整式的加减乘除混合运算总结

整式

【课标要求】

1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示． 3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．

4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．

5．能够熟练地通过合并同类项、去括号对代数式进行化简计算．

6．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算． 7．了解同底数指数幂的意义和基本性质．

8．会推导乘法公式22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a ++=+，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算． 【中考动向】

近年来，本讲内容除出现在常见的选择、填空题中外，也常出现在化简求值题中，是中考的必考内容，在试卷中主要分布在低中档题目中．

第1课时 整式的概念

【知识要点】

1.用字母可以表示任何数，也可以直观的表示运算律和公式．

2.代数式的概念、书写和意义．

3.代数式的表示和求值．

4.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，它的数字因数为该单项式的系数，如：单项式－2a 2b 3的系数为－2．

5.多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做它的一个项，它的次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.如：－7＋4y 2－3y 有三项，次数为2．

6.整式：单项式和多项式统称为整式． 【典型例题】

例1 在矩形纸片上截去四个面积相等的 小正方形，小正方形的边长为c ， 如图所示，求阴影部分的面积和周长． 解：⑴面积：24c ab - ⑵周长：)(2b a +

例2 某礼堂座位的排数与每排的座位数的关系如下表：

⑵利用⑴题中的公式计算当排数为19排时的座位数．

解：⑴用排数m 表示座位数n 的公式是：)1(219-+=m n

⑵当m =19时，n ==-+)119(21955（个） 答：当排数为19排时，座位数为55个．

例3 当x =2时，代数式73-+bx ax 的值等于－19，求当x =

－2时代数式的值． 解：∵当x =2时，1973-=-+bx ax

则将x =2代入1973-=-+bx ax 得1228-=+b a ∴将x = －2代入73-+bx ax 得：

图3－1－1

-=---=-+72873b a bx ax （7)28-+b a 5=

∴当x = －2时，代数式73-+bx ax 的值等于5． 例4 下列式子中那些是单项式，那些是多项式？

3

xy ，5a ，－34xy 2z ，a ，x －y ，1

x ，0，3.14，－m ，－m+1．

解：单项式：

3

xy ，5a ，－3

4xy 2z ，a ，0，3.14，－m ．

多项式：x －y ，－m+1．

第2课时 整式的加减

【知识要点】

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2．合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.

3．去括号：若括号前是“+”号，则去掉括号后，括号里边的各项不变号；

若括号前是“－”号，则去掉括号后，括号里边的各项均变号.

4．整式的加减：实质上是去括号后合并同类项，运算结果是一个多项式或一个单项式． 【典型例题】

例1 先合并同类项，再求值：－3x 2y ＋2x 2y 2＋8x 2y －7x 2y 2＋3， 其中 x=1，y=2．

解：原式 =（－3＋8）x 2y ＋（2－7）x 2y 2＋3

=5x 2y －5x 2y 2

＋3

当x=1，y=2时

原式=5×12×2－5×12×22+3=10－20+3= －7 例2 已知2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项，求2x+y 2的值． 解：∵2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项

∴ ???-==x

y x 232

2 ① ②

由①得x=1 ③

将③代入②得y=1

3

∴2x+y2=2×1+（1

）2

3

=2+1

9

=19

9

例3 计算：5ab c－｛2a2b－［3ab c－（4ab2－a2b）］+3abc｝

解：原式=5ab c－［2a2b－（3ab c－4ab2+a2b）+3abc］

=5ab c－（ 2a2b－3abc+4ab2－a2b+3abc ）

=5ab c－（ a2b+4ab2）

=5ab c－ a2b－4ab2

例4已知x+y=－5，xy=6，求（－x－3y－2xy）－（－3x－5y+xy）的值.

解：（－x－3y－2xy）－（－3x－5y+xy）

=－x－3y－2xy+3x+5y－xy

=2x+2y－3xy

=2（x+y）－3xy

将x+y=－5，xy=6代入，则

原式=2×（－5）－3×6=－10－18=－28

例5 已知A=x3－5x2，B=x2－11x+6，求2A－3B

解：2A－3B=2（ x3－5x2）－3（x2－11x+6 ）

= 2x3－10x2－3 x2+33x－18

= 2x3－13x2+33x－18

第3课时整式的乘除

［知识要点］

1.同底数幂的乘法法则：a m

﹒a n

=a m+n

（m ，n 都是正整数）

同底数幂的乘法的逆运算：a m+n

= a m

﹒a n

（m ，n 都是正整数）

2.幂的乘方法则：（a m ）n =（a n ）m =a mn （m ，n 都是正整数） 幂的乘方的逆运算：a mn =（a m ）n =（a n ）m （m ，n 都是正整数）

3.积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 积的乘方的逆运算：a n b n =（ab ）n （n 为正整数）

4.同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂的除法的逆运算：a m-n

= a m

÷a n

（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）

5.零次幂和负整数指数幂的意义： （1）a 0

=1（a ≠0） (2)p

p a a 1

=

-（a ≠0，p 为正整数） 6.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

7.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．

8.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

9.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2 公式也可逆用：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）

10.完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 公式也可逆用：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2 11.单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

12.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

13.探求规律：学会科学的思维方法，探求数量和图形的变化规律.

［典型例题］

例1 计算：（a m ）2﹒（a 3）m+2﹒a 4m 解：原式=a 2m ﹒a 3（m+2）﹒a 4m = a 2m ﹒a 3m+6﹒a 4m =a 2m+3m+6+4m =a 9m+6

例2 计算：（x m ﹒x 2n ）3÷x m+n ﹒［(x －y)m ］0(x ≠y) 解：原式=（x 3m ﹒x 6n ）÷x m+n ﹒1 =x 3m+6n ÷x m+n =x )()63(n m n m +-+ =x 2m+5n 例3 计算：2x 2﹒（12

xy 2

－y ）－（x 2y 2－xy ）﹒（－3x ） 解：原式=2×

12

x 2

﹒xy 2－2x 2y+3x ﹒x 2y 2－3x ﹒xy =x 3y 2－2x 2y+3x 3y 2－3x 2y =4x 3y 2－5x 2y

例4 计算：（x －y+1）（x+y －1）

解：原式=［x －（y －1）］［x+（y －1）］ =x 2－（y －1）2 =x 2－（y 2－2y+1） =x 2－y 2+2y －1

例5 已知a+b=7，ab=2，求a 2+b 2的值

解：∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ∴a 2+b 2=（a+b ）2

－2ab

=72－2×2

=49－4

=45

例6 ［（x+2y）（x－2y）+4（x－y）2］÷6x 解：原式=［x2－4y2+4（x2－2xy+y2）］÷6x =（x2－4y2+4x2－8xy+4y2）÷6x

=（5x2－8xy）÷6x

=5

6x－4

3

y