典型环节的频率特性

第5章辅导

频率特性的基本概念

给系统输入一个正弦信号为

x r(t)＝X rm sinωt

式中X rm——正弦输入信号的振幅；

ω——正弦输入信号的频率。

当系统的运动达到稳态后，比较输出量的稳态分量和输入波形时就可以发现，稳态输出的频率与输入频率相同，但输出量的振幅及相位都与输入量不同。

可以把系统的稳态输出量写成

式中的A(ω)和 (ω)分别为复变函数G(jω)的模和幅角。

A(ω)——G(jω)的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅比，叫做幅频特性；

φ(ω)——G(jω)的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相位差，叫做相频特性。例：电路的输出电压和输入电压的复数比为

式中

图

频率特性的求取方法

频率特性一般可以通过如下三种方法得到：

1.根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数之比即得；

2．根据传递函数来求取； 3．通过实验测得。

线性系统，x r (t)、x c (t)分别为系统的输入和输出，G(s)为系统的传递函数。输入用正弦函数表示

x r (t)＝Asin ωt

设系统传递函数为

（

重要结论：对正弦输入而言

系统的频率特性可直接由G(j ω)=X c (j ω)/X r (j ω)求得。只要把线性系统传递函数G(s)中的算子s 换成j ω，就可以得到系统的频率特性G(j ω)。即

ωωj s s G j G ==)()(

频率特性的表示方法

1. 幅相频率特性

设系统（或环节）的传递函数为

1

10

11)(a s a s a b s b s b s G n n n n m m m m ++++++=---- 令s=j ω，则其频率特性为

)()()()()()()(0

1

10

11ωωωωωωωjQ P a j a j a b j b j b j G n n n n m m m m +=++++++=---- 其中，P(ω)为G(j ω)的实部，称为实频特性；Q(ω)为G(j ω)的虚部，称为虚频特性。

)()(22)()()()(ω?ω?ωωωωj j e A e Q P j G =?+=

式中，A(ω)为频率特性的模，即幅频特性，

)()()(22ωωωQ P A +=；

?(ω)为频率特性的幅角或相位移，即相频特性，

)

()

(arctan

)(ωωω?P Q =。

2.对数频率特性

对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。对数频率特性曲线又称为伯德（Bode ）图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线。

对式两边取对数，得

)(434.0)(lg lg )()(lg )(lg ω?ωω?ωωj A e j A j G +=+=

这就是对数频率特性的表达式。通常不考虑0.434这个系数，而只用相位移本身。

在实际应用中，频率特性幅值的对数值常用分贝(dB ，decibel)表示，其关系式为

dB A L )(lg 20)(ωω=

横坐标为频率ω，但按lg ω刻度。因此，频率每变化十倍，横坐标轴上就变化一个单位长度，称为“十倍频程”。

对数相频特性的纵坐标表示相位移，是线性刻度，单位是“度”。横坐标与幅频特性的横坐标相同。对数频率特性的坐标如图所示。

图对数坐标

典型环节的频率特性

一. 比例环节

比例环节的传递函数为

K s G =)(

以j ω取代s ，得其频率特性为

K j G =)(ω00j Ke j =+

比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别为

)(lg 20)(==ω?ωK

L

比例环节的频率特性

二. 积分环节

积分环节的传递函数为

s

s G 1)(=

其频率特性为

ωωω1

1)(j j j G -== 幅频特性为

ω

ω1

)(=

A

相频特性为

2

)(π

ω?-

=

对数幅频特性为

ωωωlg 20)(lg 20)(-==A L

图5-8 积分环节的幅相频率特性

积分环节对数幅频特性是一条斜率为－20dB ／dec 的直线，它在ω＝1这一点穿越零分贝线；相频特性与频率无关，在ω由0→∞时，其为平行于横轴的一条直线。

图 积分环节的对数频率特性

三. 惯性环节

惯性环节的传递函数为

1

1

)(+=

Ts s G

其频率特性为

1

1)(+=

ωωTj j G

1、幅相频率特性

幅频特性为

2

)

