2020年黑龙江省哈尔滨一中高考数学一模试卷(理科)(有解析)

2020年黑龙江省哈尔滨一中高考数学一模试卷(理科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合A=｛x｜y=log2(x?1)｝，B=｛y｜y=√2?x｝，则A∩B=()

A. (0,2］

B. (1,2)

C. (1,+∞)

D. (1,2］

2.已知复数z=1+2i，则z?z.=()

A. 3?4i

B. 5+4i

C. ?3

D. 5

3.已知复合命题(?p)∧q为真命题，则下列命题为真命题的是()

A. p

B. ?q

C. p∧(?q)

D. ?(p∧q)

4.在△ABC中，a=bsinA，则△ABC一定是()

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 等腰三角形

5.已知(2?x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?…+a8(1+x)8，则a0+a1+a2+?…+a7的

值为()

A. 1

B. 255

C. 256

D. 729

6.已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，它们的部分图像如图，则f(x)g(x)的图像大

致是()

A. B.

C. D.

7.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2013)=?f(x+2012)，且f(2013)=?2013，则f(0)=

()

A. 1

B. ?1

C. 2013

D. ?2013

8. 已知sinα+2cosα=0，则tan2α=( )

A. 3

4

B. 4

3

C. ?4

3

D. ?3

4

9. 已知点P 是双曲线

x 216

?

y 29

=1右支上的一点，

F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若

成立，则m 的值是( )

A. 4

5

B. 5

3

C. 1

3

D. √3

3

10. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为3

4，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是

否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为( )

A. 27

64

B. 9

64

C. 3

64

D. 3

4

11. 若函数

有两个极值点，则a 的取值范围是( )

A. (0,1

2)

B. (0,1

2]

C. (0,1)

D. (0,1]

12. 已知a ? ，b ? 是单位向量，a ? ?b ? =√3

2

，则|a ? +t b ? |(t ∈R)的最小值为( )

A. 1

4

B. 1

2

C. √3

2

D. 1

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 若函数f(x)=sin(ωπx ?π6)(ω>0)的最小正周期为15，则f(1

3)的值为______ ．

14. 过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，且|AB|=4，若原点O 是△ABC 的垂

心，则点C 的坐标为________．

15. 已知三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三

棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

16. 设函数f(x)=13x 3?a

2x 2+bx +c ，其中a >0，曲线y =f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y =

1，则b = (1) ，c = (2) ． 四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1?2a n =2n (n ∈N ?)，数列{b n }满足b n =a

n

2n .求数列{a n }的前n

项和S n ．

18.如图所示的几何体中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC.AC

与BD相交于O．

(1)求证：FO⊥平面ABCD；(2)求二面角E?FA?B的余弦

值．

19.某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．

(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队

的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．

20.设A，B分别为椭圆x2

a2+y2

b2

=1?(a>b>0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点(1,√3

2

)在该

椭圆上．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．

21.已知函数f(x)=lnx?mx2．

(1)若m=2，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当m∈(1,2)时，证明：f(x)?1

x

+1<0．

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的

极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线θ=π

4(ρ∈R)与直线{x=2t

y=?2t+m(t为参数，m>0)交于点A，与曲线C交于点B(异

于极点)，且|OA|·|OB|=8，求m．

23.已知函数f(x)=|x?3|+|x?2|．

(1)求不等式f(x)<3的解集M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了集合的交集运算，属于基础题．

解：由题意可知，集合A =｛x ｜y =log 2(x ?1)｝={x|x >1}， B =｛y ｜y =√2?x ｝={y|y ≥0}， ∴A ∩B ={x|x >1}， 故选C ．

2.答案：D

解析：解：z ?z .

