二次根式的性质(例题经典习题)

二次根式的性质

复习以前所学相关知识点：

平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2

2

完全平方公式：

()()

2

2

2

2

2222b a b ab a b a b ab a -=+-+=++

同底数幂的乘法法则：()都是正整数n m a a a n

m n m ,+=?

幂的乘方法则：()

()都是正整数n m a a mn n

m

,= 积的乘方法则：()()是正整数n b a ab n n n

=

规定：()010

≠=a a ； 000= ； ()是正整数n a a a n

n

,01

≠=

-

二次根式2

)(a 的性质

()2

a =a (a ≥0)

计算:(1)2)2

5

(=__ __; (2)2

)

23

(=___ __; (3)2

531??

?

??=_______;(4)2)23(-=_______;

(5) 2

321??

?

??-

=____ __; （6）()2

b a =____ _.

二次根式2

a 的性质

2

a =|a |= ()

()

00 a a a a -≥

1、计算:(1)25=_ __; (2)2)7(-=__ __; (3)2)21(-=______ ; (4) 2(5)-+（-5）2=______．

二次根式积的性质 ab =b a ?(a ≥0,b ≥0)

1、(1)169196?=_ _; (2)243?=_ __; (3)49.001.0?=___ ___; (4) 2253?=_ ___ __;

2、下列运算正确的是（ ）

A. 2254-=25-24=5-4=1

B. (16)(25)--=16-×25-=-4×（-5）=20

C ．22512()()1313

+=513+1213=1713 D ．247?=2

4×7=47

二次根式商的性质 b a =b a

(a ≥0,b ＞0)

1、(1) 259=________;(2) 9

2

=______;

2、能使等式

3+a a =3+a a

成立的a 的取值范围是__________.

3、化简： (1)16125

(2) 3432

27

最简二次根式：①被开方数中不含分母。 ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

例1：把下列各根式化为最简二次根式：

()()00121253504722009614

3

23

≥≥≥≥b a c

b a b a b a ，）（）（，）（ 解：()

（）·，196166460032

a b a ab a ab a b ==≥≥

()（）（）

·，22

4750147

50

49325275327532227

10

632512125121511002

3

42

2

42

==??==??==

=≥≥a b

c a b b c ab

c b a b

练习：1、把

2

27

化成最简二次根式，结果为：( ) A ．

233

B ．

29

C ．

69

D ．

39

2、下列根式中，最简二次根式为：( ) A ．4x

B ．x 2

4-

C ．

x 4

D ．()x +42

同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式。

例2：判断下列根式是否是同类根式：

4

3

85

3216153

1751；；）（-- 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。

解：（）；117525757 -=-?=-

是同类二次根式，，；4

3

853216153

17573747493243433243853274

3

1679166316153

--∴=?==-=?-=-=-

练习：1.

是同类二次根式，则m = 。 2.最简二次根式5231-+-+-y x y x y x 与是同类根式，则x=_ ___，y=__ ___

3.若

a+b

4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a=__ __，b=___ __。

化简一、被开方数为单项式

①当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.

例1. (分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.)

解：原式=. 【当堂练】：化简下列二次根式 (1)

40= (2)50= (3)200= （4）09=

②当被开方数为分数时，应先进行★分母有理化.

例2. (分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，

解：原式

2===

. 先将0.5化成12，然后再利用二次根式的性质进行化简.)

【当堂练】：化简下列二次根式

(1)2027=

③当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.

例3.

解：原式=

2===

. 因此应先将带分数化为假分数后， 再根据二次根式的性质进行化简.)

【当堂练】：化简下列二次根式 (1)

2

1

1= (2) 944=

④当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式 写成2

()m a 或2

()m a ·b 的形式），然后再开方.

例4. (分析：由于3

5

27x y 是一个单项式，因此应先将

解：原式 3527x y 分解为2222

3()3x y y ???的形式

3xy

= ，然后再进行开方运算. )

【当堂练】：化简下列二次根式

(1)5106.3?= (2)=b a 396

(3)5106? = （4）5

35.0b a =

分式

例5. 分析：由于2512z x y 是一个分式，可根据分式的基本性质，

解：原式== 将2512z x y 的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算。

【当堂练】：化简：

()00121254

3

2≥≥b a c

b a ， 化简二、被开方数是多项式

①当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.

例1. (分析：由于5

2

4

3

412x y x y +是一个多项式，因此

解：原式22x = 应先将5

2

4

3

412x y x y +分解因式后再开方，

②当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.

例2.. (分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，

解：原式== 一定不能直接各自开方得11

322

+，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.)

【当堂练】

(1) 223045+ = (2) 221026-=

③当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.

例3.. 分析：由于被开方数是22

11

a b +，是两个分

解：原式

ab ==

. 式的和的形式，因此需先通分后再化简. 【当堂练】化简：

21

21x

x +（x ＜0）

把根号外的因式移至根号内：

（1）52 （2）a 5- （3）()0≥m n m （4）()0≤x y x

（5）a

a 1

-

分析：本题需逆用性质ab =

b

a ?（a≥0,b≥0)只能将根号外的正因式移至根号内。

解： （1）52=

2054=?。

（2）a 5-=a a 2525-=?-。 （3）∵ m≥0, ∴n m =n m n m 22=?。

（4）∵()0≤x y x ∴y x =()y x ?

--2=y x 2-。

（5）∵a 1

-

成立，∴ 隐含a <0, ∴a

a 1-

=()a a 12-

?

--=a

a 1

2?--=a --。

★★分母有理化 有两种方法： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化

I. 分母是单项式：

b

ab b b b

a b a =??= II.分母是多项式：

b

a b

a b a b a b a b a --=

-+-=+)

)((1

(利用平方差公式）

例、把下列各式的分母有理化：

()（）

；（）；（）11232252323111101-++-+--≤≤a a

a a

a 解：

()

(

)()（）（）

112321232221

4

6252325232

232232

21510

10=??=-=+-+=

+

()()()

（）

311111111112

++

-+-

-=

++-+--++

-a a

a a a a a a a a

a a a a a 221111122-+=+-+-+=

练习： (1) 503 (2)3

203x y

-（x ＜0） (3) 2)(25y x y x +-(x ≥y >0);