解析几何中的定点、定值问题 (1)
解析几何中的定点、定值问题
【典例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
，直线0x y +-=与圆222
x y b +=相切.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设5
(,0)4
P ，过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：PA PB ?为定值.
【解析】（1）∵椭圆C 的离心率为2
，
∴a =，
∵直线0x y +=与圆222x y b +=相切，
∴1b =
=，
∴a ==
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，
当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+.
由22
112x my x y =+???+=?
?得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -?
+=??+?-?=?+?， ∴12242x x m +=+，2122312
m x x m -=++，
112255,,44PA PB x y x y ?????=-?- ? ????? ()121212525416x x x x y y =-+++2236417
21616m m --=+=-
+. 当直线l 与x 轴重合时，552,02,044PA PB ?????=? ?
???? 25721616=-=-. ∴故PA PB ?为定值7
16
-
. 【典例2】已知椭圆()22
2210x y C a b a b
+=>>： 离心率等于12，()23P ，
、()3,2-Q 是椭圆上的两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线
AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得222
221
249
1c a a b a b c ?=??
?+=??=+???
，解得a ＝4，
b 23=，
c ＝2．
∴椭圆C 的方程为22
11612
x y +
=. （2）设()11,y x A ，()22,y x B ，
当BPQ APQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA 的直线方程为()23-=-x k y ，
联立()222311612
y k x x y ?=-+??+=?
?，得()()()0482********
22=--+-++k x k k x k ．
∴()12
823234k k x k -+=
+．
同理直线PB 的直线方程为()23--=-x k y ， 可得()()22
2
82382323434k k k k x k k ---++=
=
++．
∴2122
1612
34k x x k -+=+，12
24834k x x k --=+， ()()()12121212121223234AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--===---222
1612
4134482
34k k k k k k
-?-+==-+，
AB
∴的斜率为定值12
. 【典例3】已知点Q
是圆22(y 36:M x ++=
上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .
（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程
（Ⅱ）若A 是轨迹E 的左顶点，过点()8,3-D 的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线
AB 、AC 的斜率之和为定值.
【解析】（Ⅰ）由题可知，线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ， 所以PN PQ =
，则6PM PN PM PQ +=+=> 所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则26,a c ==24b =，
可得动点P 的轨迹E 的方程为22
194
x y +
=.
（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，过点D 的直线l 斜率存在且不为0， 故可设l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,B x y C x y ，
由2219
4y kx m x y =+???+=??得()22249189360k x kmx m +++-=，
()()()()
2
222218449936144940km k m k m ?=-+-=-+>
2121222
18936
4949km m x x x x k k -+=-=
++ 而()()()()()()()()()()
2211221121212123333333333AB AC y x y x kx m x kx m x y y
k k x x x x x x +++++++++=
+==++++++ ()()()1212121223639kx x k m x x m x x x x ++++=+++()22222293618236494993618394949m km k k m m k k m km k k -??
?++-+ ?++??=-??
