河南省郑州是2019 二测文科数学答案

2019年高中毕业年级第二次质量预测数学（文科）参考答案

一、选择题

BCBDC ADACB CB 二、填空题

14.4[3,];3-- 15.12;5 16.ln 2(0,

].2 三、解答题

17. 解：（1）由题意知，212231

n a a a n n n ++?+=++， 当2n ≥时有，

2112

(1)123n a a a n n n

-++?+=-+-， ----------------2分 两式相减得，

22(1).1

n

n a n a n n n ==++， ----------------4分 当1n =时，14a =也符合，所以*2(1),.n a n n n =+∈N ----------------6分

（2）111112(1)21

n n b a n n n n =

++==(-)， ----------------8分 所以1

11111112

223

1212(1)

n n S n n n n =+-+++++(1-

-)=(1-)=，----------------10分

由9

2(1)20

n n S n =

>+得，9n >，所以满足条件的最小正整数n 为10. ----------------12分

18. （1）证：连接PF ，PAD ?是等边三角形，AD PF ⊥∴， 又底面ABCD 是菱形，3

π

=

∠BAD ，AD BF ⊥∴，

PF

BF F =，⊥∴AD 平面BFP ，PB ?平面BFP ，PB AD ⊥∴.----------------4分

（2）由（1）知,,AD BF PD BF AD

PD D ⊥⊥=，PAD BF 平面⊥∴.

,ABCD PAD ABCD PAD AD ∴⊥=平面平面平面平面，

又AD PF ⊥，ABCD PF 平面⊥∴， ----------------6分 连接CF 交DE 于点H ，过H 作G PC PF HG 于交∥,ABCD GH 平面⊥∴. 又∵GH DEG ?平面，ABCD DEG 平面平面⊥∴. ∵

21==DF CE HF CH ，2

1

=∴GP CG . ----------------10分

3

3

31=

=∴PF GH ，11.312D CEG G CDE CDE V V S GH --?==?=----------------12分 19. 解：（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a +0.03+0.01）＝1， 解得 a ＝0.035， ----------------2分 所以通过电子阅读的居民平均年龄为：

20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；-------5分 （2）

由表中数据，计算2

2

200(30906020) 6.061 5.0245015090110

K ?-?=

≈>???，----------------10分 ∴能有97.5%以上的把握认为“阅读方式与年龄之间有关系”. ----------------12分 20. 解：（1）由椭圆的定义可得2（a +c ）＝324+，所以a +c ＝32+①， 当A 在上（或下）顶点时，△AF 1F 2

的面积取得最大值，即最大值为bc =， 由①②及a 2

＝c 2

+b 2

联立求得a ＝2，b ＝1，c ＝3，

可得椭圆方程为14

22

=+y x . ----------------4分 （2）当AB 的斜率不存在时，设直线OA 的方程为：x y 2

1

=

， 不妨取点)22,

2(A ，则)2

2,2(-B ，)0,2(P ，2=∴OP . ----------------5分 当AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为：m kx y +=，()(),,,,2211y x B y x A

由???=++=4

42

2y x m kx y 可得()0448412

22=-+++m kmx x k ， 2

22

1221414

4,418k m x x k km x x +-=+-=+∴.∵1214k k =-，∴042121=+x x y y .

()()()

()044132444414422

2

22

2212122121=++--=++++=+++∴m k

m k m m x x km x x k x x m kx m kx

化简得：2

1

,412222≥

∴+=m k m . ----------------8分 ()()()

016141644144642222222>=-+=-+-=?m m k m k m k ，

设()00,y x P ，则m k k km x x x 241422

210-=+-=+=

，m

m kx y 21

00=+=. ----------------10分 )2,21

432414222220

20

2

???∈-=+=+=∴m m m k y x OP ，???

????∈∴222，OP . 综上，OP 的取值范围为??

?

?

??2,22． ----------------12分 21. 解：（1）由题知，()(1ln )2ln 2f x a x bx a a x bx '=+--=-，

(1)21,f b '=-=- 所以12b =

，又有3

(1)2

f b a =--=-，所以1a =. 即1

1,.2

a b ==

----------------4分 （2）当1

0,2a b ≤=时，()ln 0,f x a x x '=-<

()f x 在(1,)e 上单调递减.-------5分

不妨设12x x <，则12()()f x f x >，原不等式即为

1221

()()

3,f x f x x x -<-，

即1221()()33,f x f x x x -<-即1122()3()3,f x x f x x +<+ 令()()3,g x f x x =+则()g x 在(1,)e 上为单调递增函数，

所以有()()3ln 30g x f x a x x ''=+=-+≥在(1,)e 上恒成立. ---------------8分

3,(1,),ln x a x e x -≥

∈令3

(),(1,)ln x h x x e x

-=∈，2

3

ln 1(),(ln )x x h x x +

-'= 令223133

()ln 1,()0x x x x x x x x

??-'=+

-=-=<， 所以()x ?在(1,)e 上单调递减，3

()()x e e

??>=，()0,h x '>()h x 在(1,)e 上单调递增，

()()3h x h e e <=-，所以 3.a e ≥-

综上，30.e a -≤≤ ----------------12分

22. 解（1）已知曲线C 的标准方程为

22

1124

x y +=，P 的坐标为()2,0-， 将直线l

的参数方程22x y ?=-+????=??与曲线C 的标准方程221124x y +=联立，

得240t -=，则12||||||4PA PB t t ?==. ----------------5分

(2)由曲线C 的标准方程为

22

1124

x y +=，可设曲线C

上的动点,2sin )A θθ， 则以A

为顶点的内接矩形周长为2sin )16sin()3

π

θθθ+=+

，02

π

θ<<

.

因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当6

π

θ=

时等号成立. ------------10分

23.解（1）当1a =时，1x ≤- ()2,1,112,11,2,1,x x f x x x x x x -≤-??

=++-=-<

当1x ≤-，2

2, 1.x x x x -≥-≤-

当11x -<<，2

2,12x x x x -≥≤-≥或，舍去.

当1x ≥，22, 3.x x x x -≥≥综上，原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或 . ----------------5分

（2）()1(1)1,,11(1)1,,(1)1,,a x a x a f x ax x a a x a x a a a x a x a ?

-+-+≤-??

?

=++-=-++-<

?

++-≥???

当01a <≤时，2min ()()12,1f x f a a a ==+≥=； 当1a >时，min 11

()()2,1f x f a a a a

=-=+

≥>；综上，[1,)a ∈+∞ . ----------------10分