初等几何变换(一)
初等几何变换（一）
主讲：刘汉斌
基础知识：
平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989年中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。
一、 平移变换
1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上
任一点X 变到X'，使得=，则T 叫做沿有向线段的平移变换。记为X ??→?)PQ (T X'，
图形F ??→?)PQ (T F' 。
2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换
1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。记为
X ?→?)l (S
X'，图形F ?→?)l (S F' 。 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于
对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
例题：
【例1】 P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB 。
求证：∠PBA=∠PDA 。
【例2】如图左：线段AA ′,BB ′,CC ′交于点O ，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。
求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<3
【例3】 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边
形。
【例4】 P 是⊙O 的弦AB 的中点，过P 点引⊙O 的两弦CD 、EF ，连结DE 交AB 于M ，连结CF 交AB 于N 。求证：MP=NP 。（蝴蝶定理）
【例5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆，试在⊙O 及射线CA 、CB 上各求一点P 、Q 、R ，使得△PQR 的周长为最小
【例6】△ABC 中，∠A ≥90°，AD ⊥BC 于D ，△PQR 是它的任一内接三角形。求证：
P P
专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(原卷版解析版)-1.doc
2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。 原创模拟预测题1.如图，直线l：y=+y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75o后，所得直线的解析式为【】
A ．y = B ．y x =+ C ．y x =-+ D ．y x =- 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 故选B 。 原创模拟预测题2. 根据要求，解答下列问题： （1）已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+，直接写出：①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；②过点（1，0）且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，①求直线l 4的函数表达式；②把直线l 4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l 5，求直线l 5的函数表达式； （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x 55 =-垂直的直线l 6的函数表达式。
旋转类几何变换
旋转类几何变换 一几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 自检自查必考点
二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ． 考点一 旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 中考满分必做题 E N M D C B A
【例2】 阅读下列材料 对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点 解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ， 证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值 考点二 利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点 的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)， 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，， 若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O
初中几何变换——平移
初中数学几何变换之 平移 一、知识梳理 1、平移基本要素：平移方向 平移距离 。 2、基本性质： （1）对应点所连的线 段平行且相等 （2）对应线段平行且相等 （3）对应角相等 3、应用： 平行四边形存在性等 二、常考题型 类型一：平移性质 1、如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n 的代数式表示） 第1题 第2题 2、如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x 轴正半 轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是( ) 3、如图①，在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），点B （0，4），点E （0，1），如图②，将△AEO 沿x 轴向左平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B 、BE ′。 （1）设AA ′=m （m >0），试用含m 的式子表示2 2 BE B A 、、+，并求出使2 2 BE B A 、、+取得最小值时点E ′的坐标； （2）当A ′B+BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标。
类型二：综合应用 1、在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上（与点C 、D 不重合），连接AP ，平移ADP ?，使点D 移动到点C ，得到BCQ ?，过点Q 作QH BD ⊥于H ，连接AH ，PH 。 (1)若点P 在线段CD 上，如图1。 ①依题意补全图1； ②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明； (2)若点P 在线段CD 的延长线上，且152AHQ ∠=?，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路。（可以不写出计算结果） 图1 备用图
2013中考压轴题选讲专题7：几何三大变换问题(排版+答案)
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
几何变换之旋转
【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上 的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩 形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠． 在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．
∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-． 即3AE = 【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直 线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】 【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在 一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由： 如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．
射影几何中仿射变换解初等几何题
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]
中考数学专题 几何三大变换问题之对称
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
初中几何变换思想之翻折
