解析几何历年高考真题试卷--带详细答案

解析几何高考真题

一、单选题（共11题；共22分）

1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：

x 2

a 2

?y 2

b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

2.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）

A. （ 14 ，0）

B. （ 1

2 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:

x 2a

2?

y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的两条渐近

线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为

x 2a 2

?y 2

b 2=1(a >0,b >0) ，

过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A.

x 24

?

y 24

=1 B. x 2?

y 24

=1 C.

x 24

?y 2=1 D. x 2?y 2=1

5.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F ，准线为l.若与双曲线

x 2a

2?

y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的两条

渐近线分别交于点A 和点B ， 且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √5

6.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．

A. 经过点O

B. 经过点P

C. 平行于直线 OP

D. 垂直于直线 OP

7.（2019·天津）已知抛物线 y 2

=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2

a ?y 2

b =1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）

A. √2

B. √3

C. 2

D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:

x 24

?

y 22

=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若

|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ）

A. 3√24

B. 3√22

C. 2√2

D. 3√2

9.已知椭圆E:

x 2a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B

两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于4

5 ， 则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）

A. (0,√32

] B. (0,34] C. [√32

.1) D. [3

4,1)

10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）

A. 对任意的a,b ， e 1>e 2

B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a

C. 对任意的a,b ， e 1

D. 当a >b 时，e 1e 2

11.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ， 则（ ）

A. 对任意的a,b,e 1>e 2

B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a

C. 对任意的a,b,e 1

D. 当a >b 时，e 1e 2

二、填空题（共5题；共6分）

12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:

x 2a

2?

y 2b 2

=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C

上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.

13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4

x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆

x 29

+

y 25

=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以

原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0) ,双曲线 N:

x 2m 2

?

y 2n 2

=1 . 若双曲线N 的两条渐近线

与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________

16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线

x 23

﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，

Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．

三、解答题（共9题；共85分）

17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225

+

y 2m 2

=1(0

√15

4

，A ，B 分别为C 的左、右

顶点．

（1）求C 的方程；

（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．

18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：

x 2a 2

+y 2

b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 4

3 |AB|． （1）求C 1的离心率；

（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．

19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：

x 2a 2

+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，

AG ????? ?GB ????? =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.

20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的

斜率为 1

2 ， （1）求C 的方程；

（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.

21.（2019·天津）设椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=

2|OB|（O为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点F且斜率为3

4

的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.

22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x2

2，D为直线y= ?1

2

上的动点，过D作C的两条切线，切点分

别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，5

2

)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x2

2，D为直线y=- 1

2

的动点，过D作C的两条切线，切点分别

为A，B.

（1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，5

2

）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的

点，O为坐标原点。

（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围。

25.（2019·全国Ⅱ卷理）已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?1

2

.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C 于点G.

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【解析】【解答】∵c

a

=√5，∴c=√5a，根据双曲线的定义可得||PF1|?|PF2||=2a，

S△PF

1F2=1

2

|PF1|?|PF2|=4，即|PF1|?|PF2|=8，

∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，

∴(|PF1|?|PF2|)2+2|PF1|?|PF2|=4c2，即a2?5a2+4=0，解得a=1，

故答案为：A.

【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于C,D两点，且OD⊥OE，

根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠COx=π

4

，所以C(2,2)，

代入抛物线方程4=4p，求得p=1，所以其焦点坐标为(1

2

,0)，

故答案为：B.

【分析】根据题中所给的条件OD⊥OE，结合抛物线的对称性，可知∠COx=∠COx=π

4

，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.

3.【答案】B

【解析】【解答】∵C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)

∴双曲线的渐近线方程是y=±b

a

x

∵直线x=a与双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点

不妨设D为在第一象限，E在第四象限

联立{x=a

y=b

a x，解得{

x=a

y=b

故D(a,b)

联立{x=a

y=?b

a x，解得{

x=a

y=?b

故E(a,?b)

∴|ED|=2b ∴△ODE面积为：S△ODE=1

2

a×2b=ab=8

∵双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)

∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号

∴C的焦距的最小值：8

故答案为：B.

