函数章节知识点总结

知识点一：函数的定义域求法 1、分母不为0

2、根号下大于等于零

3、0

0无意义，例：x

0的定义域为{

}R x x x ∈≠,0

4、对数函数x y a log =的定义域为{}

R x x x ∈>,0 5、正切函数x y tan =的定义域为?

??

?

??+

≠2ππk x x 习题1:求下列函数的定义域x

x x x y -+-=

2

3)1(2

()261

1

2x x x x y --++-=

()()

22

162log 3x x y -+=

()()x

x x y +-=

14

()()

241ln 1

5x x y -++=

6、抽象函数定义域的求法（重点）

（1）例：()x f y =的定义域为()2,2-，求函数()32-=x f y 的定义域为：

解：()()

()2

5

212322322,2<

<<-<--=∴-=x x x f y x f y 解得的定义域为：的定义域为

一般性总结，直接代入法：已知()x f y =的定义域()b a ,，求()[]x g f y =的定义，直接代入即可，()b x g a <<，根据不等式解出x ，即是()[]x g f y =的定义域。 习题1：若函数()x f y =的定义域是{}10<

x

f y =的定义域为_____

（2）例：()32-=x f y 的定义域为()2,2-，求函数()x f y =的定义域为____

解：()()()

1,71

327222,2-32-=∴<-<-∴<<-∴-=的定义域为）的定义域为（x f y x x x f y

一般性总结，值域法：已知()[]x g f y =的定义域为()b a ,，求()x f y =的定义域，只需求出()x g 的值域即可，即为()[]x g f y =的定义域。

习题1：若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，则函数()x f y =的定义域为_____ （3）已知函数()1-=x f y 的定义域为()1,1-，求函数()3+=x f y 的定义域为____

解：()()

()()

()()

3530,21,11--+=∴-=∴--=，的定义域为定义域的定义域为x f y x f y x f y

总结：已知函数()[]的定义域x g f y =，求函数()[]的定义域x h f y =，只需要将上述（1），（2）的两种方法综合一下即可。即使找()x f y =进行一次过度。由()[]x g f y =求出

()x f y =，按照（2）的步骤求出，然后再由()x f y =求出()[]的定义域x h f y =，按照（1）

的步骤即可。

知识点二：函数值域的求法

1、直接代入法：已知()232

+-==x x x f y ，求()2f 的值

解：将2=x 直接代入()x f y =的表达式计算结果即可。()02=f 2、计算区间法：区间的计算法则（1）()3,1的倒数区间为??

? ??1,31 （2）()+∞,1的倒数区间为()1,0 （3）()2,0的倒数区间为??

? ??+∞,21

（4）()1,2--的倒数区间为??

? ??-

-21,1 （5）()2,-∞-的倒数区间为??

?

??-

0,21

（6）()0,3-的倒数区间为??

? ??-∞-31,

（7）()2,2-的区间等价于(][)2,00,2?-的倒数区间为 ??

