2020年江苏高考数学试卷及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学 试 题

参考公式：

柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A

B = ▲ ．

2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ． 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ▲ ．

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ▲ ．

6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离

心率是 ▲ ．

7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2

3 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 8．已知2sin ()4απ+=2

3

，则sin 2α的值是 ▲ ．

9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.

10．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π

6

个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．

11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和

221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ▲ ． 12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．

13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==?，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若

3

()2

PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，

A ，

B 是圆

C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．

16．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===?． （1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4

cos 5

ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．

17．（本小题满分14分）

某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2

1140

h a =

；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3

216800

h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3

2

k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD

与EF 的总造价最低？

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

:143

x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且

在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．

（1）求12AF F △的周长；

（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ?的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 19．（本小题满分16分）

已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．

（1）若()()22

2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，

，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，

，求k 的取值范围；

（3）若()

422342

() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，

[]

, D m n =???，

求证：n m -

20．（本小题满分16分）

已知数列{}()n a n ∈*

N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有

1

1

111

k

k k n n

n S S a λ++-=

成立，则称此数列为“λ～k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列{}n a ”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

参考答案

一、填空题: 1．{0,2} 2．3 3．2

4．1

9

5．3-

6．

32

7．4- 8．1

3

9．2

π 10．524

x π=-

11．4

12．45

13．

18

5

或0

14．

二、解答题

15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推

理论证能力.满分14分.

证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ?平面11AB C ，1AB ?平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .

（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ?平面ABC , 所以1B C AB ⊥.

又AB AC ⊥,1B C ?平面11AB C ,AC ?平面1AB C ,1,B C AC C =

所以AB ⊥平面1AB C .

又因为AB ?平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .

16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.

解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ==?，

由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-??=，

所以b

在ABC △中，由正弦定理sin sin b c

B C

=

，

，

所以sin C =

（2）在ADC △中，因为4

cos 5

ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，

而180ADC C CAD ∠+∠+∠=?,所以C ∠为锐角.

故cos C =则sin 1

tan cos 2

C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-

，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3

tan cos 4

ADC ADC ADC ∠∠==-∠.

从

而

31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+

∠+∠∠=?-∠-∠=-∠+∠--

-∠?∠--?. 17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数

学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.

解：（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时， 311

40640160,800

BB =-

?+?= 则1160AA =. 由

21

160,40

O'A =得80.O'A = 所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.

（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3

216,800

y x x =-

+

3

211601606800

EF y x x =-=+

-. 因为80,CE =所以80O'C x =-. 设1(80,),D x y -则211

(80),40

y x =

- 所以22111

160160(80)4.4040

CD y x x x =-=-

-=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，

则

3232

131

()=(1606)(4)800240

13(160)(040).

80080

f x k x x k x x k x x x +

-+-+=-+<<

2333()=(

160)(20)80040800

k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =

所以当20x =时，()f x 取得最小值.

答：（1）桥AB 的长度为120米；

（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低.

18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础

知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.

解：（1）椭圆22

:143

x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，

则2224,3,1a b c ===.

所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，

则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ?=-=--≥-

在2x =时取等号.

所以OP QP ?的最小值为4-.

（3）因为椭圆22

:143

x y E +=的左、

右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123

(1,0),(1,0),(1,)2

F F A -.

所以直线:3430.AB x y -+=

设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得

|343||30403|

355

x y -+?-?+=?

， 则34120x y -+=或3460x y --=.

由2234120,143x y x y -+=??

?+=??得2724320x x ++=，此方程无解；

由223460,

14

3x y x y --=??

?+

=??得271240x x --=，所以2x =或27x =-.

代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127

y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212

(,)77

--.

19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理

能力.满分16分.

解:（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．

由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．

（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.

令() 1ln u x x x =--，则1

()1,u'x x

=-令()=0u'x ，得1x =.

所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．

另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102

k

x +=

>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤． 因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤

（3）①当1t ≤≤

由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得

422

3

328

()0.()4

t t x t t x ----+≤*

令3242=()(328),t t t t ?---- 则642=538t t t ?-++．

记64253()18(t t t t t ?-++=≤≤

则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ?-+=--<=恒成立，

所以()t ?在[1,上是减函数，则()(1)t ???≤≤，即2()7t ?≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，

因此21n m x x -≤-=≤ ②当01t <<时，

432()()11 34241f h t t t t ---=+---．

设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-

令()0v t '=

，得t =

．

当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；

当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．

（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -?，．

因为m n ?［］［，

，所以1n m -≤<

③当0t <时，因为()f x ，()g x

均为偶函数，因此n m -≤

综上所述，n m -≤

20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及

综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．

解：（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．

若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-， 这与{}n a 是等差数列矛盾．

所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列*{}()n a n ∈N

”数列，

-=

因为0n a >，所以10n n S S +>>

1=．

n b =

，则1n b -=2

21(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =

2=，也即14n n S S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．

因为111S a ==，所以14n n S -=．则2

1(1),

34(2).n n n a n -=?=??≥?