+?-+ ?++??()833m k =-
由于直线l 过点()3,8D -，所以38k m -+=，
所以1
3
AB AC k k +=（即为定值）
【典例4】已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的右焦点2F 与抛物线x y 42=的焦点重合，且其离
心率为
2
1
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问OP MN k k ?（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由．
【解析】（1）抛物线x y 42=的焦点为()0,1，∴椭圆C 的半焦距为1=c ， 又椭圆的离心率2
1
==
a c e ，2=∴a ，则322=-=c a
b ． ∴椭圆C 的方程为13
422=+y x . （2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为m kx y +=，
联立???=-++=0
12432
2y x m kx y 得()0124843222=-+++m kmx x k . 0>?即只需3422+ +，()2 2 1214362k m m x x k y y +=++=+ ?? ? ??++-∴22433,434k m k km P ，k k km k m k OP 434344332 2-=+-+=∴ 4 3 -=?∴OP MN k k 【典例5】 已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>与圆O ：223x y +=有且仅有两个公共点，点P 、 1F 、2F 分别是椭圆C 上的动点、左焦点、右焦点，三角形12PF F （1）求椭圆C 的方程； （2）若点P 在椭圆第一象限部分上运动，过点P 作圆O 的切线1l ，过点O 作OP 的垂线2l ，求证：1l ，2l 交点Q 的纵坐标的绝对值为定值． 【解析】（1 ）依题意122b cb ?=???=?? 12 b c a ?=?=??=? ， 所以椭圆C 的方程是1342 2=+ y x ． （2）设点()00,y x P ，()11,y x Q ，则12432 020=+y x ，设直线1l 与圆Q 的切点为H ， 由几何知识得到：OQ OP OH PQ ?=?，2 22OQ OP PQ +=， 所以2 22 2 22 1131OQ OP PQ OQ OP OH +=? ?= ，即22001x y ++22 111x y +=1 3， 又因为OP OQ ⊥，所以01 010110 0y y x x y y x x +=?=-， 代入上式得： 22 222200000 022******** 010010000 020 333 3 11111114333312x x x y x y y y x y y x x y x x x +- -??++-+=?=-=== ?++? ?， 所以2 112y = ，即1y = 【典例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率2 e = ，且椭圆过点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆C 的离心率2e = = ，即222a b =. 因为点 ) 在椭圆C 上，所以 2 221 1a b +=. 由22 222211 a b a b ?=? ?+=??，解得22 42a b ?=?=?. 所以椭圆C 的标准方程为22 142 x y + =. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的面积 . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是m kx y +=， 联立方程组22142y kx m x y =+???+=??，消去y ，得()222 124240k x kmx m +++-=， ( ) 22 8420k m ?=+->，122412km x x k -+=+，2122 2412m x x k -=+， ()12122 2212m y y k x x m k +=++= +. 2 12 MN k = + ， 点O到直线MN 的距离是d= 由OM ON OD +=，得 2 4 12 D km x k - = + ， 2 2 12 D m y k = + . 因为点D在曲线C上，所以有 22 22 42 1212 1 42 km m k k - ???? ? ? ++ ???? += ，整理得22 122 k m +=. 由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为 OMDN S MN d == =. 由22 122 k m += ，得 OMDN S ? OMDN . 【典例7】已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=>>的离心率为 1 2 ，M是椭圆C的上顶点，1F， 2 F是椭圆C的焦点，12 MF F ?的周长是6． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅰ）过动点()t P,1作直线交椭圆C于A，B两点，且PB PA=，过P作直线l，使l与直线AB 垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标． 【解析】（Ⅰ）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得226 a c +=， 又椭圆离心率为 1 2 ，即 1 2 c a =， 解得2 a=，1 c=， 又2223 b a c =-=， 所以椭圆C的标准方程 22 1 43 x y +=． （Ⅰ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为()1 y t k x -=-， 联立() 22 3412 1 x y y t k x ?+= ? ? -=- ?? ，得()()()2 22 3484120 k x k t k x t k ++-+--=， 由题意，>0?， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则() 2 21438k k t k x x +-- =+， 因为PB PA =，所以P 是AB 的中点． 即 1212 x x +=，得()24382=+-- k k t k ， 043=+kt ① 又l AB ⊥，l 的斜率为1 k -， 直线l 的方程为 ()11 --=-x k t y ② 把①代入②可得：114y x k ??=-- ??? 所以直线l 恒过定点1,04?? ??? . 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =， 此时直线l 为x 轴，也过1,04?? ???. 综上所述直线l 恒过点1,04?? ??? . 