? ??+∞???? ??-∞-,2121, 例题：求1

212+=

x y 的值域

解：[)[)(]1,01

21,,11202

2

2

∈++∞∈+∞+∈x x x ，，

3、一元一次函数b kx y +=和一元二次函数c bx ax y ++=2求值域 例题：[]3,1,32∈+=x x y 上的值域_______

总结，对于一次函数来说，利用单调性求值域，即直接代入端点值即可。 例题：①()2,0,322

∈++=x x x y 上的值域

②()2,4,322--∈++=x x x y 上的值域 ③()2,2,322

-∈++=x x x y 上的值域

对于上述三种一元二次函数求值域，首先要判断对称轴的位置是否在定义域内，若不在定义

域内即可以利用单调性直接代入端点即可，如①②的形式，如果对称轴在定义域内，一定在对称轴处取得最值，再其中一个端点处取得值域的另外一端。

4、分离常数法：（1）例：求函数1

3

-+=

x x y 的值域为_____ 解：1

4

114113-+=-+-=-+=x x x x x y ，由此可知13-+=x x y 的值域为{}R y y y ∈≠,1

总结：分离常数法适用于齐次式（齐次式即为因式的分子和分母的最高次幂一样高，常见的

有一次比一次式和二次比二次式。）

如例题所示为一次比一次的分式，按照分离常数后的结果，全部根据x

y 1

=得出定义域和值域。x y 1=

的定义域为{}0≠x x ，值域为{}0≠y y ，根据x

y 1

=的对称中心()0,0，横坐标即为定义域取不到的点，纵坐标即为值域取不到的点。1

4

114113-+=-+-=-+=x x x x x y 的对称中心可以由x

y 1

=的图像向右移动一个单位并向上一个单位平移得到，所以对称中心也依

次平移到了()1,1点处，所以定义域为{}1≠x x ，值域为{}

1≠y y 。 习题1：求下列函数的值域()2

3

21+-=

x x y ()1

2322+-=x x y ，（特殊的齐次式）注：换元法将x

2设为t 之后，

就可以变为齐次式了。根据区间计算法求值域就可以了

()()16,4,3

log 33

log 2322∈+-=x y x

x

，仍然是特殊的齐次式，换元之后之后改变取值范围。根据区间计算法求值域就可以了。

补充知识点：对勾函数的性质（1）当0>x 时，对勾函数有最低点（最小值），其横坐标为a b x =

，???? ??

a b ,0上单调递减，???

? ??∞+,a b 上单调递增。 （2）当0

=，???

? ??-∞-a b ,上单调递增，???

?

??-0,a b 上单调递减。 （3）其图像如图所示

（2）例1：求1

2

2

2++-=x x x y 的值域_____ 分析：分式的分子与分母都是二次式，依然符合齐次式的特征，所以需要通过分离常数求解

解：

()()()()1

2

211

11

12111211111111112222222

2-++--

=+-+---

=+---

=+--=++-+=++-=x x x x x x

x x x x x x x x x x y 然后按照对勾函数性质求出分母的值域，再按照区间计

算法求出函数的值域即可。

例2：求2

3

222+-++=x x x x y 的值域_____

判别式法，适用于定义域为R 的函数求值域

接()

()()的取值范围即可

，求出根据y 00

32213

2223222

22

2≥?=-++--++=+-+-++=y x y x y x x x x y x x x x y

总结：若函数()x f y =可以转化为一个系数含有y 的二次方程()()()02

=++y c x y b x y a ，

则在()0≠y a 时，若R x ∈，则0≥?，从而确定函数的最值，并验证()0=y a 时对应的x 的值是否在函数定义域内，以决定()0=y a 时，y 的值的取舍。 5、对勾函数法，适用于一次比二次或者二次比一次的非齐次式。

例题1：x

x x y 2

32++=的值域为

解：x

x x x x y 2

3232++=++=

转换成了对勾函数，按照对勾函数的性质进行求解. 例题2：求4

31

2+++=

x x x y 的值域_____

解：()()1

2

111

2

111

43122++++=

+++++=

+++=

x x x x x x x x y 然后利用对勾函数求出值域即可 6、换元法求值域

（1）适用于d cx b ax y +±+=的形式

例题：x x y +++=121

方法一：利用单调性，因为函数x 21+和x +1均在定义域内单调递增，所以函数

x x y +++=121在定义域内单调递增，所以代入断电之即可。

方法二：换元，将d cx +的形式设为新参数t

解：

(

)

1

21211

,1122

22-+=+-+=∴-=∴=+=+t t y t t y t x t x t

x ，然后按照一元二次函数的形式求值域即可。

例题2：求x x y -++=11的值域

分析，因为函数x +1是单调递增的，而x -1是单调递减函数，所以x x y -++=11在定义域内无法判断其单调性，所以只能通过换元的方法求值域，即t x =-1然后将函数转化成一元二次函数的形式，最后按照一元二次函数的形式就值域。 （2）三角换元求值域

例题1：求21x x y -+=的值域

分析，对于形如2x 1-+=一次y 的形式，按照三角换元的形式进行求解。

解：?

?? ?

?

+=+=-+==-+=4sin 2cos sin sin 1sin ,sin ,122παα

αα

αa y x x x y 设，由此可知值域为[]

2,2-

例题2：求221x x y -+=的值域 同样利用三角换元的形式

解：()?ααααα

+=+==

=-+=sin 2

6cos sin 22sin 22sin 2,2122y x x x x y 令，所以可知值域为??????-26,26 7、利用几何意义和函数图像的性质求值域 例题1：求102422++++=

x x x y 的值域

分析，这样的函数求值域比较难，而且形式比较复杂，所以，当不符合以上上面的任何一种形式的求值域方式时，需要考虑用几何意义和图像的性质求值域。

所谓的几何意义，主要包括，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，斜率公式等 解

()()

()()

2

2

2

2

223012001024-+++

-+-=

++++=x x x x x y 将该式子理解成P ()0,x 这个点，到点A ()

2,0和点B (

)3,1-的两点间的距离和。所以求值域过程如图所示

做A 点关于x 轴的对称点1A ,所以PA+PB 有最小值，无最大值，所以连接1A 和B 点的直线与x 轴的交点为最小值点1P ，所以函数()()

()()

2

2

2

2

223012001024-+++

-+-=

++++=x x x x x y 的最小

值为B A 1的距离。 例题2：求4

cos 21

sin 4-+=

x x y 的值域

分析，利用斜率和圆的性质求值域

解：()2cos 41sin 22cos 241sin 4-?