【分析】因为C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±b

a

x，与直线x=a联立

方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x+y

b

=1，即直线的斜率为?b，

又双曲线的渐近线的方程为y=±b

a x，所以?b=?b

a

，?b×b

a

=?1，因为a>0,b>0，解得a=

1,b=1．

故答案为：D．

【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+y

b

=1，即得直线的斜率为-b，再根据双曲

线的渐近线的方程为y=±b

a x，可得?b=?b

a

，?b×b

a

=?1即可求出a,b，得到双曲线的方程．

5.【答案】D

【解析】【解答】抛物线的准线l：x=?1∵抛物线的准线为F，

∴|OF|=1

∵抛物线的准线与双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且

|AB|=4|OF|=4，

∴A(?1，2)，B(?1，?2)，

将A点坐标代入双曲线渐近线方程得b

a

=2，

∴b2=4a2，

∴4a2=c2?a2，

即5a2=c2，

∴e=c

a

=√5.

故答案为：D.

【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，|AB|=4|OF|得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可求得离心率。

6.【答案】B

【解析】【解答】如图所示：

．

因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=

|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.

故答案为：B.

【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】抛物线y2=4x的准线l：x=?1

∵抛物线y2=4x的准线为F，

∴|OF|=1

∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且

|AB|=4|OF|=4，

∴A(?1，2)，B(?1，?2)，

将A点坐标代入双曲线渐近线方程得b

a

=2，

∴b2=4a2，

∴4a2=c2?a2，

即5a2=c2，

∴e=c

a

=√5.

故答案为：D.

【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，|AB|=4|OF|得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可求得离心率。

8.【答案】A

【解析】【解答】解：∵双曲线C：x2

4?y2

2

=1，则a=2,b=√2，∴c=√6，F(√6,0)，渐近线方

程为y=±√2

2x

，

设P在渐进线y=√2

2x

上，过P作PM⊥OF，如图：

∵|PO|=|PF|，∴△POF是等腰三角形，∴M(√6

2,0)，代入渐进线方程y=√2

2x

中，可得|PM|=√3

2

，

∴S

△PFO =1

2

|OF|·|PM|=3√2

4

，

故答案为：A.

【分析】由已知得到F(√6,0)，过P作PM⊥OF，由|PO|=|PF|，得到△POF是等腰三角形，求出|PM|=√3

2

，即可求出△PFO的面积.

9.【答案】A

【解析】【解答】设左焦点为F，连接AF1,BF1．则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|,所以

|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2,设M(0,b),则4b

5≥4

5

,故b≥1,从而a2?c2≥1,0

以椭圆E的离心率的取值范围是(0,√3

2

]，故选A。

【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，将|AF+BF|=4转化为|AF|+|AF1|=4=2a，进而确定a 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利

用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量a，b，c满足的不等量关系，以确定c

a

的取值范围．10.【答案】D

【解析】【解答】依题意，e

1=√a2+b2

a

=√1+(b

a

)

2

,e

2

=√(a+m)2+(b+m)2

a+m

=√1+(b+m

a+m

)

2

,因为b

a

?b+m

a+m

=

ab+bm?ab?am

a(a+m)=m(b?a)

a(a+m)

,由于m>0,a>0,b>0,所以当a>b时，0

a

<1,0

a+m

<1,b

a

a+m

,(b

a

)

2

<

(b+m a+m )

2

,所以e1

a

>1,b+m

a+m

>1,而b

a

>b+m

a+m

,所以(b

a

)

2

>(b+m

a+m

)

2

,所以e1>e2。所以当a>b时，

e1e2。

【分析】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

11.【答案】D

【解析】【解答】不妨设双曲线c 1的焦点在x 轴上，即其方程为：x 2a

2?

