模糊可靠性优化设计理论

模糊

3.1概述

一般工程设计问题都存在多种可能设计方案。人们在进行设计工作时，对各种可能方案进行分析比较，最后选取其中最为满意的方案(或者说优化的方案)，这就是优化问题。它是人们在长期生产实践和理论研究中一直不断探索的一个课题。

但由于事物差异之间的中介过渡过程所带来的事物普遍存在的模糊性，由于研究对象的复杂化必然要涉及种种模糊因素。这些都必然使优化设计涉及种种模糊因素。而可靠性优化方法对这些模糊因素缺乏有效的处理手段，人为地将这些模糊量作非此即彼的二值假设，忽视了中间过渡过程的客观存在，在优化空间中产生盲区，导致寻优过程中遗漏更切合实际的最优解，有时甚至陷入困境。

如何反映优化设计中客观存在的模糊性，这正是模糊优化所要解决的问题。 3.2模糊可靠性优化设计理论 3.2.1数学模型

普通优化问题一般表述为:

m in ()..

()01,2,...()0

1,2,...i j F x s t g x i m h x j k

≥=== （3－1） 上式中的不等式约束()0i g x ≥，等式约束()0j h x =都满足{0，1}二值定律

即:

（ 3－2 ）

这是分明集中建立的优化模型，称之为普通优化问题。

一般模糊优化设计的数学模型及分类:

模糊优化设计包括建立数学模型和应用计算机优化程序求解这样两个方面的内容。如何从实际问题中抽象出正确的数学模型，是工程模糊优化设计的关键之一，也是工程设计人员进行模糊优化设计的首要任务。

与常规优化设计一样，目标函数、约束条件和设计变量是模糊优化设计数学模型的三要素:

（一）目标函数：

目标函数是衡量设计方案优劣的某一个指标或某几个指标。寻找优化设计方案的目的，就是追求重量最轻，造价、维修费用最小，或可靠性最高或其他性能指标最优。由于方案的“优”与“劣”本身就是一个模糊概念，没有明确的界限和标准，特别是多目标优化问题，往往只能得到满意解。因此，一般的说，目标函数是模糊的，记为()f x （二）约束条件：

设计中并非所有方案都是可行的，可行方案必须满足设计规范和标准中所规定的条件或其他条件。这些条件，大致上可分为三类:

(l)几何方面的约束，如尺寸约束、形状约束等;

(2)性能方面的约束，如应力约束、位移约束、频率约束、稳定约束，如果承受交变应力，还要考虑疲劳强度约束等;

(3)人文因素方面的约束，如政治形势约束、经济政策约束和环境因素约束等。这些约束条件，特别是性能约束和人文因素约束中，包含了大量的模糊因素。

我们通常所讲的模糊优化设计，大多数是具有模糊约束的优化设计。模糊约束条件可表述为:

()1,2,...j j

g X G j J ?= （3－3）

式中:

()j g X 代表应力、位移、尺寸、频率等物理量 j G 是()j g X 所允许的范围

式(3一3)表示模糊量()j g X 在模糊的意义下落入模糊允许区间j G ，这种约束称为“广义模糊约束”。当()j g X 为非模糊量时，上式可写为:

()1,2,...j j

g X G j J ?=

则这种约束称为“普通模糊约束”。 (三) 设计变量

建立优化设计数学模型的一个难点是，哪些参数应该定为设计变量，哪些参数取为常量。虽然从理论上讲，各种参数都可以按设计变量处理，但实际上这样做有时是不合理的，甚至是不可能的。过去都把设计变量视为模糊变量。

当目标函数、约束条件和设计变量都具有模糊性时，模糊优化设计的数学模型可表述为: 求

11(,,...)