【典例8】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2 e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛 物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知圆22 2 :3 M x y += 的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆C 的离心率e = ，所以c a =，即a =. 因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点， 所以a =1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为12 22 =+y x . （2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为m kx y +=. 由22 ,1,2 y kx m x y =+???+=??消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=， 所以设()()1122,,,A x y B x y ，则212122 2422 ,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()22 2 2 121212122221 m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++= +. 所以2212122 322 21 m k OA OB x x y y k --?=+=+.① 因为直线l 和圆M 相切，所以圆心到直线l 的距离3 d = = ， 整理，得()2 22 13 m k = +，② 将②代入①，得0OA OB ?=，显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,0). 1. 过点(0,1)C 的椭圆22221(0)x y a b a b +=>> x 轴交于两点(,0)A a 、 (,0)B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于 点Q . （1）求该椭圆的标准方程； （2）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ?为定值. 【解析】（1 ）由已知得1, 2 c b a == ，得2a =， ∴椭圆的方程为2 214 x y +=， 椭圆的右焦点为) F ， 此时直线l 的方程为13 y x =- +， 由2221703 44 y x x x y ?=- +??-=??+=? ，解得120,x x ==， 1216 ||7 CD x ∴=-==； （2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在， 设直线l 的方程为 ??? ? ? ≠≠+=2101k k kx y 且 代入椭圆的方程，化简得()081422=++kx x k ，解得01=x 或1 482 2+-= k k x ， 代入直线l 的方程，得11=y 或1 44122 2+-=k k y ， 所以，D 的坐标为??? ? ??+-+-1441,1482222k k k k ， 又直线AC 的方程为12x y +=，直线BD 方程为12(2)24k y x k += +-， 联立解得421x k y k =-??=+? ，即(, 2+1)4k k Q -， 而P 的坐标为1,0k ?? - ??? ， 1,0(4,21)4OP OQ k k k ?? ∴?=-?-+= ??? ， 即OP OQ ?为定值. 2. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> ，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>> 经过点 ?? . （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆 1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB ?面积为定值. 【解析】（1）因为1C ，所以22619b a =-， 解得223a b =.① 将点22?? ? ??? 代入22 22133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，2 13 b =， 故椭圆1C 的标准方程为2 2 1 13 y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时， 点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ， 由（1）知椭圆2C 的方程为2 213 x y += ，所以有() N . 将1x =代入椭圆2C 的方程得y = 所以 ) 111 22 3NAB S MN AB ?= ?= 3 =. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222 136310k x kmx m +++-=， 由题意得()()() 2 22 6413310km k m ?=-+-=，整理得22313m k =+. 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222 136330k x kmx m +++-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122613km x x k +=-+，2122 33 13m x x k -=+， 所以 AB = = =. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-. 因为22002 2 33 31 13x y x y ?+=??+=??，所以22002 22003113x y x y λ?+=????+= ??? ?? ， 解得 λ=λ=， 所以3ON MO = ，从而) 1NM OM = . 又因为点O 到直线l 的距离为d = ， 所以点N 到直线l 的距离为 ) 11m d ? = 所以 ) ) 1 1 112 2 NAB S d AB ?=? = =， 综上，NAB ? 3. 圆9:22=+y x O 上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是1P ，2P ，点M 满足 1 22133 OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程； （2）点()1,0A ，()3,0-B ，过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率AS k ， AN k 存在，求证：AN AS k k ?为常数． 