=(1+2i)(1?2i)=12+22=5． 故选：D ．

利用复数的运算法则即可得出．

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.答案：D

解析：

本题考查命题的真假判断及复合命题的真假判断，属于基础题． 根据题意判断命题p ，命题q 的真假，进而得出答案． 解：由题意易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题， ∴p ∧q 为假命题， ∴?(p ∧q) 为真命题． 故选：D ．

4.答案：B

解析：

本题考查正弦定理，属于基础题，利用正弦定理化简，再根据特殊角的三角函数值即可判断三角形的形状．

解：由正弦定理得a

sinA =b

sinB

=2R，

又由a=bsinA得2RsinA=2RsinB·sinA，

所以sinB=1，所以B=π

2

．

即△ABC一定是直角三角形．

5.答案：B

解析：解：∵(2?x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?…+a8(1+x)8，

∴(2?x)8=[3?(1+x)]8=C80?38?C81?37?(1+x)+C82?36?(1+x)2+?+C88(1+x)8，

∴a8=1，

1+x=1，得a0+a1+a2+?…+a7+a8=28=256，

∴a0+a1+a2+?…+a7=256?1=255．

故选：B．

推导出(2?x)8=[3?(1+x)]8=C80?38?C81?37?(1+x)+C82?36?(1+x)2+?+C88(1+x)8，从而a8=1，由1+x=1，得a0+a1+a2+?…+a7+a8=28=256，由此能求出a0+a1+a2+?…+a7．

题考查二项展开式中系数和的求法，考查二项式定理、二项展开式的系数数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

6.答案：C

解析：

本题考查函数的奇偶性及函数图象的作法，属于基础题．

由已知得函数F(x)=f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B，然后结合已知图象得当x>0时f(x)>0，g(x)>0，所以F(x)>0，可排除D即可求解．

解：由题意，得f(?x)=f(x)，g(?x)=?g(x).令F(x)=f(x)g(x)，则F(?x)=f(?x)g(?x)=

?f(x)g(x)=?F(x)，所以函数F(x)=f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B．

又由函数f(x)，g(x)的图象可知，当x>0时f(x)>0，g(x)>0，所以F(x)>0，可排除D，

故选C．

7.答案：C

解析：

本题考查抽象函数，函数的周期性，属于基础题．

由题可得f(2012)=?f(2013)=2013，f(t+2)=f(t)，进而得出f(0)的值．解：f(x+2013)=?f(x+2012)，取x=0可得f(2012)=?f(2013)=2013，令t=x+2012，可得f(t+1)=?f(t)，f(t+2)=f(t)，

∴f(0)=f(2012)=2013．

故选C．

8.答案：B

解析：

本题考查同角关系，及二倍角公式的应用，难度一般．

解：因为sinα+2cosα=0，则则tan2α=2×(?2)

1?(?2)2=4

3

．

故选B．

9.答案：A

解析：

本题考查双曲线的性质，属于中档题．

由点M为△PF1F2的内心得到点到PF1，PF2，F1F2的距离相等，以及，得|PF1|=|PF2|+m|F1F2|，用定义即可求解．

解：因为M为△PF1F2的内心，所以M到PF1、PF2、F1F2的距离相等．

又，所以|PF1|=|PF2|+m|F1F2|，

即2a=2mc，所以m=a

c =4

5

．

故选A．10.答案：B

解析：

本题主要考查相互独立事件概率计算，考查学生数学应用能力，属于基础题． 利用二项分布概率计算公式，直接计算即可得等答案．

解：已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为3

4，则不被治愈的概率为1

4，

所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为P =C 31×(34

)1

×(14)2

=

964

．

故选：B

11.答案：A

解析：

本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的应用，属于中档题． 利用导数研究函数的单调性，判断参数范围即可． 解：f(x)=x(lnx ?ax)，求导f ′(x)=lnx ?2ax +1， 令f ′(x)=lnx ?2ax +1=0， 由题意，关于x 的方程a =lnx+12x 在区间(0,+∞)上有两个不相等的实根，

令?(x)=

lnx+12x

，?′(x)=?