??

??--?=-??? ??+=x x x x y 将该式子理解成单位圆外一点?

?? ?

?-41,2与单位圆上

的点()x x sin ,cos 所连线的斜率的2倍，所以如图所示：

具体求解过程

如下:

()65

23,125,431141k 2,0412241

212≤

≤-∴=-==++

=----=+

y k k k k y kx x k y P 解得令即点的直线方程为设过，所以综上所示函数的值域为???

???-65,23

8、忽略定义域的值域问题 例题1：函数42+-=

ax x y 的值域为[)+∞,0，求a 的取值范围。

分析，若想让函数42+-=

ax x y 取到[)+∞,0的值域，

则42

+-ax x 必须能取到[)+∞,0的所有值，即42

+-ax x 的?必须大于等于零，如果所示：

如图所示，必须能取到x 轴下方的部分，至

于小于零的部分，虽然跟根号下大于等于零矛盾，可以通过定义域的规定，去除掉。

解：

()()

+∞-∞-∈≥-≥?+-=,44,04*404

2

2 a a ax x y

例题2：已知函数()()1,0,4log ≠>??

?

??-+=a a x a x x f a 的值域为R ，则实数a 的取值范围是______

分析过程如上，若()x f 的值域要为R ，4-+x

a

x 必须可以取到大于零的所有值，且分析可知0>x ，所以04>-+

x

a

x 等价于042>+-a x x 能取得大于零的所有值，所以依然是?大于等于零，对于小于零的部分，虽然与真数大于零矛盾，依然可以通过定义域去除掉。 9、利用导数求值域

例如高次函数或者各类基本初等函数混合的复杂函数求值域，可以利用导数的方法就值域

例题：x x x y ++=2

3

2，[

]2,1∈x 上的值域 解：3

1,1,01

43,221223-

=-=='++='++=x x y x x y x x x y 然后利用极值点判断出函数的单调性，根据单调性

求出函数值域即可。 知识点三：单调性

判断单调性的方法：1、掌握所有基本初等函数

()

x y x y x y x y x y a y a

x

tan ,cos ,sin ,,log

,======μ的单调性区间

2、

()()()()()[]0021212121>-->--x f x f x x x x x f x f 或单调递增

()()()()()[]0021212

121<--<--x f x f x x x x x f x f 或单调递减 3、导函数大于零单调递增，导函数小于零单调递减 4、取倒数和添负号均改变一次单调性 5、复合函数()[]x g f 的单调性，同增异减

6、奇函数在对称区间内的单调性相同，偶函数在对称区间内的单调性相反

7、增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 8、互为反函数的两个函数的单调性相同

9、观察函数图像，若图像从左下角向右上角变化，则为增函数，若函数图像从左上角向右下角变化，则为单调递减函数。 10、分段函数的单调性：

例题：已知函数()()???

??>≤+-=1,21,53x x

a x x a x f 是()+∞∞-,上的减函数，那么a 的取值范围是__

分析：对于分段函数，不单要讨论每个分段区间上的单调性，即0203><-a a 和，还需要注意分段点处的单调性，()a a 253≥+-

11、单调区间不可以用并集，若要连接两个单调区间，只能用逗号，或

者“和” 例题：x

x y 4

+

=的单调递减区间为___ 根据对勾函数的性质：()()2,0,0,2-是单调递减区间，而()()2,00,2 -是单调递减区间的写法，是错误的。 知识点四：奇偶性

1、奇函数：()()x f x f -=-，图像关于原点对称，定义域对称，若在0=x 处有定义，则必有()00=f

2、()()()()R y x y f x f y x f ∈+=+,,是奇函数

证明过程如下：()()()

()()()()()()()()()

x f x f x f x f f x f x f x x f y

x f f f f y x -=-=-+=-+=-∴-==∴+=∴=0

0000000

,

3、偶函数：()()x f x f =-，图像关于y 轴对称，定义域对称

4、复合函数奇偶性：同奇则奇，一偶则偶。

5、函数奇偶性的运算法则：奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数 奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数/奇函数=奇函数 偶函数/偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数 奇函数/偶函数=奇函数

