函数的单调性和极值在不等式证明中的运用

单调性与几个重要不等式

单调性与几个重要不等式 [摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。 [关键词] 单调性詹生(Jensen)不等式杨氏不等式Holder不等式不等式 [Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality, andInequality. [Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder InequalityInequality 在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。引理1:设在区间有可导,且,,则。引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立 (1) 证无妨设, 对任意取定的,令则当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即。在引理2的条件下,假设 ,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即且等号仅在时成立。证明:由引理2有

《函数的单调性与极值》教学案设计

《函数的单调性与极值》教学案设计教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 y

2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，

高中一年级函数单调性完整版

函数的单调性学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程【学习导航】知识网络学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上，f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、函数的单调性 1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时函数的单调性单调性的定义定义法证明函数的单调性增函数减函数单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 2 x . 求不等式0)2(4)2015()2015(2 >--++f x f x 的解集. 2、移项法构造函数【例2】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11 1 )1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。 3、作差法构造函数证明【例3】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2 )(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f + 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令 x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2 3 ++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

函数的单调性、极值与最值问题

函数的单调性、极值与最值问题典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.

评分细则(1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．

跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2， g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a； (3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． (1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a，则h′(x)＝a x ln a－ln a. 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝ 1 x ln a，可得曲线y＝g(x)在点

函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究问题2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

考研数学：如何用单调性与凹凸性证明不等式

考研数学：如何用单调性和凹凸性证明不等式纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面分析高等数学中如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题。用单调性和凹凸性证明不等式的基本思路：大部分不等式的证明题，往往需要根据条件作辅助函数，然后由导数判断函数的单调性、凹凸性，再由单调性、凹凸性得出要证的不等式。根据单调性证明：若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()(),()()f a g a f x g x ''≥≥，则在(,)a b 上，()()f x g x ≥；若将上面的“≥”都改成“>”（或“≤”，或“<”），则不等式亦成立。根据凹凸性证明：若在区间I 上()<0f x ''，则()f x 是凸函数，12,x x I ?∈，恒有1212()()( )22x x f x f x f ++> ；对凹函数则相反，若()0f x ''>，则1212()()( )<22x x f x f x f ++ 。典型例题：例1.设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''>，证明：对于(,)a b 内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 证：不妨设12x x <，令11()(1)()()[(1)]g x t f x tf x f t x tx =-+--+，12x x x ≤≤，记1(1)u t x t x =-+，则 1()0g x =，()()()()()0,g x tf x tf u tf x u u x ξξ'''''=-=-≥<<，故()g x 单调不减，于是1()()0g x g x ≥=，取2x x =，得2()0g x ≥，1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 注：1）此题是用单调性证明凹函数的一个重要特性。 2）此题结论的几何意义：凹函数图形上任意两点之间的连线都在其图形之上。

高等数学不等式的证明试题及答案

微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。例１：证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明：设x e x x 224ln )(-=?，则 24ln 2)(e x x x -='?， 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时，

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型；在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识；在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源；生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置：本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能：理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念；能利用图象法直观判断函数的单调性；

函数的单调性、极值和最值(1)

)函数的单调性、极值和最值（1）【复习目标】 1.会用导数求函数的单调区间 2.会用导数求函数在给定区间上的极值【考试说明要求】使用导数研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题；在高考中考查形式多种多样，常以选择题或者填空题形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式与其他数学仅仅结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题【知识点】 1、函数的单调性与导数 (1) 如果在某个区间上f ′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的如果在某个区间上f ′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的 (2)利用导数确定函数单调区间的一般步骤. 2、函数的极值与导数（1）观察图象，不难发现，函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（由单调增函数变为减函数）这时在点P附近，点P的位置最高，即1 () f x比它附近的函数值都大，我们称1 () f x为函数() f x的一个类似地，图中2 () f x为函数() f x的一个，极大值与极小值统称为函数的。 (2)求极值的一般步骤：【例题分析】例1 利用导数确定下列函数单调区间 3 (1)6 y x x =-2 1 (2)ln 2 y x x =- x ()0 x>

变题：利用导数确定函数 3()3()f x x ax a R =-∈的单调区间例2 已知函数 32()263,f x x x x R =-+∈ (1)求()f x 的极值； (2)若关于x 的方程 ()f x a =有3个不同的根，求实数a 的取值范围。变题：已知条件改为以下几种情况，试求实数a 的取值范围。 ①方程 ()f x a =有2个不同的根； ②方程()f x a =有1个不同的根； ③试讨论函数()()h x f x a = -的零点个数。例3 如果函数y=f （x ）的导函数 ()y f x '=的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y=f （x ）在区间（－3，12-）内是单调增函数； ②函数y=f （x ）在区间1(,3)2 -内是单调减函数； ③函数y=f （x ）在区间（4，5）内是单调增函数； ④当x=-2时，函数y=f （x ）有极小值； ⑤当12 x =- 时，函数y=f （x ）有极大值.； ⑥当3x = 时，函数y=f （x ）有极小值. 则上述判断中准确的是________. 【附加例题】 1、函数 ()(3)x f x x e =-的单调增区间是 2、函数 ()ln f x x x =的单调减区间是 3、函数24()2f x x x =-的极大值与极小值分别是【拓展延伸】已知函数 322()f x x ax bx a =+++在x ＝1处有极值 10，则 f(2)等于《导数应用》说课稿

利用函数单调性证明积分不等式(修改)

利用函数单调性证明积分不等式黄道增浙江省台州学院（浙江 317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。关键词：函数单调性积分不等式辅助函数中图分类号 O172.2 积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 1 利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f b a b a ??≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数，证明：对于10<<<βα，有?? >βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得：若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥ 所以)()()(00αααα αf dx f dx x f =≥?? （1）同理有 )()()()(ααβαβαβ αf dx f dx x f -=≤?? （2）由（1）（2）得： dx x f f dx x f ??-≥≥β αα αβαα)(1)()(10 （3）将（3）式两边同乘以β αβα)(-，有 dx x f dx x f ??≥-βαα βαβα β)()(0 因为1<-β αβ，所以??>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x ??-≥-1021021sin 1cos . 分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换x t arccos =与

函数的单调性与极值教学案

函数的单调性与极值（5月10日）教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。

2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(='x f 。但反过来不一定。如函数3x y =，在0=x 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设0x 使

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．证明：因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(．得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤．所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ）的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、经典例题考点一确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a)0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)

复合函数的单调性与不等式恒成立问题

复合函数的单调性与不等式恒成立问题班级学号姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围（） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则（） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。