2lnx 4x 2

，

当x ∈(0,1)时，?(x)单调递增，当x ∈(1,+∞)单调递减， 当x →+∞时，?(x)→0，?(1)=1

2， a =

lnx+12x

在区间(0,+∞)上有两个不相等的实根，

即函数有两个极值点，

则0

2． 故选A ．

12.答案：B

解析：

本题考查单位向量的概念，以及数量积的运算，二次函数最值的求法，属于基础题．

根据a ? ,b ? 为单位向量及a ? ?b ? =√32

即可求出|a ? +t b ? |2=t 2+√3t +1，然后可求出二次函数t 2+√3t +

1的最小值，从而得出|a ? +t b ? |的最小值． 解：a ? ,b ? 是单位向量，a ? ?b ? =√3

2

； ∴|a ? +t b ? |2=a ? 2

+2t a ? ?b ? +t 2b ? 2

=1+√3t +t 2； ∵t 2+√3t +1的最小值为

4?34

=1

4；

∴|a ? +t b ? |的最小值为1

2． 故选：B ．

13.答案：?1

2

解析：

利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得f(1

3)的值．

本题主要考查正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题． 解：∵函数f(x)=sin(ωπx ?π

6)(ω>0)的最小正周期为2π

ωπ=1

5，∴ω=10， 则f(1

3)=sin(10π?1

3?π

6)

=sin

19π6=sin 7π

6

=?sin π

6=?1

2，

故答案为：?1

2．

14.答案：(?3,0)

解析：

本题考查抛物线的性质及三角形垂心的性质，属于中档题．

由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由O 为三角形ABC 的垂心可得C 在x 轴上，设C 的坐标，由OA ⊥BC ，可得数量积为0，求出C 点的坐标． 解：显然直线AB 的斜率不为0，

由题意设直线AB 的方程为：x =my +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，

联立直线AB 与抛物线的方程{x =my +1

y 2=4x ，整理可得y 2?4my ?4=0，y 1+y 2=4m ，所以x 1+x 2=

4m 2+2，

由抛物线的性质可得|AB|=x 1+x 2+2=4m 2+4，

由题意可得4m 2+4=4，所以m =0，即直线AB 垂直于x 轴， 所以可得A(1,2)，B(1,?2)，

因为原点O 是△ABC 的垂心，所以C 在x 轴上，设C(a,0)，可得AO ⊥BC ，即AO ????? ?BC ????? =0 即(?1,?2)?(a ?1,2)=0，整理可得：1?a ?4=0，解得a =?3， 所以C 的坐标为：(?3,0)，

故答案为：(?3,0)．

15.答案：2√3

解析：解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，

即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =1

2GC =1，

在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．

由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．

本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．

16.答案：0

1

解析：

本题考查导数的几何意义，利用导数的几何意义求解即可得结果．解：由题意得f′(x)=x2?ax+b，

由切点P(0,f(0))既在函数f(x)=1

3x3?a

2

x2+bx+c上又在切线y=1上，得{

f′(0)=0,

f(0)=1,

即{02?a?0+b=0,

1

3

×03?a

2

×02+b?0+c=1,

解得b=0，c=1．故答案为0；1．

17.答案：解：由b n=a n

2n ，得：b n+1=a n+1

2n+1

，即b n+1?b n=a n+1

2n+1

?a n

2n

=1

2

，

所以数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为1

2

．

所以b n=1+1

2(n?1)=n+1

2

，所以a n=2n b n=(n+1)×2n?1．

所以S n=a1+a2+?+a n=2×1+3×2+?+(n+1)×2n?1①

所以2S n=2×2+3+22+?+(n+1)×2n②

①?②得：?S n=2×1+2+22+?+22?1?(n+1)×2n=2n?(n+1)×2n=?2n n.即S n=2n n．

解析：由b n=a n

2n ，推出数列{b n}是等差数列，首项b1=1，公差为1

2

.求出通项公式，利用错位相减法

求解数列的和即可．

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

AC∩BD=O，

∴O为BD中点，O为AC中点，

∵四边形DBFE 是菱形，∠DAB =∠DBF =60°， ∴ΔDBF 是等边三角形， ∵O 为BD 中点， ∴FO ⊥BD ，

∵FA =FC ，O 为AC 中点， ∴FO ⊥AC ，

又∵AC ∩BD =O ，AC 、BD ?平面ABCD ， ∴FO ⊥平面ABCD ．

(2)∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°， ∴ΔABD 是等边三角形，O 为BD 的中点， ∴AO ⊥BD ， 即OA ⊥OB ，