总结：奇偶性相同的函数做乘除等于偶函数，奇偶性不同的函数做乘除等于奇函数 6、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。 7、唯一的一个及时奇函数又是偶函数的函数是()0=x f

8、一些反应奇偶性的重要表达式：（1）()x x a a x f --=奇函数，()x x a a x f -+=偶函数

（2）()1

1

22+-=x x a a x f 奇函数

（3）()bx

bx

x f a +-=11log 奇函数 （4）()()

bx x

b x f a ±+=2

2

1log 奇函数

知识点五：周期性

1、特殊函数的周期性：()()?ω?ω+=+=x A y x A y cos ,sin ，ω

π

2=T

()?ω+=x A y tan ，ω

π=

T 2、反应周期函数的表达式（1）()()T x f x f +=，周期函数最基础表达式，以T 为周期 （2）()()a x f a x f -=+，a T 2=

变形：()()b x f a x f +=+依然是周期函数，周期为b a T -= （3）()()x f a x f -=±，a T 2=

（4）()()C x f a x f =++，C 为常数，a T 2= （5）

()

()x f a x f ±=+1

，a T 2=

（6）()()()x f a x f a x f =++-，a T 6=

证：

()()()()()()

()()()()()()()()

a x f x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f a x f x f x f a x f a x f 322022+-=+-=-+-=+=++++=++=++-，a T 6=∴

3、利用奇偶性推导周期性：若()x f 为偶函数，()a x f ±为奇函数，则()x f 为周期函数， 且周期为a 4。同理若()x f 为奇函数，()a x f ±为偶函数，则 依然为周期函数，且周期为a 4

4、利用对称性和奇偶性推导周期性：若()x f 是偶函数，且()()x a f x a f -=+，则()x f 以 a 2为周期的周期函数

5、利用计算得出函数周期性： 例：已知函数()x f 满足：()()()()()y x f y x f y f x f f -++==

4,4

1

1，则()___2010=f 分析：此题需要求()2010

f 的值，因为2010过于大，所以分析可知需要利用函数的周期性去求解，所以根据题的已知条件，()4

1

1=f ，依次计算()()()4,3,2f f f ，观察规律即可得出周期的结论。

知识点六：对称性

1、反应函数对称性的式子：()()x a f x a f +=-，()()x f x a f =-2，均反应a x =是函数的对称轴。

2、奇函数原点对称，偶函数y 轴对称

3、()x f 与()x f -关于y 轴对称 ()x f 与()x f -关于x 轴对称 ()x f 与()x f --关于原点对称 知识点七：函数图像

1、()

x f 的图像，将y 轴右侧的函数图像向左翻转 2、()x f 的图像，将x 轴下方的图像图像向上翻转 3、函数的平移变化，左加，右减，上加，下减

例题1：()x f y =图像经过怎样的变化可以得到()121--=x f y 平移变化1:先平移的变化：

()()()

()()1

2112121x --?????→?--?????→?-????→?-?????→?x f x f x f x f x f 向上移动一个单位

轴对称一次

关于横坐标压缩一般向右移动一个单位 平移变化2：先拉压的变化：

()()()()()

121121222

1

--?????→?--?????→?-?????→?????→?x f x f x f x f x f x 向上移动一个单位

轴对称一次

关于个单位

向右平移横坐标压缩一半

例题2：()x f y =图像经过怎样的平移变化可以得到()x f y --=11

该题需要注意的是，在平移过程中只对x 做变化，也就是说需要注意前面的负号。

()()()[]()[]()()()

x f x f x f x f x f x f x f --?????→?--?????→?+-=--?????→?-=-?????→?11111x y 向上平移一个单位轴对称一次关于向右移动一个单位轴对称一次

关于

知识点八：求函数的表达式 1、换元法求表达式

例题：已知()6412

++=+x x x f ，求函数()x f 的表达式

解：

()()()3

2644126

1411

,122

2

++=+-++-=+-+-=-==+t t t t t t t t f t x t x 设

2、直接带入法求表达式

例题：已知函数()4322

++=x x x f ，求()1+x f 的表达式

解：()()()9

724

332424

1312122

2

++=+++++=++++=+x x x x x x x x f

3、配方法求表达式

例题1：已知()6412

++=+x x x f ，求函数()x f 的表达式

解：()()()()()()()()3

231215

21215

216

4121122

222

++=∴++++=+-+++=+++=++--+=+x x x f x x x x x x x x x x f

例题2：已知41122

-+=??? ??+

x

x x x f ，求()x f 的表达式 解：()6

6

14

21122

2

-=∴-??? ?