【解析】（1）设()00,y x P ，()y x M ,，则()0,01x =，()02,0y =， 由122133OM OP OP =+.得0000 233 2133x x x x y y y y ? =??=???????==??? 代入920 20 =+y x ，所以点M 的轨迹C 的方程为2 214 x y +=. （2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意； 当SN 的斜率存在时，设斜率为k ， 则直线SN 的方程为3-=kx y 代入椭圆方程整理得()032244122=+-+kx x k ，202>?>?k 设()11,y x S ，()22,y x N ，则2214124k k x x +=+，2 214132 k x x +=?， 则()()()2 1212122121221116 44411x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k AN AS ++-=--=-?-=? ＝ 2222222 322441632961664114143232214k k k k k k k k k ? -?+-++++==+， 故AN AS k k ?为常数1 2. 4. 如图，O 为坐标原点，椭圆22 221x y C a b =+=（0a b >>）的焦距等于其长半轴长，,M N 为 椭圆C 的上、下顶点，且||23MN =（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于异于,M N 的,A B 两点，直线,AM BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3． 【解析】（1）由题意可知：2c a =，223b =222a b c =+， 有3,1,2b c a ===，故椭圆C 的方程为：22 143 x y + =． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，用,A B 的横坐标表示T 的纵坐标， 再联立l 的方程和椭圆的方程，消去y 得()22 43880k x kx ++-=，利用韦达定理化简T 的纵坐 标后可得所求的定值. 设()()1122,,,A x y B x y （021≠x x ）， 联立直线方程和椭圆方程得22 134120 y kx x y =+??+-=?，消去y 得()22 43880k x kx ++-=， 122843k x x k -+= +，122 8 43 x x k -=+，且有1212x x kx x +＝， 又2:BN l y x = ，1 :AM l y x =， 由2211y y x x y y x x ?+=?-? ? ??=+?? 1= 111kx x +==，整理得到 = ，故1y ?=?? 2kx x x x x x + ++-= 33x x x x +-==． 故点T 的纵坐标为3． 5．已知以椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的 正方形. （1）求椭圆E 的方程； （2）直线l ：(0)y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【解析】（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形， 所以2 222 4b c a a b c =??=??=+?，解得2242a b ?=?=?.所以椭圆E 的方程为22142x y +=. （2）设()()1111,0A x y x y ≠，()()2222,0B x y x y ≠，则()11,C x y --，1 1 AO y k x = ， 因为1AO k k ?=，所以1 1 x k y = ， 联立22 142 x y y kx m ?+=???=+? ，消y ，得()222 124240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，()12 122 2212m y y k x x m k +=++=+， 所以1211121 122y y y k x x k x += =-=-+， 直线BC 的方程为：()1 111 2y y y x x x +=- +，令0y =，由10y ≠，得13x x =-， 所以()13,0M x -，112111 34y y k x x x = =+， 所以111211 22024y y k k x x +=- +?=.所以122k k +为定值0. 6. 已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点F 的坐标为20（，） ，且点2（在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程及离心率； （2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB 恒过定点，并求出此定点坐标． 【解析】（1）由已知得22 22242 1 { 2 a b a b c c +==+=，解得22 8{ 4 a b ==， ∴椭圆C 的标准方程22 184 x y + =. ∴椭圆C 的离心率2 c e a = == . (2)设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -， 可设PB 的直线方程为m kx y +=， 联立方程?????=++=148 22y x m kx y ，整理得()222 214280k x kmx m +++-=， ∴2121222428 ,2121 km m x x x x k k --+==++， AF FB k k =，∴ 12 1222 y y x x =--， 整理得，()()1212240kx x m k x x m +-+-=， ∴()22 22842402121 m km k m k m k k --?+-?-=++，解得4m k =-， ∴PB 的直线方程为：()44y kx k k x =-=-， 直线PB 恒过定点()4,0. 7. 为1F ，2 F ， 其离心率为2 ，过2 F 的直线 l 与 C 交于,A B 两点，且1AF B △ 的周长为 （1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆C 的上顶点为 P ，证明：当 l 的斜率为1 3 时，点 P 在以 AB 为直径的圆上． 【解析】（1）1AF B △的周长等于11AF AB BF ++ 12214AF AF BF BF a =+++=， 所以4a = ，从而a = 因为2 c e a ==，所以1c =，即2221b a c =-=，椭圆C 的方程为1222=+y x . （2）由（1）得()0,1P ，()21,0F ．设()11,A x y ， ()22,B x y ， 依题意，l 的方程为31x y =+， 将l 的方程代入C 并整理，可得211610y y +-=， 所以12611y y +=- ，121 11 y y =-． ()()121211PA PB x x y y ?