y 2b 2

=1,则双曲线c 2的方程为：x 2

(a+m )2?

y 2

(b+m )2

=1 ， 所以e 1=√a 2+b 2

a

=√1+b 2a 2,e 2=

√(a+m )2+(b+m )2

a+m =√1+(b+m )2

(a+m )2,当a >b 时，b+m

a+m ?b

a =

(b+m )a?b (a+m )

(a+m )a =(a?b )m

(a+m )a >0所以

b+m

a+m >b

a ,所以(b+m a+m )2

>(b a

)2

,所以e 2>e 1;当a

a+m ?b

a =(b+m )a?

b (a+m )

(a+m )a

=(a?b )m

(a+m )a <0,所以

b+m

a+m

a

,所以(b+m a+m

)2

<(b

a

)2

,所以e 2

【分析】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 二、填空题 12.【答案】 2

【解析】【解答】依题可得， |BF|

|AF|=3 ，而 |BF|=

b 2a

， |AF|=c ?a ，即

b 2

a

c?a

=3 ，变形得 c 2?a 2

=

3ac ?3a 2 ，化简可得， e 2?3e +2=0 ，解得 e =2 或 e =1 （舍去）． 故答案为： 2 ．

【分析】根据双曲线的几何性质可知， |BF|=b 2a

， |AF|=c ?a ，即可根据斜率列出等式求解即可．

13.【答案】 4 【解析】【解答】

∵P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点， ∴ 设 P(x,x +4

x ),x >0 ,设P 到直线x +y =0的距离为 d, 利用点到直线的距离公式，得： d =|x+x+4x

|

22

=

|2x+4x

|√2

,又 ∵x >0,∴d =

2x+4x

√2

=√2x +

2√2

x

, 利用均值不等式，得: d =√2x +2√2x

≥2×√x

=2×√4=4,

∴d 最小值=4，∴ 点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4。

【分析】利用P 是曲线 y =x +4

x (x >0) 上的一个动点设出动点P 的坐标，再利用点到直线的距离公式结合均值不等式求最值的方法求出点P 到直线x +y =0的距离的最小值。 14.【答案】√15

【解析】【解答】解：设P （m ，n ），则

m 29

+

n 25

=1 （1）

根据椭圆的方程，得F （-2,0），故PF 的中点为（

m?22

,n 2 ），

根据中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，得 (

m?22

)2

+(n

2)2=4 （2）

将（1）和（2）联立得 m =?32

,n =√15

2

，

故直线PF的斜率为

√15

2

?0

?3

2

?(?2)

=√15.

故答案为.

【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率.

15.【答案】√3?1；2

【解析】【解答】解：图中A (c

2,√3

2

c)，设椭圆焦距为2c,

又|AF2|=C?|AF1|=√3c。

∴c+√3c=2a?c

a =

√3+1

=√3?1，

又n

m

=√3?n=√3m，

∴m2+n2=4m2，即双曲线离心率为2m

m

=2

故答案为：√3?1，2.

【分析】从椭圆的半焦距c出发，先分析正六边形，再由椭圆的定义得到a,c之间关系，求出椭圆离心率，再由A点坐标得到渐近线，得到m,n的关系，从而得到双曲线离心率。

16.【答案】2 √3

【解析】【解答】解：双曲线x2

3﹣y2=1的右准线：x= 3

2

，双曲线渐近线方程为：y= √3

3

x，

所以P（3

2，√3

2

），Q（3

2

，﹣√3

2

），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．

则四边形F1PF2Q的面积是：1

2

×4×√3=2 √3．

故答案为：2 √3．

【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．三、解答题

17.【答案】（1）解：∵C:x2

25+y2

m2

=1(0

∴a=5，b=m，

根据离心率e=c

a =√1?(b

a

)2=√1?(m

5

)2=√15

4

，

解得m=5

4或m=?5

4

(舍)，

∴C的方程为：x 2

25+y2

(5

4

)2

=1，

即x2

25+16y2

25

=1

（2）解：∵点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，过点P作x轴垂线，交点为M，设x=6与x轴交点为N