?

+=--??? ??+=??? ?

?

+x x f x x x x x x f

3、利用奇偶性求函数表达式

例题1：已知()x f 是奇函数，当0>x 时，()()1ln +=x x x f ，求0

解：()()

()()

()()()()

x x x f x x x f x f x f x x x f x x -=∴+--=-∴-=-+--=-∴<>-1ln 1ln 1ln 0,,0 所以令，利用奇偶性求表达式题型1，求法固定。

例题2：已知函数()x f 是偶函数，当0>x 时，()12++=x e x f x

，求当0

表达式。

解：

()()()()1

2120

,0+-=∴=-+-=-∴<>---x e x f x f x f x e x f x x x x 则令

例题3：已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g ，满足()()x e e x g x f x

x ++=+-22，

求()x f ，()x g 的表达式。

解：()()()()()()()()

()()()x

x x x x

x

x x x x e e x g x e e x f x

e

e x

f x

g x g x f x f x

e e x g x

f x e e x

g x f 4

3

432222,2222+=∴+-=

++-=-=-=--+=-+-++=+-----

4、利用对称性求表达式

（1）利用对称轴求函数表达式

例题：已知()3ln 2

++=x x x f ，且()x f 和()x g 关于1=x 对称，求()x g 的表达式

解：()()()()()()()()()3

2ln 4432ln 443

2ln 23

ln 2,12,

,,222

02

0000

000+-++-=∴+-++-=+-+-=∴++=-==+=x x x x g x x x y x x y x x y x x x x y y x g y x x f y x 上在上，

在设类型是有两个函数()x f ，()x g 关于一条对称轴对

称

（2）利用对称点求函数表达式

例题：已知()()x f x f -=4，当2>x 时，()32++=x e x x f ，求()x f 的表达式

解：()()()()()()()()()?????++-++=∴++-=-=∴++====∴-=--19

83

3

4432,,,2442

242

2

000000

x

x x x e x x e x x f e x x f y e x x f y x x f y x y x x x f x f 对称

上两点，且关于均是是对称轴

5、倒代换求表达式

例题：已知()132122

++=??

?

??+x x x f x f ，求()x f 的表达式

分析：观察表达式，只有x 和

x

1

两种形式，用倒代换求表达式 解：()()()()3

1

234322

644121

32211

1

321222222+

++--=∴++=+??

?

??++=+??

?

??++=???

??+x x x x x f x x x f x f x x x f x f x

x x x x f x f 换成

将

6、反代换就表达式

例题：已知()()x x x x f x f sin 3222

-+=-+，求()x f 的表达式

分析，题中只含有()()x f x f -,表达式，两种形式，所以采用反代换的形式求表达式

解：

()()()()()()()()x

x x x f x x x x f x

x x x f x f x x x x f x f x x x x x x f x f sin 2sin 3363sin 26442sin 322sin 322222

22++-=--=-++-=+-++-=+---+=-+替换

全部用将

知识点九：函数的凹凸性

1、凹函数：若函数()x f 上每一点的切线都在图像的下方，则函数为凹函数。（函数的鼓出方向对着x 轴方向，则为凹函数）。如图所示：

凹函数的性质：()()222121x f x f x x f +≤

??

?

??+ 2、凸函数：若函数()x f 上每一点的切线都在图像的上方，则函数为凸函数。（若函数的鼓出方向背离x 轴方向，则为凸函数。）如图所示：

凸函数的性质：()()222121x f x f x x f +≥

??

?

??+ 3、函数的凹凸性：x a y =是凹函数 x y a log =是凸函数

μx y =，当10<<μ时，函数为凸函数，当1>μ时，函数为凹函数。 知识点十：反函数

1、反函数定义：将原函数中的自变量和因变量对换位置，也就是用原函数中的因变量去表示自变量。

2、反函数达的求法：例题：已知函数()32+==x x f y ，求函数的反函数。

解：()3

32

33

2321-=

-=

-=+=-x x f y x y x x y

3、反函数的性质：（1）原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域即为反函数的定义域

（2）原函数、反函数具有相同的单调性

（3）原函数、反函数的图像关于x y =对称。 4、一个函数存在反函数的条件：函数在给定定义域内具有单调性。 原函数与反函数的经典函数：指数函数与对数函数 例：x

