19[1].9勾股定理教学设计1

19.9勾股定理

上海市洪山中学郑志跃

一、教学目标：

1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．

2.初步掌握勾股定理，能用勾股定理解决基本的有关证明或计算问题。

3.经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

二、教学重点、难点

1.探索和验证勾股定理．

2.在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．

三、教学流程

这节课，我们来继续研究直角三角形．

观察下图，并回答问题：

（1）观察图1．

正方形A中含有_________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；

正方形B中含有_________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；

正方形C中含有_________个小方格，即C的面积是_________

A，B，C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的．

那么，（3）的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流．

［生］C是斜边上的正方形，所以C的面积是斜边的平方；A，B是两直角边上的正方形，所以A，B的面积分别是这两条直角边的平方．根据A，B，C的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和．

但是，我们也不难发现上面3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？

2．做一做

（1）观察图4，图5，并填写下表：

A的面积（单位面积）B的面积

（单位面

积）

C的面积

（单位面

积）

图4

图5

你是怎样得到上面结果的？与同伴交流．

（2）三个正方形A，B，C的面积之间的关系？

（让学生先独立思考，然后填写上面的表格．最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法）

A的面积（单位面积）B的面积（单

位面积）

C的面积（单

位面积）

4 16 9 25

5 4 9 13

我们先来观察图4，不难看出A，B分别含有16个小方格，9个小方格，所以A、B的面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形C的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：

第一种方法：将正方形C 分割成4个直角边长分别为3、4全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形C 的面积为4×

（21

×3×4）+1=24+1=25个单位面积．

第二种方法：直接数正方形C 中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一个小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼凑成一个长和宽分别为3和4的长方形，含有12个小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼凑成12个小方格，所以正方形C 中共有12+12+1=25个小方格即C 的面积为25个单位面积．

第三种方法：可将直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C 的边外翻，就得到一个边长为7个单位长度的正方形，这时正方形C 的面积就为（49－1）÷2+1=25个单位面积．

图5与图4同理．

我们从上表不难发现16+9=25，4+9=13即C 的面积=A 的面积+B 的面积． 正方形A ，B ，C 的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．由图5我们也可得出同样的结论．

在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方．

这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下．例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？

1．作一个直角∠MCN ；

2．以C 为圆心，分别以5厘米、12厘米为半径画弧交CM 、CN 于点A ，B ； 3．连结AB ．

用刻度尺量出斜边AB 的长度（强调注意测量的误差）为13厘米．经检验斜边AB 2=132=169，两直角边平方和AC 2+BC 2=52+122=25+144=169．即两直角边的平方和等于斜边的平方．

通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

读一读：

古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载．我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角

形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．

关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。

所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智．

例题巩固：

例1.求边长为1 的等边三角形的面积

求：ABC

S

?

试一试：

［例2］在△ABC中，∠C=90°

（1）若a=8，b=6，则c=_________；

（2）若c=20，b=12，则a=_________；

（3）若a：b=3：4，c=10，则a=_________，b=_________．

课堂小结

先由学生自己总结，然后师生共同完成．这节课我们主要研究：

1．从特例猜想出勾股定理；

2．用特例检验了勾股定理；

3．简单了解了勾股定理的历史，应用．