根据题意画出图形，如图

∵|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，

又∵∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，

∴∠PBM=∠BQN，

根据三角形全等条件“ AAS”，

可得：△PMB?△BNQ，

∵x2

25+16y2

25

=1，

∴B(5,0)，

∴|PM|=|BN|=6?5=1，设P点为(x P,y P)，

可得P点纵坐标为y P=1，将其代入x2

25+16y2

25

=1，

可得：x P2

25+16

25

=1，

解得：x P=3或x P=?3，∴P点为(3,1)或(?3,1)，①当P点为(3,1)时，

故|MB|=5?3=2，

∵△PMB?△BNQ，

∴|MB|=|NQ|=2，

可得：Q点为(6,2)，

画出图象，如图

∵A(?5,0), Q(6,2)，

可求得直线AQ的直线方程为：2x?11y+10=0，

根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=

√22+112=

√125

=√5

5

，

根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(2?0)2=5√5，

∴△APQ面积为：1

2×5√5×√5

5

=5

2

；

②当P点为(?3,1)时，

故|MB|=5+3=8，

∵△PMB?△BNQ，

∴|MB|=|NQ|=8，

可得：Q点为(6,8)，

画出图象，如图

∵A(?5,0), Q(6,8)，

可求得直线AQ的直线方程为：8x?11y+40=0，

根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=

22=

√185

=

√185

，

根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(8?0)2=√185，

∴△APQ面积为：1

2×√185×

185

=5

2

，

综上所述，△APQ面积为：5

2

.

【解析】【分析】（1）因为 C:

x 2

25

+y 2

m 2=1(0

18.【答案】 （1）解：因为椭圆 C 1 的右焦点坐标为： F(c,0) ,所以抛物线 C 2 的方程为 y 2=4cx ，其中 c =√a 2?b 2 .

不妨设 A,C 在第一象限，因为椭圆 C 1 的方程为： x 2

a 2

+y 2

b 2=1 ， 所以当 x =

c 时，有

c 2a 2

+y 2

b 2

=1?y =±b 2

a ，因此 A,B 的纵坐标分别为

b 2a

， ?b 2

a

；

又因为抛物线 C 2 的方程为 y 2=4cx ，所以当 x =c 时，有 y 2=4c ?c ?y =±2c ， 所以 C,D 的纵坐标分别为 2c ， ?2c ，故 |AB|=2b 2a

， |CD|=4c .

由 |CD|=4

3|AB| 得 4c =8b 23a

，即 3?c

a =2?2(c

a )2 ，解得 c

a =?2 （舍去）， c

a =1

2 .

所以 C 1 的离心率为 1

2 .

（2）解：由（1）知 a =2c ， b =√3c ，故 C 1:

x 24c 2

+

y 23c 2

=1 ，

所以 C 1 的四个顶点坐标分别为 ΔABC ， (?2c,0) ， (0,√3c) ， (0,?√3c) ， C 2 的准线为 x =?c . 由已知得 3c +c +c +c =12 ，即 c =2 . 所以 C 1 的标准方程为

x 216

+

y 212

=1 ， C 2 的标准方程为 y 2=8x .