又OF ⊥平面ABCD ，OA ，OB ?平面ABCD ， ∴OA ⊥OF ，OF ⊥OB ，

∴OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O ?xyz ，

设AB =2，∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°，∴BD =2， ∴OB =OD =1，OA =OF =√3， ∴O(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)， F(0,0，√3)，E(0,?2,√3)，

∴AF

????? =(?√3,0,√3)，AB ????? =(?√3,1,0)，EF ????? =(0,2,0)， 设m

??? =(x 1,y 1,z 1)为平面AFB 的法向量， 则{m

??? ?AB ????? =0m

??? ?AF ????? =0，即{?√3x 1+y 1=0?√3x 1+√3z 1=0,

令z 1=1，得m ??? =(1,√3,1)，

设平面AFE 的一个法向量为n ? =(x 2,y 2,z 2)， 则{n ? ·AF ????? =0n ? ·EF ????? =0，即{?√3x 2+√3z 2

=02y 2=0, 令x 2=1，则n

? =(1,0,1)． 则cos =m ??? ?n ??

|m ??? ||n ?? |

=√5?√

2

=√10

5

， ∵二面角E ?FA ?B 是钝二面角， ∴二面角E ?FA ?B 的余弦值为?√10

5．

解析：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．

(1)根据线面垂直的判定定理即可证明FO ⊥平面ABCD ．

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E ?FA ?B 的余弦值；

19.答案：解：(1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 A ，

则事件 A 的对立事件 A 为：“没有 1 首原创新曲被演唱”． 所以 P(A)=1?P(A)=1??5

4?8

4=13

14．

答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为13

14．

(2)设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0，1，2，3． 依题意，X =ax +2a(4?x)=8a ?ax ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ． 则 P(X =8a)=P(x =0)=?5

4?8

4=1

14.P(X =7a)=P(x =1)=

?31?5

3

?8

4=3

7

．

P(X =6a)=P(x =2)=?32?52?84=37.P(X =5a)=P(x =3)=?33?5

1?8

4=114..

从而X 的概率分布为：

所以 X 的数学期望E(X)=8a ×1

14+7a ×3

7+6a ×3

7+5a ×=132a.

解析：(1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 A ，则事件 A 的对立事件 A 为：“没有 1 首原创新曲被演唱”.可得 P(A)=1?P(A).

(2)设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0，1，2，3.依题意，X =ax +2a(4?x)=8a ?ax ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a.利用超几何分布列计算公式即可得出．

本题考查了互为对立事件的概率计算公式、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20.答案：解：(Ⅰ)由题意：2a =4，所以a =2，所求椭圆方程为x 24+y 2

b 2=1；

又点(1,√3

2)在椭圆上，∴14+

3

4b 2

=1，∴b 2

=1；

故所求椭圆方程为：

x 24

+y 2=1．

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，A(?2,0)，B(2,0)，设P(4,t)，M(x M ,y M )， 则直线PA 的方程为：y =t

6(x +2)，(t ≠0)； 由{y =t

6(x +2)

x 2+4y 2=4

得(9+t 2)x 2+4t 2x +4t 2?36=0； 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以?2+x M =?4t 29+t 2，所以x M =

?2t 2+189+t 2

；

由y M =t 6(x M +2)，得y M =6t 9+t 2，所以M(

?2t 2+189+t 2

,6t

9+t 2)；

从而BM ?????? =(?4t 2

9+t 2,6t

9+t 2)，BP ????? =(2,t)；所以BM ?????? ?BP ????? =?8t 2

9+t 2+6t 2

9+t 2=?2t 2

9+t

2<0． 又M ，B ，P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角；所以△MBP 为钝角三角形．