=+--()()()()1212313111y y y y =+++--()121210220y y y y =+++= 所以PA PB ⊥， 综上， 点P 在以AB 为直径的圆上. 8. 已知椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的一个焦点与28y x =的焦点重合且点A 为椭圆上 一点 （l ）求椭圆方程； （2）过点A 任作两条与椭圆C 相交且关于2x =对称的直线，与椭圆C 分别交于P 、Q 两点，求证：直线PQ 的斜率是定值. 【解析】（1）抛物线28y x =的焦点为()2,0F ， 则椭圆C 的一个焦点为()2,0F ，故224a b =+ 把点(A 带入椭圆方程得：2 242 14b b +=+，解得2284 a b ?=?=? 所以，椭圆C 方程为22 184 x y + = （2）由题意，可设直线AP 的方程为()2y k x =- 则直线A Q 的方程为()2y k x =-- 设()11P ,x y ，()22Q ,x y ，则()112y k x =-()222y k x =- 把直线AP 的方程与椭圆C 方程联立得： ()()() 2 2 22128840k x k x k ++-+--= 12x ?= ，故1x =2x = 所以()()21212121 22PQ k x k x y y k x x x x ??-+--+-????==--()()1212121244x x x x k x x k x x k --+?=-++-= 22212 24421224442122442122442 2222222=+-+- +---+-+++--?=k k k k k k k k k k k k k 所以，直线PQ 的斜率是定值 2 . 微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________． 1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围． 解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β= 4 π 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （ 121 ,2y p y ），B （222 ,2y p y ），则 2 1 2tan , 2tan y p y p ==βα，代入1)tan(=+βα 得2 21214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 022222 =+-????=+=pb py ky px y b kx y ∴k p y y k pb y y 2,22121= += ，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p 说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。 例2．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线 AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令440 x y -=?? =? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的 任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 22 0001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?= -+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 002221 21x y x y ?+=??+=?? ， 两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122202y y k k x x -?==-- 3、 过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-, 解析几何中的定值定点问题 一、定点问题 【例1】．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴由题意知c e a ==2222 2234c a b e a a -=== ，即224a b = ，又因为1b ==，所以22 4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214 x y +=． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22 (4)14 y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值范围是0k << 或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21 2221 ()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221 () y x x x x y y -=- +，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由得①2212122232644 ,4141k k x x x x k k -+== ++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到(),0 ，) ,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，其方程为2 214 x y +=． 一．方法综述 解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下； （1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性； 一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果； 另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。 （2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 二．解题策略 类型一定值问题 【例1】（2020?青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（） A．B．C．2p D． 