初中几何变换思想之翻 折 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考汇编几何变换之翻折 1．（2016山东省枣庄市）如图，△ABC 的面积为6，AC =3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是（ ） A ．3 B ．4 C ． D ．10 2．（2015常州）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ） A ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．33 16cm 2 D ．16cm 2 3．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ． 4．（2014年湖北天门学业3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为 ▲ ． 5．（2014年四川凉山5分）如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为 ▲ ． 6．（2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．求证：PD +PE =CF ． 小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE =CF ． 小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD =GF ，PE =CG ，则PD +PE =CF ． 【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE =CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
《初等几何研究》教学大纲
课程名称：初等几何解题研究 课程编码：0702032110 适用专业及层次：数学教育专科生 课程总学时：72 课程总学分： 一、课程的性质、目的与任务 1、本课程的性质：专业课。 2、课程目的与任务： 通过本课程的学习使学生初中数学几何教学所需的初等几何的基础理 论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构。并对初等几 何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得 到初步的培训，为教好中学数学打下较好的基础。 二、教学内容、教学要求及教学重难点 总论 教学内容：了解初等几何研究的对象和目的，了解中学几何的逻辑结 构。应根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别 组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提 高的原则。 教学要求：着重于基本知识基本理论的讲授和学生对几何问题的观察、分析、综合、推究能力的培养， 重点难点：了解中学几何的逻辑结构 第一章几何题的证明 教学内容： 第一节．几何证明的概述 1.几何证明的一般方法 了解直观与推理，了解关于命题的证明；了解直接证法与间接证法； 几种证题方法：综合法与分析法; 演绎法与归纳法. 2.几何证明的特殊方法 了解几何证明一些特殊方法：分解法、扩充法、特殊化法、类比法、 面积法、转换法、变换法、代数法、三角法、解析法等 第二节正度量关系 1.证两线段相等关系 掌握常用的证明线段相等的方法技巧
2.证两角的相等关系 证明两角相等的方法，了解证明两角相等的途径 3.证线段合角的和差倍分关系 和差倍分的证题方法及常用定理 4.证线段与角的不等关系 掌握证明不等量的常用定理 5.证成比例线段的关系 成比例线段证题方法及常用定理 6.证定值问题 了解两种处理定值问题的方法 第三节证位置关系 1.证两线段平行的关系 掌握证明平行线的方法及常用定理 2.证两直线的垂直关系 掌握垂直线的证法及常用技巧 3.证点的共线关系 共线点的证法，了解梅涅劳定理 4.证线的共点关系 共点线的证法，了解锡瓦定理 5.证点的共圆关系 掌握共圆点的证题方法 6.证圆的共点关系 掌握共点圆的证题方法 教学要求：讲授证题法与证题术，对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训。 重点、难点：证题法与证题术 其它教学环节：习题课 第二章几何量的计算 教学内容： 第一节线段的度量 了解线段度量的概念 1.线段的长度 了解线段度量的性质 2.度量线段的基本理论 了解度量线段的基本理论 3.线段的公度与不可公度 4.三角形中重要线段的计算 掌握已知三边求中线、高和面积的方法及三角形中一些线段的计算；斯特瓦尔特定理及其应用 第二节角与弧的度量 1.角与弧的度量 了解角与弧的度量的性质 2.圆周长、圆周率
(完整版)初中几何变换——平移
初中数学几何变换之平移 一、知识梳理。1、平移基本要素：平移方向平移距离 2、基本性质：段平行且相等（1）对应点所连的线2）对应线段平行且相等（3）对应角相等（ 3、应用：平行四边形存在性等 二、常考题型类型一：平移性质 、如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=11，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为（用含n的代数式表示） 2题第1第题 2、如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是( ) 3、如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E（0，1），如图②，将△AEO沿x轴向左平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′。 2、2、2、2、BEA?ABEB?B取的式子表示），试用含（′）设（1AA=mm >0m，并求出使得最小值时点E′的坐标；
（2′取得最小值时，求点′A）当B+BEE′的坐标。 类型二：综合应用 DPCDC1ABCDBD不重合），连在射线、是一条对角线，点、在正方形上（与点中， BCQ?BDQH?ADP?HDAPCQ，连接移动到点，过点，平移，得到于，使点作接AHPH。，1 (1) P CD。在线段若点上，如图①1；依题意补全图②AHPH的数量关系与位置关系并加以证明；判断与?AHQ?152?1ABCDCD(2)P，请写出求的边长为若点，正方形在线段的延长线上，且DP长的思路。（可以不写出计算结果） A BB A CD P DC 1 图备用图 “”.2等邻边四边形、类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做 1 ）概念理解（”.“ABCD1ABCD请写出你如图是，在四边形中，添加一个条件使得四边形等邻边四边形. 添加的一个条件 2 ）问题探究（.”①“她的猜想正确吗？请说明小红猜想：对角线互相平分的是菱形等邻边四边形理由。ABCRt△ AB=2BC=1=90°②2Rt△ABC∠ABC并将，，如图小红画了一个，其中，，.AABCABCBB∠ABC△小红要是平移后的＇＇，＇沿＇＇，连结的平分线＇方向平移得到“”BBABCA＇的长）？等邻边四边形＇，应平移多少距离（即线段＇是四边形 3 ）应用拓展（BD==90°ACBAD+∠BCDABCD3“”AB=AD∠为对，如图，，等邻边四边形，中，. BDBCCDAB AC=.!的数量关系，角线，试探究错误未找到引用源。，
中考数学 专题 几何三大变换问题之轴对称(折叠)问题(含解析)
专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。 一. 有关三角形的轴对称性问题 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，连接EF ，交AD 于点G ，求证：AD ⊥EF ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=900 ，∠B=300 ， BC=，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为等腰三角形时，BD 的长为 。 F D C E A B
【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。 二. 有关四边形的轴对称性问题 3.如图①是3×3菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B。 【考点】利用旋转的轴对称设计图案。 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案： 得到的不同图案有：
(完整版)中考数学专题训练旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?????? ?? ?? ??? ???? ? ????????等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】 （2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
例题精讲 考点1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
初中几何变换-翻折
初中数学几何变换之 轴对称 一、知识梳理 1、轴对称基本要素：对称轴。 2、基本性质： （1）对应线段、对应角相等 （2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用 翻折问题、最值问题等 二、常考题型 类型一：轴对称性质 1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________. 第1题 第2题 第3题
2、如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE 与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________. 3、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为。 4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CF 的值为。 FD 5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是。 第4题第5题第6题 6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。 7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG ＝ .