解析：(Ⅰ)由椭圆的长轴长为4，得2a =4，即得a =2；又点(1,√3

2)在椭圆上，代入椭圆标准方程，

可得b ；从而得出方程．

(Ⅱ)设P(4,t)其中t ≠0，直线AP 与椭圆交于点M(异于A)，由直线方程与椭圆方程组成方程组，得出点M 的坐标；

由B ，P ，M 三点坐标，得向量BM

?????? ，BP ????? ，MP ?????? ，由BM ?????? ?BP ????? <0，知∠MBP 是钝角；从而得出证明． 本题(Ⅰ)考查了椭圆的基础知识，(Ⅱ)借助于求直线与椭圆相交时的交点，利用向量的数量积，来判断三角形的形状；要求有较高的计算能力，是中档题．

21.答案：解：(1)依题意，f(x)=lnx ?2x 2，f

′

(x)=1

x ?4x ，

故f′(1)=?3，f(1)=?2，

故所求切线方程为y +2=?3(x ?1)， 即y =?3x +1． (2)由x >0可知，要证：

f(x)?1x

+1<0，

即证：mx 2?x +1?lnx >0；

设?(x)=mx 2?x +1?lnx ，只须证?(x)>0成立； 因为?

′

(x)=2mx ?1?1

x =

2mx 2?x?1

x

，m ∈(1,2)，

由?′(x)=0，得2mx 2?x ?1=0有异号两根；

令其正根为x 0，则2mx 02

?x 0?1=0，

故m =

x 0+12x 02

；

则?(x)的最小值为

?(x 0)=mx 02

?x 0+1?lnx 0

=

1+x 02

?x 0+1?lnx 0=

3?x 02

?lnx 0；

又?′(1)=2m ?2>0，?′(1

2)

=2(m

2?3

2)=m ?3<0，

所以1

2

>0，?lnx 0>0；

因此

3?x 02?lnx 0>0，

即?(x 0)>0， 所以?(x)>0， 所以f(x)?1x

+1<0．

解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用原来分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；

(2)问题转化为证明mx 2?x +1?lnx >0，设?(x)=mx 2?x +1?lnx ，根据函数的单调性求其最小值证明即可．

f(x)>1，只需证明me x ?lnx ?2>0，思路1：设g(x)=me x ?lnx ?2根据函数的单调性证明即可；思路2：先证明e x ≥x +1(x ∈R)，且lnx ≤x +1(x >0)，设F(x)=e x ?x ?1，再证明me x ?

lnx ?2>0．

22.答案：解：(1)由曲线C 的原极坐标方程ρsin 2θ=4cosθ，

可得ρ2sin 2θ=4ρcosθ， 化成直角坐标方程为y 2=4x ． (2)由{x =2t,y =?2t +m ，得x +y =m ，

化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m ， 将代入，得ρ=√2

2m ，

将

代入

，得ρ=4√2，

则|OA ||OB |=√2

2m ×4√2=8，

解得m =2．

．

解析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力． (1)利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可． (2)联立方程组求出m 的值即可求解．

23.答案：解：(1)f(x)={2x ?5,x ≥3

1,2

∵f(x)<3， ∴{

2x ?5<3x ≥3或{1<32

x ≤2

，解得1

∴M ={x|1

证明：(2)(a +b)2?(1+ab)2=(a 2?1)(1?b 2)， ∵a ，b ∈(1,4)，

∴1?b 2<0，a 2?1>0， ∴(a +b)2<(1+ab)2，

∴|a+b|<|1+ab|

解析：(1)取绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，

(2)当a，b∈M时，(a2?1)(b2?1)>0，即a2b2+1>a2+b2，配方后，可证得结论．

本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想、是中档题．