齐齐哈尔数学代数式单元测试与练习(word解析版)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．双11购物节期间，某运动户外专营店推出满500送50元券，满800送100元券活动，先领券，再购物。某校准备到此专营店购买羽毛球拍和羽毛球若干．已知羽毛球拍60元1个，羽毛球3元一个，买一个羽毛球拍送3个羽毛球．

（1）如果要购买羽毛球拍8个，羽毛球50个，要付多少钱？

（2）如果购买羽毛球拍x个（不超过16个），羽毛球50个，要付多少钱？用含x的代数式表示．

（3）该校买了羽毛球50个若干个羽毛球拍，共花费712元，请问他们买了几个羽毛球拍．

【答案】（1）解：60×8+（50-8×3）×3-50=508（元）

（2）解：x≤6时，60x+(50-3x)×3=150+51x; 7≤x≤12时，60x+(50-3x)×3-50=100+51x; 13≤x≤16时，60x+(50-3x)×3-100=50+51x

（3）解：设共买了x个羽毛球拍，根据题意得，60x+(50-3x)×3-50=712，解得，x=12. 答：共买了12个羽毛球拍.

【解析】【分析】（1）根据题意直接列式计算。

（2）根据满500送50元券，满800送100元券活动，分三种情况讨论：x≤6时；7≤x≤12时；13≤x≤16时，分别用含x的代数式表示出要付的费用。

（3）根据一共花费712元，列方程求解即可。

2．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类

①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；

②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；

③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；

（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”；

（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；

（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.

【答案】（1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.

若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0

（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）

＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.

即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”

（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），

∴该整式为PQR类整式.

【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

（2）根据"PQ类整式"定义，由x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.

（3）由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.

3．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初

出售，可获利15﹪，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利10﹪；如果月末出售可获利30﹪，但要付出仓储费用700元．

（1）若商场投资元，分别用含的代数式表示月初出售和月末出售所获得的利润；（2）若商场投资40000元，问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？

【答案】（1）由题意可得：

该商月初出售时的利润为：15%x+（1+15%）×10%x=0.265（元）；

该商月末出售时的利润为：30%x-700=（0.3x-700）（元）；

（2）当x=40000时，

该商月初出售时的利润为：0.265×40000=10600（元），

该商月末出售时的利润为：0.3×40000-700=11300（元），

∵11300＞10600，

∴选择月末出售这种方式，

即若商场投资40000元，选择月末销售方式获利较多，此时获利11300元．

【解析】【分析】（1）根据题意列代数式表示出月初出售和月末出售两种销售方式获得的利润即可；

（2）将x=40000分别代入（1）中的代数式求值，通过比较，即可得解。

4．如图，老王开车从A到D，全程共72千米．其中AB段为平地，车速是30千米/小时，BC段为上山路，车速是22.5千米/小时，CD段为下山路，车速是36千米/小时，已知下山路是上山路的2倍．

（1）若AB=6千米，老王开车从A到D共需多少时间？

（2）当BC的长度在一定范围内变化时，老王开车从A到D所需时间是否会改变？为什么？（给出计算过程）

【答案】（1）解：若AB=6千米，则BC=22千米，CD=44千米，从A到D所需时间为：

=2.4（小时）

（2）解：从A到D所需时间不变，（答案正确不回答不扣分）

设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，

t=

=

=2.4（小时）

【解析】【分析】（1）根据题意可以求出AB,BC,CD的长，然后根据路程除以速度等于时间，即可分别算出老王开车行三段的时间，再求出其和即可；

（2）从A到D所需时间不变，设BC=d千米，则CD=2d千米，AB=（72﹣3d）千米，,然后根据路程除以速度等于时间，即可分别表示出老王开车行三段的时间，再根据异分母分式加法法则求出其和，再整体代入即可得出结论；

5．根据数轴和绝对值的知识回答下列问题

（1）一般地，数轴上表示数m和数n两点之间的距离我们可用│m-n│表示。

例如，数轴上4和1两点之间的距离是________.数轴上-3和2两点之间的距离是________.（2）数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则│a+4│+│a-2│的值为________.

（3）当a为何值时，│a+5│+│a-1│+│a-4│有最小值？最小值为多少？

【答案】（1）3；5

（2）6

（3）解：①a≤1时，原式＝1-a+2-a+3-a+4-a＝10-4a，则a＝1时有最小值6;

②1≤a≤2时，原式＝a-1+2-a+3-a+4-a＝8-2a，则a＝2时有最小值4

③2≤a≤3时，原式＝a-1+a-2+3-a+4-a＝4

④3≤a≤4时，原式＝a-1+a-2+a-3+4-a＝2a-2;则a＝3时有最小值4

⑤a≥4时，原式＝a-1+a-2+a-3+a-4＝4a-10;则a＝4时有最小值6

综上所述，当a＝2或3时，原式有最小值4.

