高二数学周练(五)

高二数学周练(五) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

南通大学附属中学高二数学周练(五) 2017.5.2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．

. 1．复数

1i

i

+的虚部为 . 【答案】－1

2. 已知集合A={x|x=2n —l ，n ∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A∩B= .

【答案】{1,3}

3.

函数()f x 的定义域为 ．

【答案】(],1-∞

4. 甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 组．

【答案】甲

5．已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ．

【答案】

32 6．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 .

【答案】

12

7. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 5＋2a 10＝0，则S 20

S 10

的值是_________． 【答案】5

4

8. 正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为___ ______．

【答案】100π

9. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB →·AC →

的值为______．

【答案】-36

（第5题图）

乙53甲6789

8474566902

94866431

（第4题

10．已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y

xy

的最小值为_________．

【答案】9

11. 已知圆()122

2

=+-y x 经过椭圆 22

221x y a b

+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，此

椭圆的离心率e = .

【答案】

1

3

12．给出以下四个命题：

①已知命题:,tan 2p x R x ?∈=；命题2

:,10q x R x x ?∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题； ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=； ③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④先将函数sin(2)3

y x π

=-

的图像向右平移

6

π

个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为sin y x =．

其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号都填上）

【答案】①③

13. 02≠=b a ，且关于x 的函数f(x)=x a x ?++232

1

31在R 上有极值，则a 与

的夹角范围为__],3

(ππ

14. 设函数x x x f 3)(3+=，R x ∈，当2

0π

θ≤≤时，()()01sin >-+m f m f θ恒成立，则

实数m 的取值范围为 ．

【答案】m<1

二、解答题：

15. 已知三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a b C c B -=． （1）求角C 的大小；

（2）设向量(

)πcos ,sin()6

A B -m =，()

11

,22

n =

，当m =n 时，求?m n ． 解：（1）由(2)cos cos a b C c B -=得2cos cos cos a C b C c B =+，

C

所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=.

故1cos 2

C =，又因为C 为三角形的内角，所以π3

C =. （2）因为m =n ，所以(

)

22π1cos sin 6

2A B =

+-

.又因为π3C =，所以2π3

A B +=， 所以(

)

2ππ1

22cos sin 362

A A +--=. 即(

)

22

2π1cos sin 2cos 22A A A =+-=，解得1

cos 2

A =±. 所以π3A =或2π3A =

，故()

11,22m =. 所以有11111

=22222

??+?=m n .

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的

中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD ．

证明：(1)连结AC 交BD 与O ，连结EO .

∵底面ABCD 是矩形， ∴点O 是AC 的中点. 又∵E 是PC 的中点

∴在△PAC 中，EO 为中位线 ∴PA ∥EO . 而EO ?平面EDB ，PA ?平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB . ……7分 (2)由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC . ∵底面ABCD 是正方形， ∴DC ⊥BC ，

∴BC ⊥平面PDC . 而DE ?平面PDC ， ∴BC ⊥DE .① ∵PD DC =，E 是PC 的中点，

∴△PDC 是等腰三角形， DE ⊥PC .② 由①和②得DE ⊥平面PBC .

而PB ?平面PBC ，∴DE ⊥PB .

（第17题）

又EF ⊥PB 且DE EF =E ， ∴PB ⊥平面EFD . ……14分

17．(本小题满分14分)

某公园为监控“旋转木马”游乐项目，要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头，使整个木马始终在摄像头监控范围内．如图为木马和护栏的水平示意图．．．．．

，分别记作圆C 和直线l ，入口为A ，AC 与l 垂直，A ，B ，C 高度一致．已知木马轮盘的半径为

5米，AC 距离为6米，B 处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l ．（注：摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角） （1）若AB 的长为8（2）若摄像视角的最大角度为60?

解：（1）如图，过B 作圆C 的切线BE ，切点为E ，连接CE ，BC ，则CE

BE ，

在Rt ABC 中，10BC ，3

tan 4CBA ， 在Rt BCE 中，53BE

，3tan CBE

， ∴3

348

253

43tan tan()

39

331

ABE ABC CBE ， ∴ 48

253

39

. ……………… 8分 解法二：以B 为原点，l 为x 轴建立直角 坐标系，利用点C 到切线BE 的距离等于

圆的半径求解.

（2）以B 为坐标原点，BA 为x 轴建立如图所示直角坐标系，设BA a ，则C

（a ，6），

当ABE 最大值60?时，若直线BE 与圆C 相切，则BA 最小， ∴直线BE 方程为：3y x ，

∴36

5a CE

∴163

a

.（负值舍去） 则B 距离A 至少

163

米. ……………… 15分 答：（148

253

； （2）B 距离A 米. ……………… 16分 方法二：（略解）由题意得A ，B ，E ，C 四点共圆，则120ACE ，

连接BC ，则BC 为直径，连接AE ， 在ACE 中，由余弦定理得25

36

256cos120

91AE ，

在ABE 中，由正弦定理得912273

sin AE BC

B ， 在Rt AB

C 中，AB . ……………… 16分

18. (本小题满分16分)

如图,已知椭圆E: 22221(0)2

x y a b a b +=>>的离心率为右准线为4x =，左右顶点分别为A ，

B ．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点M 满足MB AB ⊥，直线AM 交椭圆于点P ，求证：OM OP →

→

为定值；

（3）在（2）的条件下，设以线段MP 为直径的圆与直线BP 交于点Q ，试问，直线MQ 是否过