【解析】【分析】（1）根据题意求出 C 2 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 A,C 在第一象限，运用代入法求出 A,B,C,D 点的纵坐标，根据 |CD|=4

3|AB| ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；

19.【答案】 （1）解：依据题意作出如下图象：

由椭圆方程 E:

x 2a 2

+y 2=1(a >1) 可得： A(?a,0) ， B(a,0) ， G(0,1)

∴AG ????? =(a,1) ， GB

????? =(a,?1)

∴AG ????? ?GB ????? =a 2?1=8 ， ∴a 2=9 ∴ 椭圆方程为： x 29

+y 2=1

（2）证明：设 P(6,y 0) ，

则直线 AP 的方程为： y =y 0?0

6?(?3)(x +3) ，即： y =

y 09

(x +3)

联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： {x 29

+y 2=1

y =y 0

9

(x +3)

，整理得： (y 0

2

+9)x 2+6y 0

2

x +9y 0

2

?81=0 ，解得： x =?3 或 x =?3y 02+27y 0

2+9

将 x =

?3y 02+27y 0

+9

代入直线 y =

y 09

(x +3) 可得： y =6y 0

y

2+9

所以点 C 的坐标为 (?3y 02+27y 0

2+9

,

6y 0y 0

2+9

) .

同理可得：点 D 的坐标为 (3y

2?3y 0

2+1

,?2y 0

y

2+1

)

∴ 直线 CD 的方程为： y ?(?2y 0

y 0

+1

)=

6y 0y 02+9?(?2y 0

y 02+1)

?3y 02+27y 02+9?

3y 02?3

y 02+1

(x ?

3y 02?3y 0

+1

) ，

整理可得： y +2y 0

y

2+1=

8y 0(y 02+3)6(9?y 0

4)

(x ?

3y 02?3

y 0

2+1)=8y

6(3?y

2)(x ?

3y 02?3y 0

2+1

)

整理得： y =4y 0

3(3?y

2)

x +

2y 0y 0

2?3

=

4y 03(3?y 0

2)(x ?3

2

) 故直线 CD 过定点 (3

2,0)

【解析】【分析】（1）由已知可得： A(?a,0) ， B(a,0) ， G(0,1) ，即可求得 AG ????? ?GB ????? =a 2?1 ，结合已知即可求得： a 2=9 ，问题得解.（2）设 P(6,y 0) ，可得直线 AP 的方程为： y =y 09

(x +3) ，

联立直线 AP 的方程与椭圆方程即可求得点 C 的坐标为 (?3y 02+27y 0

2+9

,6y 0

y

2+9

) ，同理可得点 D 的坐标为

(3y 0

2?3y

2+1

,?2y 0

y

2+1) ，即可表示出直线 CD 的方程，整理直线 CD 的方程可得：

y =4y 0

3(3?y 0

2)(x ?3

2) ，命

题得证.

20.【答案】 （1）解：由题意可知直线AM 的方程为： y ?3=1

2(x ?2) ，即 x ?2y =?4 . 当y=0时，解得 x =?4 ，所以a=4， 椭圆 C:

x 2

a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0) 过点M(2，3)，可得 4

16+9

b 2=1 ， 解得b 2=12. 所以C 的方程： x 2

16

+y 2

12=1 .

（2）解：设与直线AM 平行的直线方程为： x ?2y =m ，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程x?2y=m与椭圆方程x2

16+y2

12

=1，

可得：3(m+2y)2+4y2=48，

化简可得：16y2+12my+3m2?48=0，

所以Δ=144m2?4×16(3m2?48)=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：x?2y=8，

直线AM方程为：x?2y=?4，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：d=

√1+4=12√5

5

，

由两点之间距离公式可得|AM|=√(2+4)2+32=3√5.

所以△AMN的面积的最大值：1

2×3√5×12√5

5

=18.

【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

21.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由已知有√3a=2b，又由a2=b2+c2，消去b得

a2=(√3

2a)+c2，解得c

a

=1

2

.