故答案为:(1)3；5；（2）6；（3）当a＝2或3时，原式有最小值4.

【解析】【解答】（1）解：数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；表示-3和2的两点之间的距离是5

（ 2 ）解：根据题意得:-4＜a＜2，即a+4＞0，a-2＜0

则原式=a+4+2-a＝6.

【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可直接算出答案；

（2）根据数轴上所表示的数的特点得出-4＜a＜2，进而根据有理数的加减法法则得出a+4＞0，a-2＜0，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，再合并同类项即可；

（3）分①a≤1时，②1≤a≤2时，③2≤a≤3时，④3≤a≤4时，⑤a≥4时，五种情况，根据绝对值的意义分别取绝对值符号，再合并同类项得出答案，再比大小即可.

6．A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：A公司，年薪20000元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪10000元，每半年加工龄工资50元．

（1）第二年的年待遇：A公司为________元，B公司为________元；

（2）若要在两公司工作n年，从经济收入的角度考虑，选择哪家公司有利（不考虑利率等因素的影响）？请通过列式计算说明理由．

【答案】（1）20200；20250

（2）解：A公司：20000+200（n-1）=200n+19800

B公司：10000+50(2n-2)+10000+50（2n-1）=200n+19850，

∴从应聘者的角度考虑的话，选择B家公司有利．

【解析】【解析】（1）解:A公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：20000+200=20200元；

B公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：1000+50×2+1000+50×3=20250元；

【分析】（1）根据第二年的年待遇等于年薪+工龄工资，即可算出;

(2)分别表示出第n年在A,B两家公司工作的年收入，再比较大小即可。

7．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地台，杭州厂可支援外地台．现在决定给武汉台，南昌台．每台机器的运费（单位：百元）如表．设杭州运往南昌的机器为台．

南昌武汉

温州厂

杭州厂

（2）若总运费为元，则杭州运往南昌的机器应为多少台?

（3）试问有无可能使总运费是元?若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．

【答案】（1）解：设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，

温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，根据题意得：

W=4(6-x)+8(4+x)+3x+5(4-x)=2x+76，

∴总运费为(2x+76)百元

（2）解：当W=8200元=82百元时，76+2x=82，解得x=3．

答：总运费为8200元，杭州运往南昌的机器应为3台

（3）解：当W=7400元=74百元时，

74=2x+76，解得：x=－1，

∵0≤x≤4，

∴x=－1不符合题意，

总运费不可能是7400元．

【解析】【分析】（1）设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，杭州运往南昌x台需要的运费为：3x百元，杭州运往武汉(4-x)台需要的运费为：5(4-x)百元，温州运往南昌(6-x)台需要的运费为4(6-x)百元，温州运往武汉(4+x)台需要的运费为：8(4+x)百元，根据总运费等于各条线路的运费之和即可列出W与x之间的函数关系式；

（2）把W=8200元=82百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，从而得出答案；（3）把W=7400元=74百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，根据x的取值范围进行检验即可得出结论。

8．已知点A、B、C在数轴上对应的实数分别为a、b、c，满足（b+5）2+|a﹣8|=0，点P 位于该数轴上．

（1）求出a，b的值，并求A、B两点间的距离；

（2）设点C与点A的距离为25个单位长度，且|ac|=﹣ac．若PB=2PC，求点P在数轴上对应的实数；

（3）若点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…（以此类推）．则点p 能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次重合？若不能，请说明理由．

【答案】（1）解：依题意，b+5=0，a﹣8=0，

所以，a=8，b=﹣5，

则AB=8﹣（﹣5）=13

（2）解：点C与点A的距离是25个单位长度，所以A点有可能是﹣17，33，

因为|ac|=﹣ac，所以点A点C所表示的数异号，所以点C表示﹣17；

设点P在数轴上对应的实数为x，

∵PB=2PC，

∴|x+5|=2|x+17|，

∴x+5=2（x+17），或x+5=﹣2（x+17），

解得x=﹣29或﹣13，

即点P在数轴上对应的实数为﹣29或﹣13

（3）解：记向右移动为正，则向左为负．

第一次点P对应的实数为﹣1，第二次点P对应的实数为2，第三次点P对应的实数为﹣3，第四次点P对应的实数为4，

…

则第n次点P对应的实数为（﹣1）n?n，

∵点A在数轴上对应的实数为8，点B在数轴上对应的实数为﹣5，

∴点P移动8次到达点A，移动5次到达B点

【解析】【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）根据根据两点间的距离公式，可得答案；（3）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案．

9．观察下表:

我们把表格中字母的和所得的多项式称为"'特征多项式",例如:第1格的“特征多项式”为4x+y，第 2 格的“特征多项式”为 8x+4y, 回答下列问题:

（1）第 3 格的“特征多项式”为________第 4 格的“待征多项式”为________, 第 n 格的“特征多项式”为________.