T

n X x x x =

m i n ()

f x ..()1,2,.

j j

s t g X G j J ?=

(3-4) 式中:

.s t .为英文“subject to ”的字头，表示“受约束于”。

根据模糊目标函数与模糊约束函数的关系，模糊优化数学模型可分为对称和非对称两种。 在对称模型中，目标函数和约束条件的地位和作用是同等的、对称的，并且可以互换位置。在非对称模型中，目标和约束的地位和作用是不同等的、非对称的，即要在满足约束的前提下，寻找最优的目标。满足约束是首要的。

3.2.2对称模糊优化设计

1970年，R.E.Bellman 和L.A.Zadeh 提出了对称模糊优化数学模型，其形式为:在论域U 上，给出

模糊目标集 ()f X

模糊约束集 ()1,2,..j C X j J = (3-5)

求*X 使

1

(*)m ax ()m ax{()(())}j

J

D D f C J X X X X μμμμ===ΛΛ

不难看出，对称模糊优化模型将给出模糊优化问题的一个特定的清晰解。在模糊判决中提取这个清晰解的准则是:目标和所有的约束在优化问题中是同等重要的，因而在模糊目标集与模糊约束集的交集(交模糊评判)中存在一个点，它同时使目标和约束得到最大程

度的满足。

一、对称模糊优化模型的直接解法

对称条件下的模糊最优判决准则为在最优点处，模糊判决的隶属函数取得它的最大值。根据这个准则，可直接构造如下常规优化问题:

求

X λ max

λ

..

()j s t X μλ≥

()1,2,...j

C X j J μλ

≥= (3-6)

上述问题等价于

求

X λ min λ-

..

()0j s t X λμ-≤

()0

1,2,...j

C X j J λμ-≤= (3-7)

此不等式约束极值问题应满足如下Kuhn 一Tucker 条件(简称K-T 条件)

'

*

'

1

()0J

j j j X λμλ=?+?=∑

''0

1

10J

j j λλλ=+-=∑

'**0(())0j

C X λλμ-=

**()0j

C X λμ-≤

'**

0(())

j

X λλμ-= **()0j X λμ-≤ ''00,0

1,2,...j j J λλ≥≥=

应用常规不等式约束优化方法即可求得最优解。

二、对称模糊优化模型的迭代解法

1、迭代解法的理论基础

定理一 设模糊约束C 的λ水平截集为

{}(),C C X X X U

λμλ=≥∈

则交模糊判决的最大值为

[0,1]

max ()max (max ())D j X X λμλμ∈=Λ

定理二 若函数()?λ在闭区间[0，l]上连续，则存在唯一的*[0,1]λ∈，使

**

()?λλ=

定理三 若函数()?λ在闭区间[0，l]上连续，**()?λλ=，则

*

m a x

()D X μλ= 定理四 若函数()?λ在闭区间[0，1]上连续，则

max ()max ()

D j X A

X X μμ∈=

式中：

{}()()0

C j A X X X μμ=-≥

定理五 若模糊约束C 为严格凸模糊集合，则函数()m ax ()j X C X λ

?λμ∈=连续. 2、对称模糊优化模型的迭代解法

由上述定理得

*

*

max ()0j X C

X λλμ∈-= (3-8)

式(3-8)为迭代解法提供了基本方程。由于是*λ唯一的，故只有当λ为*λ时，式(3-8)才成立，否则将不等于零。因此，我们可将式(3-8)作为一个准则，把寻求*λ和最优解*X 的过程，归结为使

()

()

()

max ()k k k X C

X λε

λ

μ∈=- (3-9)

逐渐趋于零的过程。这样，对称模糊优化问题的迭代求解步骤如下: （1）任给一()[0,1]k λ∈及收敛精度ε，令1k = （2）作C 的()k λ水平截集

{

}()()

()1,2,...k j k C C X X j J λμλ

=≥=

（3）求解常规优化问题 求12(,,...,)T n X x x x =

m ax ()j X μ

()

..