【答案】D 【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣）， 第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0 解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X 问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以 解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题 【例1】．已知椭圆 C ： 2 2 x y 2 2 1(a b 0) a b 的离心率为 3 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线x y 2 0 相切． ⑴求椭圆 C 的方程； ⑵设P(4, 0) ，M 、N 是椭圆 C 上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点 E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴由题意知 e c a 3 2 ，所以 2 e 2 2 2 c a b 2 2 a a 3 4 ，即 2 4 2 a b ，又因为 2 b 1，所以 1 1 2 2 a 4, b 1，故椭圆 C 的方程为 C ： 2 x 4 2 1 y ． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为y k(x 4) ① y k( x 4) 联立 2 x 4 2 y 1 消去y 得： 2 2 2 2 (4k 1)x 32k x 4(16k 1) 0 ， 由 2 2 2 2 (32k ) 4(4 k 1)(64 k 4) 0 得 2 12k 1 0， 又k 0 不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值范围是 3 6 k 0 或0 3 k ． 6 ⑶设点N (x1 , y1), E (x2 , y2 ) ，则M (x1 , y1) ，直线ME 的方程为 y y 2 1 y y ( x x ) 2 2 x x 2 1 ， y (x x ) 令y 0 ，得 2 2 1 x x 2 y y 2 1 ，将y1 k( x1 4), y2 k(x2 4) 代入整理，得x 2x x 4(x x ) 1 2 1 2 x x 1 2 8 ．② 由得① 2 2 32k 64k 4 x x , x x 1 2 2 1 2 2 4k 1 4k 1 代入②整理，得x 1 ， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1, 0) ． 【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M 到点F1 3 , 0 ，F2 3 , 0 的距离之和是 4 ，点M 的轨迹是C 与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l : y kx b 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹 C 的方程； ⑵当AP AQ 0 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到 3 , 0 ， 3 , 0 的距离之和是4，∴M 的轨迹 C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为 2 3 的椭圆，其方程为 2 x 4 2 1 y ． 解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?= 可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。 解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)① 解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》 题型特点： 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。这类试题考查的是在运动变化过程中寻找不变量的方法。 典例 1 如图，已知双曲线)0(1:222 >=-a y a x C 的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，OB AB ⊥，OA BF //（O 为坐标原点）。 （1）求双曲线C 的方程； （2）过C 上一点),(00y x P 的直线1: 020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF MF 恒为定值，并求此定值。 典例2 已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8。 （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。 典例3 已知直线6:+=x y l ，圆5:2 2=+y x O ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率33=e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。 （1）求椭圆E 的方程； （2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。 典例4 椭圆的两焦点坐标分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ,且椭圆过点)23,1(- 。 （1）求椭圆方程； （2）过点)0,5 6(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由。 解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等） (3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 （4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等） （1）函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求|OQ|的最大值。 说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值 （2）不等式法 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/b79057485.html, 解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘 作者：黄伟军 来源：《广东教育·高中》2012年第01期 在平面解析几何这个知识版块里，定点、定值与最值问题历来都是中学数学中的重点问题，同时又是高考的热点问题，常考常新.