所以，椭圆的离心率为1

2

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=2c，b=√3c，故椭圆方程为x2

4c2+y2

3c2

=1.由题意，F(?c,0)，则直线l的

方程为y=3

4(x+c).点P的坐标满足{

x2

4c2

+y2

3c2

=1

y=3

4

(x+c)

，消去并化简，得到7x2+6x?13c2=0，解

得x1=c,x2=?13c

7，代入到l的方程，解得y1=3

2

c,y2=?9

14

c.因为点p在x轴上方，所以

P(c,32c) .由圆心 C 在直线 x =4 上，可设 C(4,t) .因为 OC ∥AP ，且由（Ⅰ）知 A(?2c,0) ，故 t

4

=

32

c c+2c

，解得 t =2 .因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 C 与 l 相切，得

|34

(4+c)?2|√1+(4

)=2 ，

可得 c =2 . 所以，椭圆的方程为

x 216

+

y 212

=1

【解析】【分析】（Ⅰ）由 √3|OA|=2|OB| |得， √3a =2b ，又 a 2=b 2+c 2 ，即可求椭圆的离心率； （Ⅱ）点斜式设出直线 l 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 c 表示出点P,再由圆心 C 在直线 x =4 上，设 C(4,t) ，由 OC ∥AP ，列出关于等式 t

4=

3

2

c c+2c

，求出 t ，再由圆 C 与 x 轴相切求出 c ，即可求出椭圆的方程．

22.【答案】 （1）解：设 D(t,?1

2), A(x 1,y 1) ，则 x 12=2y 1 .

由于 y ′=x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 y 1+

12

x 1?t

=x 1 .

整理得 2tx 1?2 y 1+1=0.

设 B(x 2,y 2) ，同理可得 2tx 2?2 y 2+1=0 . 故直线AB 的方程为 2tx ?2y +1=0 . 所以直线AB 过定点 (0,1

2) .

（2）由（1）得直线AB 的方程为 y =tx +1

2 . 由 {y =tx +1

2

y =x 2

2

，可得 x 2?2tx ?1=0 . 于是 x 1+x 2=2t,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1 . 设M 为线段AB 的中点，则 M(t,t 2+1

2) .

由于 EM ?????? ⊥AB ????? ，而 EM ?????? =(t,t 2?2) ， AB ????? 与向量 (1, t ) 平行，所以 t +(t 2?2)t =0 .解得t =0或 t =±1 .

当 t =0时，|EM ?????? |=2，所求圆的方程为 x 2+(y ?52

)2=4 ； 当 t =±1 时，|EM ?????? |=√2 ， 所求圆的方程为 x 2+(y ?5

2

)2=2 . 【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA 和DB 的方程，可得直线AB 的方程，即可证明直线AB 过定点；（2）由（1）中直线AB 的方程与抛物线方程联立，由 AB ????? 与向量 (1, t ) 平行列式，解出t 的值，即可求出该圆的方程.

23.【答案】 （1）解：设 D(t,?1

2), A(x 1,y 1) ，则 x 12=2y 1 .

由于 y ′=x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 y 1+

12

x 1?t

=x 1 .

整理得 2tx 1?2 y 1+1=0.

设 B(x 2,y 2) ，同理可得 2tx 2?2 y 2+1=0 . 故直线AB 的方程为 2tx ?2y +1=0 . 所以直线AB 过定点 (0,1

2) .

（2）由（1）得直线AB 的方程为 y =tx +1

2 . 由 {y =tx +1

2

y =

x 2

2 ，可得 x 2?2tx ?1=0 . 于是 x 1+x 2=2t, x 1x 2=?1, y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2

+1 ，

|AB|=√1+t 2|x 1?x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=2(t 2+1) . 设 d 1,d 2 分别为点D ， E 到直线AB 的距离，则 d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1 . 因此，四边形ADBE 的面积 S =1

2|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1 . 设M 为线段AB 的中点，则 M(t,t 2+1

2) .

由于 EM ?????? ⊥AB ????? ，而 EM ?????? =(t,t 2?2) ， AB ????? 与向量 (1, t ) 平行，所以 t +(t 2?2)t =0 .解得t =0或 t =±1 .

当 t =0时，S =3；当 t =±1 时， S =4√2 . 因此，四边形ADBE 的面积为3或 4√2 .