（2）若第 m 格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5 的和不含有 x 项,求此“特征多项式”. 【答案】（1）12x+9y；16x+16y；4nx+n2y

（2）解：由（1）可得，第m格的“特征多项式”是4mx+m2y，

∴(4mx+m2y)+(?24x+2y?5)=4mx+m2y?24x+2y?5=(4m?24)x+(m2+2)y?5，

∵第m格的“特征多项式”与多项式?24x+2y?5的和不含有x项，

∴4m?24=0，解得m=6，

∴此“特征多项式”是24x+36y.

【解析】【解答】解：(1)由表格可得：第3格的“特征多项式”为12x+9y，第4格的“特征多项式”为16x+16y，第n格的“特征多项式”为4nx+n2y，

故答案为：12x+9y， 16x+16y， 4nx+n2y；

【分析】（1）根据表格中的数据找出规律即可解答本题；（2）根据（1）中的结果可以写出第m格的“特征多项式”，然后根据“和不含有x项”可以求得m的值，从而可以写出此“特征多项式”．

10．将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未

被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形，面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b.

（1）当a=9,b=2,AD=30时，S1－S2=________.

（2）当AD=30时，用含a,b的式子表示S1－S2.

（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而且S1－S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是________.

【答案】（1）48

（2）解：S1－S2

=a(30－3b)－4b(30－a)

=30a－120b+ab

（3）a=4b

【解析】【解答】(1)解：当a=9,b=2,AD=30时，S1=a(30－3b)=9×（30-3×2）=216

S2=4b(30－a)=4×2×（30-9）=168

S1－S2=216-168=48

3)解：设AD=m,

S1－S2

=(am－3ab)－(4bm－4ab)

=am－4bm+ab

若S1－S2的值总保持不变，则S1－S2的值与m的取值无关，所以有am－4bm=0

则a=4b.

【分析】（1）观察图形，分别求出S1和S2的面积，再求差即可；（2）用含a、b的代数式分别表示S1和S2的面积，再求差即可；（3）设AD=m, 用含a、b、m的代数式分别表示S1和S2的面积差，再去括号合并同类项，根据题意S1－S2的值总保持不变，即可解答.

11．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？

（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；

（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2， mn．

（4）根据第（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7， ab=5，求（a﹣b）2的值．

【答案】（1）解：图（2）中的阴影部分的正方形边长是：m-n

（2）解：方法（1）：图（2）阴影部分的面积=（m-n）2；

方法（2）：图（2）阴影部分的面积=（m+n）2-4mn;

（3）解：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn,或（m-n）2=（m+n）2-4mn，或（m+n）2-（m﹣n）2=4mn。

（4）解：∵（a﹣b）2=（a+b）2-4ab,a+b=7， ab=5，

∴（a﹣b）2=72-4×5=29.

【解析】【分析】（1）通过图形观察即可得出：图（2）中的阴影部分的正方形边长是：m-n；

（2）方法（1）利用正方形的面积等于边长的平方可以直接得出；方法（2）利用大正方形的面积减去4个小矩形的面积可以算出；

（3）根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，其结果应该相等即可得出；再根据等式的性质即可得出其它积中情况；

（4）利用（3）的关系式，整体代入即可得出答案。

12．某单位在十月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅

行社报价均为4000 元/人，两家旅行社同时又对10 人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有n（n＞10）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含 n 的代数式表示）

（2）假如这个单位现组织共30 名员工到旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请通过计算说明理由．

（3）如果计划在十月份外出旅游七天，这七天的日期之和（不包含月份）为105，则他们于十月________号出发.

【答案】（1）3000n；3200(n-1)

（2）解：当n=30时:

甲： (元)，

乙： (元)，

因为90000<92800，所以选择甲旅行社更优惠

（3）12

【解析】【解答】解：(1)甲旅行社的费用为

乙旅行社的费用为

故答案为3000n;3200(n-1)；

( 3 ) 设 x 号出发，则 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=105，

解得 x=12，所以他们于十月 12 号出发.

【分析】（1）按照两个旅行社的优惠方法，分别表示出各自的费用。

（2）将n=30分别代入（1）中的代数式求值，再比较大小即可得出结果。

（3）设 x 号出发，根据这七天的日期之和（不包含月份）为 105，建立关于x的方程，求解即可。