抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力

1、周期函数的定义：

对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =

[]a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量

)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]?

??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：

设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或

①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-

②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点对称；

关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --

②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--

③成中心对称；

关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；

关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。

关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-

=与点关于直线

成轴对称；

0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。 ③0))(2,)(2(0),(2

222=+++-+++-=B A C By Ax B y B A C By Ax A x F y x F 与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2

2)()(b a x b x a x +=-++=对称推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称

2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2

(c b a +对称

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称

2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数

3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称

4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称

5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a

b x -=对称

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称

推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称

推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)

易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)

（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称

性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称

推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称

推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x)

③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|

6、函数对称性的应用

（1）若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（,即

k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+

nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-

（2）例题

1、1)1()(2121)(=-++=x f x f a a a x f x x

）对称：，关于点（; 2)()(10122

14)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（ 1)1()2121)0,(1

1)(=+≠∈+=x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。

3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设个不同的实数根，则有n x f 0)(=

na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2

2221121 .

),212(111a x x a x k n =?-=+=时，必有当

三、函数周期性的几个重要结论

1、()()f x T f x ±=( 0T ≠) ?)(x f y =的周期为T ，kT (k Z ∈)也是函数的周期

2、()()f x a f x b +=+ ?)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2=

4、)()(x f c

a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2=

5、)()(x f c

a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2=

6、)(1)

(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2=

7、 )(11

)(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 3=

8、1)(1

)(+-=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 3=

9、)(1)

(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4=

10、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 11、)()

()2(x f a x f a x f +=+ ?)(x f y =的周期为a T 6=

12、若.21

, )2()(,0=-=>T p

px f px f p 则

13、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x = ()b a >?)(x f y = 周期)(2a b T -= 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 2=

14、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ()b a > ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 4=

15、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ()b a >?()f x 的)

(4a b T -= 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型