几何变换思想
几何变换思想 变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。 1. 初等几何变换的概念。 初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。 (1)平移变换。 将平面上任一点P变换到P′，使得：(1) 射线PP′的方向一定； (2) 线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。 平移变换有以下一些性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。 ③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。 在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。 (2)旋转变换。 在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ<0时，为顺时针方向旋转。当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围
几何三大变换(习题及答案)
几何三大变换（习题） ?例题示范 例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为． 【思路分析】 要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x． 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程． 思路一思路二 思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程． 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为． 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的 结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
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?巩固练习 1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为． 3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙，则其旋转中心是（） A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的值为．CD 5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1， BE=2，CE=3，则∠BE′C= ． 6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该 平行四边形折叠，使点C，D 分别落 在点E，F 处，折痕为MN．若点E， F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
【整理】中考几何三大变换(含答案17页)
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 解答：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵Ｇ为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中， EG=FD， ∴CG=EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG，
用高等几何方法变换初等几何命题
收稿日期:2004-11-04 作者简介:秦进,男,贵州务川人,遵义师范学院数学系助教。 用高等几何方法变换初等几何命题 秦 进 (遵义师范学院数学系,贵州遵义 563002) 摘 要:以实例分析了利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题。 关键词:高等几何;方法;变换;初等几何;命题中图分类号:O185.1 文献标识码:C 文章编号:1009-3583(2005)01-0065-03 The variation of E lementary G eometry problem from Higher G eometry Q I N J i n (Department of Mathematices ,Zunyi Normal College ,Zunyi 563002,China ) Abstract :In this paper.We analyse the variation of the elementary geometry problems f rom the thinking ways and riews of the higher geometry and gain come relevant geometrical topics. K ey w ords :Higher G eometry ;variation ;Elementary G eometry. 高等几何作为一门几何课程,有着自身的特殊作用,高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义。利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义。1 利用仿射变换 例1.命题:“正方形ABCD 的一组邻边上有E ,F 两点,且EF ∥AC ,则ΔA ED 和ΔCFD 面积相等” (见图1) .将此命题作一仿射对应,若经仿射对应后的记号 不变,使正方形ABCD 对应平行四边形ABCD ,E 对应E ,F 对应F 。在正方ABCD 中(见图1),显 然有△A ED ≌△CFD ,由于两个多边形面积之比 为仿射不变量,所以在平行四边形ABCD 中,ΔA ED 和ΔCFD 面积相等。于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有E ,F 两点, 且EF ∥AC ,则ΔA ED 和ΔCFD 面积相等” (见图2) . 例2.命题:“从圆上一点E 作EP 垂直于自己直径AB ,P 为垂足,圆在E 处的切线与在A 、B 处切线分别交于C 、D ,则AD 、BC 、EP 共点,且EP 被 交点平分”(见图3)。此命题显然为真,令AD 、BC 交于T ,因为ΔBD T ∽ΔACT ,于是D T/TA =CA/DB ,又CE =CA ,BD =DE ,所以D T/TA =DE/ 6 6第7卷第1期 遵义师范学院学报 Vol.7,No.12005年2月 Jo urnal of Zunyi Normal College Feb.2005