y 2=和x y 2log =

如图所示：

知识点十一：函数的零点问题

1、二分法：用来判断函数根的位置。

()()0

数根。

2、函数的零点个数：()()()x g x f x h -=，()x h 的图像的零点个数，等于()x f 和()x g 的图像的交点个数。

()()()x g x f x h +=，()x h 的图像的零点个数，等于()x f 和()x g -的图像的交点个数。

3、常见函数的交点个数：x y x y sin ,==在定义域内有且仅有一个交点。x y x y 2,2==在定义域内有3个交点，其中一个在y 轴左侧，另外两个在y 轴右侧，分别是4,2==x x 知识点十二：观察法观察函数性质

所谓的观察法即是通过观察函数表达式的形式，或者做稍微简单的化简变化而得出的函数性质的方法。观察法要求对函数的性质，尤其是对于函数的奇偶性和单调性有比较强烈的敏感性，才能比较准确的观察出函数的性质。

例题1：()3x x x f +=，通过观察需要观察出函数具有奇函数且定义域内单调递增的性质。 例题2：()x x x f sin -=，通过观察函数首先具有奇函数的性质，但是无法直接观察出函数的单调性，所有通过对函数求导，才能得出单调递增的性质。()()0,sin 1≥'-='x f x x f 所以原函数单调递增。

例题3：()()

2412lg x x x f ++=，且()2lg 21lg f f +??

? ??

的值。

通过观察可知函数()x f 是一个奇函数，且2lg ,2

1

lg

互为相反数，所以()2lg 21lg f f +??

?

??等于0。

函数经典例题：（主要针对函数的零点和根的分布的问题）

1、设()x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()()x x x f -=12，则=??

?

??-

25f 分析：??

?

??-

25f 并不在题中给出定义域中，所以无法应用()()x x x f -=12进行计算，所以需要应用奇偶性和周期性将??

?

??-

25f 转化到10≤≤x 区间内。

解：2

121121*221211*********

-

=????????? ??--=???

??-=??? ??-≤≤??? ??-=??? ??+-=??? ??-=f f x f f f T 偶性

所以此时需要用函数奇内

法赚到个周期和不加周期均无此时需要注意，多加一

2、对实数a 和b ，定义运算“?”：?

??>-≤-=?1,1

,b a b b a a b a ，设函数

()()()

R x x x x x f ∈-?-=,222。若函数()c x f y -=的函数与x 轴有两个公共点，则实数

c 的取值范围是____

分析：注意题中语句，函数与x 轴有两个交点，所以判断交点个数问题应该考虑函数图像，即理解为()x f 与c y =的交点个数。其次需要读懂题中?新定义的算法

解：()???

???

??

?? ??><-??? ??

≤≤--=231,231,222x x x x x x x f 或根据题中定义可知

，

画出函数图像可知，

根据图像可知，在BD 直线上方，且直线与()x f 有两个交点的地方就是所求的范围。所以总结，根据题干描述，只要涉及到交点个数的问题，基本都需要用函数的图像去解决。

4

3

12-<<--≤c c 或

3、已知函数()???

??>+-≤<=10,62

1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,互不相当，且()()()c f b f a f ==，则abc

的取值范围

分析：()()()c f b f a f ==由此性质可以知道，()x f 于某条直线有三个交点，才能得到此条件。再次根据求abc 的范围可以，多变量问题一定要转化成一个变量。所以一定要将abc 转换成一个未知量才可以。 解：如图所示

()

12,10,1,lg lg ,lg lg 11∈=∴=∴=∴=∴=---c c abc c

abc ab b a b a b a 的范围的范围就是如图所示

4、定义在R 上的函数()x f 满足，()()()?

??>---≤-=0,210

),1(log 2x x f x f x x x f ，则()2009

f 的值为___

分析：()2009

f 不在题中给出具体函数表达式的定义域中，且2009较大，所以必须转化到0

需要根据条件导出函数的周期。

()()()()()()

1121--=+---=x f x f x f x f x f x f 将两式子相加可以得出

()()21--=+x f x f ，()()x f x f -=+3，所以可知T=6，所以()()()152009

-==f f f ，()12log 12==-∴f ，所以()12009=f

5、已知函数()x f 满足：()()()()()()R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==

,,4,4

1

1，则()=2010f ___

分析，()2010

f 求的数比较大，所以应该利用函数的周期性求解，但是无法通过题中给出的已知条件得出周期的性质，所以，我们只能多算几遍，根据算出的结果判断函数的周期性。