【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA 和DB 的方程，可得直线AB 的方程，即可证明直线AB 过定点；（2）由（1）中直线AB 的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D ，E 到直线AB 的距离，由 AB

????? 与向量 (1, t ) 平行列式，即可求出四边形ADBE 的面积. 24.【答案】 （1）解：连结 PF 1 ，由 △POF 2 为等边三角形可知在 △F 1PF 2 中， ∠F 1PF 2=90° ， |PF 2|=c ， |PF 1|=√3c ，于是 2a =|PF 1|+|PF 2|=(√3+1)c ，故 C 的离心率是 e =c

a =√3?1 . （2）由题意可知，满足条件的点 P(x,y) 存在当且仅当 1

2|y|?2c =16 ， y

x+c ?y

x?c =?1 ， x 2a 2+

y 2b 2

=1 ，

即 c |y |=16 ，① x 2+y 2=c 2 ，②

x 2

a 2

+y 2

b 2=1 ，③ 由②③及 a 2=b 2+

c 2 得 y 2=b 4

c

2 ，又由①知 y 2=

162c 2

，故 b =4 .

由②③得 x 2

=a 2

c 2(c 2?b 2) ，所以 c 2≥b 2 ，从而 a 2=b 2+c 2≥2b 2=32, 故 a ≥4√2 .

当 b =4 ， a ≥4√2 时，存在满足条件的点P.

所以 b =4 ， a 的取值范围为 [4√2,+∞) .

【解析】【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b 的值再由椭圆的几何意义进而求出a 的取值范围即可。 25.【答案】 （1）解：由题设得 y

x+2?y

x?2=?1

2 ，化简得 x 24

+

y 22

=1(|x|≠2) ，所以C 为中心在坐标原

点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ， 则其方程为 y =kx(k >0) ． 由 {

y =kx

x 2

4+

y 22=1

得 x =√1+2k 2 ．

记 u =√1+2k 2 ，则 P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0) ． 于是直线 QG 的斜率为 k 2 ，方程为 y =k

2(x ?u) ． 由 {y =k

2

(x ?u),

x 24

+y 2

2=1 得

(2+k 2)x 2?2uk 2x +k 2u 2?8=0 ．①

设 G(x G ,y G ) ，则 ?u 和 x G 是方程①的解，故 x G =u(3k 2+2)2+k 2

，由此得 y G =

uk 32+k 2

．

从而直线 PG 的斜率为

uk 3

2+k 2?uk u(3k 2+2)

2+k 2

?u =?1

k ．

所以 PQ ⊥PG ，即 △PQG 是直角三角形．

（ii ）由（i ）得 |PQ|=2u√1+k 2 ， |PG|=2uk√k 2

+12+k

2 ，

所以△PQG 的面积 S =1

2|PQ‖PG|=8k(1+k 2)

(1+2k 2)(2+k 2)=

8(1k +k)

1+2(1

k

+k)2

．

设t =k + 1

k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．

因为 S =8t

1+2t 2 在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为 169

．

因此，△PQG 面积的最大值为

169

．

【解析】【分析】（1）根据AM ，BM 斜率之积为 ?1

2 ，列出等式，即可得到曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设出PQ 解析式，联立PQ 解析式与曲线C ，得到P 、Q 两点坐标，即可得到E 点坐标，根据Q 、E 两点坐标得到QE 的解析式，联立QE 与曲线C ，可得G 点坐标，再根据G 、P 点坐标，得到PG 斜率。化简可得 k PQ ·k PG =?1 ，得证 ΔPQG 为直角三角形。

（ii ）由（i ）知， PG ⊥PQ ，所以， S △PQG =1

2|PQ ||PG | ，由（i ）分别求出， |PQ | ， |PG | 化简S 可得关于K 的函数表达式，考虑K 的取值范围，即可得出S 的最大值。