(11)()(ωωωT j G A +=

=

相频特性为

ωωω?T j G arctan )()(-=∠=

惯性环节的对数频率特性

四. 振荡环节

振荡环节的传递函数为

1

21

)(2

2++=

Ts s T s G ? 式中，T 为时间常数；ζ为振荡环节的阻尼比（0<ζ<1）。 其频率特性为

ω

?ωωTj T j G 211

)(22+-=

振荡环节的对数幅频特性为

2222)2()1(lg 20)(lg 20)(ω?ωωωT T A L +--==

在低频段，ωT<<1(即ω<

1

)时，Ｌ(ω)≈-20log1＝0dB 。这是一条与横轴重合的直线，即低频渐近线。

在高频段，当ωT>>1，即 ω>>

T

1

，)lg(40lg 20)(22ωωωT T L -=-≈ 这说明高频渐进线是一条斜率为-40dB ／dec 的直线。

两条渐进线在ω＝T

1

＝ωn 点相交，故振荡系统的固有频率就是其转角频率。 在

振荡环节的对数频率特性

五. 微分环节

微分环节的传递函数为

s s G =)(

其频率特性为

ωωj j G =)(

对数幅频特性为

ωωωlg 20)(lg 20)(==A L

微分环节的频率特性

六.一阶微分环节

其传递函数为

1)(+=s s G τ

频率特性为

1)(+=ωτωj j G

对数幅频特性为

2)(1lg 20)(τωω+=L

一阶微分环节的对数频率特性

最小相位系统

凡是在s 右半平面上没有极、零点的系统，称为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。从频率特性的角度看，具有相同幅频特性的一些系统，可以有不同的相频特性，其中在任意大于零的频率下，相位滞后都是最小的系统，称为最小相位系统。

控制系统的开环对数频率特性

一个复杂系统的开环传递函数G (s)往往由几个典型环节串联而成，即

其频率特性为

)

()()(2)(121)()()()()

()()()(21ω?ω?ω?ω?ωωωωωωωωj j n j j n e A e A e A e A j G j G j G j G n =?== 式中

)()()()(21ωωωωi A A A A =

)()()()(21ω?ω?ω?ω?i +++=

对数幅频特性为

)(lg 20)(lg 20)(lg 20)(lg 20)(21ωωωωωi A A A A L +++==

)()()(21ωωωi L L L +++=

绘制系统的开环对数频率特性曲线(波德图)的步骤为：

1) 把系统的开环传递函数化为标准形式——典型环节的传递函数之积，并分析各环节。 2) 求出各转角频率ω1， ω2， ?等等，并按大小将它们标在频率轴上。

3) 在ω＝ l 处垂直向上量出幅值201ogK(dB)，得到a 点，这里K 为开环放大系数。通过a 点画出L(ω)的低频渐近线，其斜率为-20ν(dB ／dec)。这里 ν为系统含有积分环节的个数。

4) 以后每遇到一个转角频率，就改变一次渐近线斜率。遇到(l+Tj ω)±1，斜率改变±20dB ／dec ；遇到[1+ζT(j ω)+(Tj ω)2]±1，斜率改变±40dB ／dec 。

5) 对渐近线进行修正，便可画出精确的对数幅频特性曲线L(ω)。

6) 画出系统每个组成环节的对数相频特性曲线，然后将它们在各个相同频率下相加。即得系统的开环对数相频特性曲线?(ω)。

用频率特性分析系统的稳定性

例：某系统的开环传递函数为

绘其开环奈奎斯特曲线，并判别其闭环系统的稳定性。 【解】该系统开环频率特性为

上面这两个特殊点确定了奈氏曲线的变化趋势。再计算几个对应不同ω值的G k (j ω)值，便能绘制出如图 所示的奈奎斯特图。

当K 增大时，G k (j ω)曲线将成比例地向外扩张，但形状不变，并且不会包围(-1，j0)点，已知开环传递函数中没有右极点。因此，该闭环系统总是稳定的。

对数频率特性稳定判据

【例】 已知系统的开环传递函数为

)

1002(300

)()(2

++=

s s s s H s G 试用对数稳定判据判别系统的稳定性。

【解】 绘制系统对数频率特性曲线，如图 所示

系统对数频率特性曲线

因为振荡环节的阻尼比为0.1，在转折频率处的对数幅频值为

1

20lg20lg20.114 2dB

?

=-?=

由于开环有一个积分环节，需要在相频曲线ω＝0+处向上补画π/2角。根据对数判据，在L(ω)≥0的所有频率范围内，相频?(ω)曲线在-1800线有一次负穿越，且正负穿越之差不为零。因此，闭环系统是不稳定的。