2）①由题意，不难得出抛物线开口向下，对称轴为y 轴，b ＝0,结合等边三角线

的性质，求出C 的坐标，进而得出抛物线的解析式.

②M 、N 、O 三点共线，则分类讨论当M 和N 关于y 轴对称时，和不关于y 轴

对称时两种情况.求出∠MPO 和∠NPO 正切值的大小，作差,结合韦达定理求解.（福建地区韦达定理不可直接使用）

解：（1）A (0，2)代入y ＝ax 2

＋bx ＋c 得：c ＝2. 将点(2-，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 可得：

20a c +=，∴2a ＋2＝0.

（2）①由题意，当x 1＜ x 2＜0时, x 1－ x 2＜0，∵0))((2121>--y y x x

∴y 1－y 2＜0，即当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大，

同理，有当0＜x 1＜x 2时， 0))((2121<--y y x x 可知当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴y 轴为抛物线的对称轴， ∴x ＝02b

a

-

=, ∴b ＝0. ∴y ＝ax 2

＋2.

由⊙O 及抛物线的对称性可知，AB ＝AC ， ∵△ABC 中有个内角为60°，

∴△ABC 为等边三角形,连接OC ，可得O 为三角形ABC 的外心， ∴中心角∠AOC ＝120°，

∴∠COD ＝30°，OC ＝OA ＝2， ∴OD ＝OC ?cos 30

CD ＝ OC ?sin 30°＝1，

∴点)1C

-

，将点)

1C

-代入 y ＝ax 2

＋2可得：

a ＝－1，

∴y ＝－x 2

＋2，

②如图，∵M ，O ，N 三点在同一条直线上，若，M 、N 关于y 轴对称，由抛物线的对称性可得 P A 平分∠MPN ,若M 、N 不关于y 轴对称，可设直线MN 解析式为：y ＝kx （k ≠0），

与抛物线解析式y ＝－x 2

＋2联立可得：x 2

＋kx －2＝0，由求根公式得：

N x =

，M x =y M ＝kx M ，y N ＝kx N

∴2M N x x ?==－

，M N x x k +==－，

过点M 作MH ⊥y 轴于H ，过点N 作NG ⊥PH ，则PH ＝y P －y M ＝4－kx M ，MH ＝－x M ， ∴tan ∠MPH ＝4M M x MH PH kx -=-，同理可得tan ∠NPG ＝4N N

x GN PG kx =-，

则

：

()()()()()()()

4244440,

44444444M N N M N M N M N N M M M N M N M N M N x x kx x x x kx x x kx x x k k

kx kx kx kx kx kx kx kx -++-+-+---====--------

∴tan ∠MPH ＝tan ∠NPG ，∴∠MPH ＝∠NPG ，综上可得P A 平分∠MPN .