抽象函数的单调性专题突破.doc
抽象函数的单调性专题突破
例1、/(劝对任意x^yeR都有：f(x+y) = /(x) + /(y),当x > O0t f(x) <0 ,又知/?⑴=一2,求/(兀)在
XG[-3,3]±的值域。
例2、f(x)对任意实数X 与y 都有/(%)- f(y) = f(x-y)-2f当x>0 时,f(x)>2
(1)求证:f(x)在R上是增函数；(2)若f (1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3
【专练】:1、已知函数/(兀)对任意x, yeR有/(兀)+ f(y) = 2 + /(兀+刃,当兀> 0时,/(%) > 2, /(3) = 5,
求不等式f(a2一2G - 2) v 3的解集。
2、定义在R上的函数f(x)满足:对任意x, y￡R都有/(x-y) = /(x)-/(y),且当xvO时,/(兀)<0
⑴求证f(x)为奇函数；(2)若f(k? 3A)+f(3x-9r-2)< 0对任意xeR恒成立，求实数k的取值范闱.
二类：对数函数型|函数满足：f\a b) = f\a) + f\b)或/(-) = f(a) - f
------------------------------ | b ____________________
例］、f (x)是定义在x>0 的函数，且f(xy) = f(x) + f (y);当x>l 时有f (x) <0;f (3) = -1.
(1)求f⑴和f(l/9)的值；(2)证明f(x)在x〉0上是减函数:(3)解不等式f(x) + f(2-x) < 2O
例2、定义在(0,+s)上函数y = /(x)对任意的正数均有：f(b),且当xvl时，/(x) > 0, b
(1)求/⑴的值；(II)判断/(X)的单调性，
V-
【专练儿1、定义在(0,+oo)上的函数f(x)对任意的正实数有/(-) = /(x)-/(y)且当0<尢<1时, y
f(x) <0. 求：⑴ /(I)的值.(2)若/(6) = 1,解不等式f(x + 3) — /(-) < 2 ；
X
2.函数/(X)的定义域是XH0的一切实数，对定义域内的任意西,兀2都有/(无1?兀2)= /(兀1)+ /(兀2)，且当兀>1
吋f(x) > 0, X/⑵=1, (1)求证：/(X)是偶函数；(2) /(兀)在(0,+QO)上是增函数(3)解不等式
/(2X2-1)<2
3、设“V)是定义在(0,-HX))上的函数，对任意x,yw(0,xo),满足/(A>')=/(A)+/(>0且当兀>1时，/(X)> 0 o
(1)求证：/(—) = /(X)-/(>') ；(2)若/(5) = 1 ,解不等式f(x + \)-f(2x)<2.
y
函数满足：|/(6Z 4-/?) =/(tz) /(Z?)| 或/(6Z-Z?)=4T77
例1、定义在R上的函数/(x),满足当兀>0时,/(X)> 1,且对任意x,y w R,有/G+y) = /(x)?/(y),
又知/(1) = 2?(1)求/(0)的值；(2)求证：对任意xwR都有/(X)> 0 ； (3)解不等式/(3X-X2)>4；
【专练】：1 N定义在/?上的函数y = f(x)对任意的w 都有/(m+ H)= /(77t) f( /,且当x>0时，
0 < /(x )< (I)证明:x w R都有f(x) > 0； (11)求证:y = f(x)在R上为减函数；(III)解不等式f(x) *f(2x-x2)>lo
2、若非零函数/(兀)对任意实数％均有f(a+b) = f(a)-f(b)f且当兀<0时,f(x) > 1 ；
1 ° 1 (1)求证：f(x) > 0 ； (2)求证：/(兀)为减函数(3)当/(4)= 一时，解不等式/(X-3)-/(5-X2)<-；
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四类：幕函数型|函数满足：［f\ab)= f\a) /W 或 /(-) = -
-------------------- b f(b)
例1、已知函数/(兀)满足：①对任意兀,yw/?,都有f(xy) = /(x) f(y),②/(-I) = 1,/(27) =9,且当OWxvl 时，/(x)e［0,l)o (I)
判断/(X)的奇偶性，(II)判断/(兀)在［0,xo)上的单调性，并证明。(III)若6/>0, 且/(G +1)W矽，求a的取值范围。
例1、定义在1-1,1］上的奇函数歹=广(尢)有/⑴=1,且当m,HG［-1,110+,总有：也比型>0,0HH),
L」J m+n
(I)证明：/⑴在［—1,1］上为増函数，(II)解不等式：/(%+-)
XG［-1,1］,?G［-1,1］恒成立，求实数［的取值范围.
例2、定义在(—1, 1 )上的函数f(x)满足，对任意兀，y G(-l, 1)都有/(x)+fO)=y(MZ),且当?］+与
XG(-1, 0)时,有/(x)>0, (1)试判断/(x)的奇偶性；(2)判断/(兀)的单调性;
【专练】：1、己知定义在(-00,-1) (1,七0)上的奇函数满足：@/(3) = 1；②对任意的x>2,均有/(X)> 0 ；
③对任意的x,y^R\均有/(x+l) + /(y + l) = /(Ay + 1)；
(1)试求/(2)的值；(2)求证：/(兀)在(1, +00)上是单调递增；(3)已知对任意的&丘(0,兀)，不等式
2、已知函数f (x)的定义域为［x\x^k7r, k w且对于定义域内的任何x、y,有f（x — y）成立/(cos 0+a si询％恒成立，求a的取值范闱，
且/(?) = 1 (d为正常数)，当0 v兀<2a时，f(X)>0. (I)判断/(X)奇偶性；(II)证明f(X)为周期函数;
(III)求于(%)在［2d, 3d］上的最小值和最大值.
3、已知于(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，且") = 1,若任意的a、fee［-1,1］，总有(a + b)(.f(d) + /(b))>0.
(1)判断函数/⑴在［-1,1］上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式：/(x-l)
/(力冬肿-2/力卄1对所有的xe［-l,l］恒成立，其中pe［-l,l］ (p是常数),求实数加的取值范围.