（3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则1

113331

1

n n n S

S a

λ++-=

=

因为0n a ≥，而11a =，所以10n n S S +≥>

1=

n c

，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个． （此数列为1，0，0，0，…）

②若1λ>，则（*）化为323

2

(1)(1)01n n

n

c c c λλ+-++=-， 因为1n c ≥，所以32

3

2101

n n c c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）

③若01λ<<，则323

2

101n

n

c c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）． 所以1n n S S +=或31n n S t S +=．

由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个．

综上所述，能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ??=??-??

M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值；

（2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．

B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π

(,)6

B ρ在圆:4sin

C ρθ=上（其中0ρ≥，

02θ≤<π）．

（1）求1ρ，2ρ的值；

（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．

（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =

1

4

BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 23．（本小题满分10分）

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．

（1）求p 1，q 1和p 2，q 2；

（2）求2p n +q n 与2p n -1+q n -1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．

数学Ⅱ(附加题)参考答案

21．【选做题】

A ．[选修4-2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为123=114a b ????????????

---?????? ，所以213,

24,

a b -=??--=-?

解得2a b ==，所以2112??

=??-??

M ． （2）因为2112??

=??-??

M ，det 221150=?-?-=≠（）（）M ，所以M 可逆， 从而1

21551255-????=????????

- M

． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6

π））也在圆C 上， 因此22ρ=或0．

（2）由cos 2,

4sin ,

ρθρθ=??=?得4sin cos 2θθ=，所以sin21θ=．

因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4

θπ

=

，ρ

所以公共点的极坐标为)4

π

．

C ．[选修4-5：不等式选讲]

本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203

x <<

； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2

|2}3

{x x -<<．

22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运

算求解能力．满分10分．

解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ． 又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．

以{}

OB OC OA ，

，为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． 因为BD =2

，CB CD =，AO =2，

所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）． 因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）． 则AB =（1，0，–2），DE =（1，1，1），

所以||||||||5

cos AB DE AB DE AB DE =??==<>，

．

因此，直线AB 与DE ． （2）因为点F 在BC 上，1

4

BF BC =，BC =（–1，2，0）． 所以111

(,,0)442

BF BC =

=-． 又20,0DB =（,）

， 故71

(,,0)42

DF DB BF =+=．

设1111()x y z =，，n 为平面DEF 的一个法向量， 则1100,DE DF ??????=?=，n n 即11111071

0,42

x y z x y +?+=?+=?

??， 取12x =，得1–7y =，15z =，所以1(275)n =-，

，． 设2222()x y z =，，n 为平面DEC 的一个法向量，又DC =（1，2，0）， 则2200,DE DC ??????=?=，n n 即22222020,x y z x y ++=+=???，

取22x =，得2–

1y =，2–

1z =，

所以2(211)n =--，

，． 故2112||

|

||||co |s θ?=

=?n n n n ．

所以s n i θ=

23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满

分10分．

解：（1）113111133C C 1C C 3p =?=，1

13

211133C C 2C C 3

q =?=，

1111

3121

211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927

p p q p q p q =??+??+?--=+=，

11111111

3322211

2211111111111133333333

C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =??+?+??+??--

11216=9327

q -+=．

（2）当2n ≥时，

11113121

11111111113333C C C C 120(1)C C C C 39

n n n n n n n p p q p q p q ------=??+??+?--=+，①

11111111

3322211

211111111111133333333

C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=??+?+??+??--

112

=93

n q --+，②

2?+①②，得()11111241212

22399333

n n n n n n n p q p q q p q -----+=

+-+=++． 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111

312p q -+=，

所以11112()1()3331n n

n n p q -+++==，*n ∈N ．③

由②，有1313()595n n q q --=--，又1351

15

q -=，

所以1113

()1595

n n q -=

-+，*n ∈N ． 由③，有13111()210111

()()33925

n n n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故31111

1()()109235

n n n n p q --=

--+，*n ∈N ． n X 的概率分布

则*

1()0(1)121(),3

n n n n n n E X p q q p n =?--+?+?=+∈N ．