()1,2,...,j

k C s t X j J μλ

≥=

解得 ()k X 和()()k j X μ

（4）计算()()()()k k k j X ελμ=-，如果(),k εε≤转（7），否则转（5） （5）计算(1)()()()(),01,k k k k k λλαεα+=-?<<且应使(1)[0,1]k λ+∈。 （6）令1k k =+，转（2）。

（7）输出最优解

*()

k X X =

上述迭代求解过程的第(3)步是一个常规优化问题，可用常规约束优化方法求解。其约束条件()()(1,2,...,)j

k C X j J μλ≥=保证了优化是在水平截集()

k C λ上进行的。ε为预先给定的收敛精度，通常取3(6)1010ε--= 。本解法由于需多次求解常规优化问题，因此其计算

效率有待改进。

3.2.3非对称模糊优化设计

非对称模糊优化的数学模型 常规优化设计数学模型可表示为: 求

11(,,...)

T

n X x x x =

m i n ()n

f x X R ∈

..()01,2,.j

s t C X j

J ≤= （3－10）

式中

()j C X 为约束方程。

对于强度条件，有()[]0X σσ-≤。也可以写成：()[]X σσ≤

故对于一般的工程设计而言，满足约束条件()0j C X ≤也可用集合语言来描述，即 ()1,2,...j j g X G j J ∈=

（3－11）

式中:

()j g X 代表应力、位移或挠度、频率等物理量xy yz zx xz zy τττττ、、、、、

j G 是所允许的范围(如许用应力、许用挠度等)

式((3-10)表示，这些物理量必须落入所允许的范围，因此和约束条件的物理意义是相同的。从而常规优化设计数学模型可写成: 求 11(,,...)T n X x x x =

m i n ()

f x ..()1,2,.j j s t

g X

G j J ∈=

（3－12）

当考虑约束函数()j g X 和其所允许的范围j G 的模糊性时，则约束条件为: ()1,2,..j j g X G j J ∈= (3－13)

上述两种数学模型中的模糊性，均不是来自确定性的设计变量，而是来自影响设计方案的其它因素，如设计水平、制造水平、材料性能、重要程度等。

模糊允许区间j G 的隶属函数()j

G g μ的图象如图3-1所示。

其斜线或曲线部分主要表示允许范围边界的逐渐过渡性。过渡曲线的形式，可根据物理量g 的性质和决策意愿给出。曲线形式不同，影响不大。因为尽管有因人而异的差别，但只是量的不同，它总比“一刀切”的边界形式好得多，二者有质的区别。

图3-1模糊允许区间的隶属函数

二、非对称模糊优化模型的水平截集法

对普通模糊约束来说，由于物理量g 是确定量，可采用对g 模糊允许区间G 的隶属度

()G g μ作为物理量g 对该模糊约束的“满足度”。

()0G g μ=时，该约束未得到满足; ()1G g μ=时，该约束得到严格满足;

0()1G g μ<<时，该约束得到一定程度的满足。 若用表示对模糊约束的满足度，则可记为:

()j G j g βμ=

模糊允许区间j G 在设计空间划分出一个具有模糊边界的模糊允许域和不模糊允许域。这样，所有模糊约束就在设计空间围成了一个具有模糊边界的可用域(称为“模糊可用域”)，并记为:

1J

J j G =Ω= (3－14)

式(3-14)表示设计空间的模糊可用域Ω是所有模糊约束空间(1,2,...,)j G j J =的交集，也就是说Ω中的每一个可用点也都是所有j G 的可用点，它们在满足度大于零的意义下满足所有模糊约束。

根据集合运算的基本规则，任一设计点X 对模糊可用域Ω的隶属度为: 1()m i n (())j

G j j J

X g X μμΩ≤≤= (3－15)

它就是X 对所有约束的最小满足度。在规定上下限时，只要,0μΩ>，X 即为可用 设计方案。

在模糊允许区间Ω中，隶属度()G g μλλ≥∈（[0，1]）的区间构成实数论域上的一个普通子集，即λ水平截集

}{()G G g g λμλ=≥ (3－16) 显然两个不同的截集具有如下关系：

1

2

12G G λλλλ≤?? （3－17）