常微分方程习题19

常微分方程期中考试试卷(6)

一 . 解下列方程

1. x 'y =

22y x ++y

2. tgydx-ctydy=0

3. {y-x(2x +2y )}dx-xdy=0

4. 2xylnydx+{2x +2y 21y +}dy=0

5.

dx dy =6x y -x 2y

6. 'y =22)1

2(-++y x y

7. 已知f(x)?x dt t f 0

)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

8．一质量为m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，

有一个和时间成正比（比例系数为1k ）的力作用在它

上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成

正比（比例系数为2k ）。试求此质点的速度与时间的

关系。

二． 证明题

1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用

初等方法求得它的通解。

2． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试

同齐次函数，且xM+yN ≠0,则

)

(1yN xM +是该方程的一个积分因子。

试题答案：

02412-35

一 . 解下列方程

1． 解：将方程改写为 'y =21x y -+ x y （*） 令u=x

y ,得到x 'y =x 'u + u,则(*)变为x

dx

du =u -1 , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为arcsin x y =lnCx 。

2． 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=

-ln x cos +C 或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ，x=t π+2

π(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0

或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为

sinycosx=C 。

3． 解：ydx-xdy-x(2x +2y )dx=0,两边同除以2x +2y 得 22ydx xdy

y x -+-xdx=0,即d(arctg x y )-12d 2x =0,故原方程的解为arctg

x y -122x =C 。

4． 解：M y ??=2xlny+2x , N y ??=2x,则 M N y x M

??-??-=2ln 2ln x y xy y -=-1y ,故方 程有积分因子()y μ=1dy y e

?-=1y ，原方程两边同乘以1y 得2ln xy y

y

dx+

2y y x +dy=0是恰当方程. d(2x

lny)+y dy=0,两边积分得方程的解为