据统计2011年高考各省市（区）解析几何大题中涉及考查定点、定值与最值问题的就有10个省份左右.为帮助2012届的高三考生在复习中能更 好地把握这三个问题，探索这三种类型问题的解题规律，本文特地详细介绍了这三种类型问题的基本概念、分类，并结合典型的高考试题、各地最新模拟试题给予剖析、小结归纳，并且给出相应的变式题目，让同学们小试牛刀，相信对同学们的复习有一定的帮助. 一、解析几何中的定点、定值问题 解析几何中的定点、定值问题一般是指在一定的情境下，不随其它因素的改变而改变的量．从近几年的新课标高考题来看，定点、点值问题多数以选择、填空题的形式出现，考查特殊与一般的转化思想，也有以证明等解答题面目出现，着重考查逻辑推理能力．处理定点、点值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后给以证明．值得注意的是，解析几何中的定点、定值问题与一般几何证明不同，它的结论中没有确定的定点、定值对象，所以探求定点、定值成为首要任务.其一，要有一定量的基本图形、基本结论作基础，先设一般问题成为一个 特殊问题，动中取静，使图形极端化（考虑图形的特殊位置和临界位置等），从而求得定点、定值，然后，从图形或数据的直观观察中，获得合乎情理的猜想，再进行逻辑证明；其二，要注意前面解答结论中的暗示功能和桥梁作用. 由于解析几何中的定点、定值问题在解题之前不知道定点、定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩，因而是颇有难度的问题，解决这类问题时，要运用辩证的观点去思考分析，在“变”中寻求“不变”，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定点、定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.另外，有许多定点、定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定点、 定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1．已知抛物线y2=2px（p＞0），问：在轴的正半轴上是否存在一点M，使得过M点的抛物线的任意一条弦P1P2都有∠P1OP2=■（O为坐标原点）？请说明理由. 分析：这是一道与探索性相结合的定点问题，通过阅读题意我们发现几个关键词：“正半轴”，“任意一条弦”，抛物线y2=2px（p＞0）的开口向右，先假设满足题设条件的点M存 解析几何中定点、定值、定直线问题 解析几何中定点定值问题 2 例1已知椭圆 —=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过M a 的两条动弦MA MB 满足MAL MB 对于给定的实数a(a 1), 证明：直线AB 过定点。 解：由MA MB =0知MA_MB ,从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可 设直线MA 的方程为y 二kx 1，直线MB 的方程为 1 y x 1 k 将y 二kx1代入椭圆C 的方程，整理得 (1 a 2 k 2 )x 2 2a 2 k=x 0 例3已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在x 轴上， 斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, OA OB 与 a =(3,-1) 共线. (1) 求椭圆的离心率； 解得x=0或 -2a 2 k 1 a 2k 2 故点A 的坐标为 -2a 2 k 1 a 2k 2 2 2 1-a k ) 1 a k 同理，点B 的坐标为 2 2 2 (2a k k -a ) k a k a 知直线l 的斜率为 k 2 - a 2 1 -a 2k 2 k 2 a 2 1 a 2k 2 = k _1 2a k _ -2a k (a 2 1)k ~T2 2 ^~2 k a 1 a k 直线l 的方程为 k 2 -1 2 (a 2 - (x- 2a 2k k 2 a 2 k 2 a 2 k 2 -1 a 2 -1 2 (a 2 - a 2 1 -直线l 过定点0, a 2 -1 a 2 1 化简得(a 2 b 2 )x 2 —2a 2 cx a 2c 2 -a 2b 2 令 A(x i ,y i ), B(X 2 , y 2), 2 贝 y X i X 2 |a -c ^,x i x 2 a +b 2 2 a c 2 2 a b a 2 b 2 由OA OB =(为 X 2 ,% y 2 ), a =(3,- 1),OA OB 与a 共线，得 3(% y 2)(x i X 2) =0. y i =Xi -cy 7 -c, 3( x 2 -2c)区 x 2) = 0, 3c 2 . 二至,所以a 2 =3b 2. X-| x 2 2a 2c a 2 b 2 2 2 16a c = a 「b , 3 I 故离心率e = c —. (II )证明：由(I )知a 2 =3b 2 ，所以椭圆 2 2 0 y__ a 2 b 2 x 2 3y 2 =3b 2 . 设OM =(x,y),由已知得(x,y) = (Xi,y )；； ■丄化 小), x =檢1 + %, 「? J y =环卡%. (2)设M 为椭圆上任意一点，且OM 「OA .OB(.i R), 证明，」为定值. 2 2 笃与=1(a b ■ 0), F(c,0), a b 2 2 则直线AB 的方程为y=x —c,代入笃吕 a b (I )解：设椭圆方程为 解析几何中的定值定点问题（一） 一、定点问题 【例1】．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴ 由题意知c e a ==2222 2234c a b e a a -=== ，即224a b = ，又因为1b ==，所以22 4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214 x y +=． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22 (4)14 y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值围是0k << 或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21 2221 ()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221 () y x x x x y y -=- +，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由得①2212122232644 ,4141k k x x x x k k -+== ++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到(),0 ，) ,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，其方程为2 214 x y +=． 解析几何中的定值问题 1、（2014安徽高考）如图，已知两条抛物线22 111222:2(0),:2(0)E y p x p E y p x p =>=>， 过点O 的三条直线1l 、2l 和3l . 1l 与1E 和2E 分别交于12,A A 两点,2l 与1E 和2E 分别交于 12,B B ，3l 与1E 和2E 分别交于21,C C . 记111222,A B C A B C ??的面积分别为1S 与2S ，求证 1 2 S S 的值为定值. 证明：设直线321,,l l l 的方程分别为 x k y x k y x k y 321,,===. 把直线与抛物线联立求解得： )2,2(),2,2(122122112111k p k p A k p k p A ， )2,2(),2,2(222222212211k p k p B k p k p B ， )2,2(),2,2( 3 2 2322312311k p k p C k p k p C . 由三角形三顶点坐标面积公式得： ))1 1(1)11(1)11(1( )2(323231312121211k k k k k k k k k k k k p S -+-+-＝， ))1 1(1)11(1)11(1( )2(3 23231312121222k k k k k k k k k k k k p S -+-+-＝， 所以 1 2 S S ＝221)(p p 为定值. 注：（1）设?ABC 三顶点的坐标分别为),(),,(),,(332211y x y x y x ，则 |)()()()(|231232232231x x y x x y y y x y y x S ABC ---+---=?; (2) 原解答包含一个重要结论，111222,A B C A B C ??三边对应平行，进而， 常见解析几何中的一些最值问题 张凤仙 （贵州师范大学 数学与计算机科学学院 贵州贵阳 550001） 摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。 关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量 引言： 中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论： 一、利用二次函数的知识求最值 关于二次函数： y=ax2+bx+c （a≠0），x ∈R 当x= -a b 2时，y=a b ac 442 -为最值。 当a>0时，有ymin 当a<0时，有ymax 但通常二次函数有相应的定义域，自变量x 的具体取值范围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况： 1、x ∈R ，当a>0，则有ymin=a b ac 442 - 当a<0，则有ymax=a b ac 442- 2、当x 定义在闭区间，即x ∈[a ，b]（a,b 为常数），则应当看对称轴x= -a b 2 是否在此区间，如果x 在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x 不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。 当x 定义在一个含参数的闭区间即∈x [t, t+a]（t 为参数，a 为常数）时，需要对参数进行讨论。 例1.1 已知二次函数y=x2-x 2sec α+αα 2 cos 22sin 2+（α为参数，cos α≠0） ①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。 ②求抛物线y=x2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。 分析：由于该二次函数y 的定义域为R ，所以这道题应归结于上述类别1。 对于问题①虽然所给解析式中含有参数，（为抛物线系）但实际上它是一个关于自变量x 的二次函数，通过配方，可对其变形，得到该抛物线的顶点，观察后可以判断这是一个含有参数α的轨迹方程。此时，消掉参数即可求解；对于问题②，已知某抛物线方程及已经求得的双曲线方程，要求该抛物线到该双曲线的渐近线的最短距离即为求某动点到定直线的距离，首先应该把该动点设出，其次要确定该直线的方程，这样方可根据点到直线的距离公式，得出所求最值的函数对象，从而求得最值。随之确定这个点。 解：① 由y=x2-2xsec α+αα 2 cos 22sin 2+ ?y=x-2xsec α+sec2 αααα22cos 22sin 2sec ++ - 圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2. 高考解析几何中的最值问题，以直线或圆锥曲线为背景，综合函数、不等式、三角等知识，所涉及的知识点较多。对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题已成为历年高考数学中的热点和难点。 【定义法】有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。 1.已知抛物线 24y x =，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求其最小值 。 2.（2015全国卷1）已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 【参数法】参数方程是曲线的另一种表示形式，参数法是解决数学问题的一种重要方法，利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。 3.已知Q （0，-4）、P （6，0），动点C 在椭圆=1上运动，求△QPC 面积的最大值。 F 2 2 :18y C x - =(A APF ?4 92 2y x + 【导数法】用导数求解解析几何的最值问题：导数的几何意义是曲线上某点处切线的斜率，因而解析几何中的有关切线和最值问题用导数来处理，就避免解析几何中一些繁琐的计算。 4.（2007全国卷1）已知椭圆 2 3 x + 2 2 y =1的左、右焦点分别在F1、F2，过F1的直线交椭圆 与B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。 （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明： 22 001 32 x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。 5.(2013全国卷Ⅰ，文21)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2) l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.微专题26解析几何中的最值与范围问题(教学案)
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