第5章 多元函数积分学的应用

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

用MATLAB算多元函数积分

用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:

由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙

第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。

多元函数微分学习题

6 ．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点， 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答：C (D) 与 斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在 不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )

多元函数微分学总结

`第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的

2多元函数积分学.docx

2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三

2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章多元函数微分学习题 练习5.1 1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422 2 椭圆抛物面z y x =+ (2) 圆锥面）(4222z y x =+ (3) 椭球面）(19 164222=++z y x (4) 圆柱面）(12 2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= 解：?? ?≥-≥0 y x y 即?? ? ??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),( (2) z =解：0≥-y x {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为 3. ()y x f ,对于函数= y x y x +-,证明不存在),(lim 0y x f x → 分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所 得极限值不同即可。 证明： ①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时， (,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→=== ②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k f x y f x y k x kx k k →→---= ==≠≠+++

综合①②可知函数极限不存在，证毕。 练习5.2 1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y z x z xy y x z ????-=求 解： 23323,3xy x y z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y z x z xy z ????=求 解：[]1 211ln() 2z xy y x xy -?=??=? []1 211ln() 2z xy x y xy - ?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y ??=+???求 解： 1ln()z x y x x x y ?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++= +-+++=+++??=????=?? 222 1()(ln())()()z z x x y x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z y x u e u xyz ????=求 解；2 2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y ??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z ????==+=+++???????

最新多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

第八讲 多元函数积分学知识点

第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

第七章多元函数微分高等数学

第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

多元函数积分学

多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义：曲顶柱体的体积 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +） 常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）

③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 （极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分） （此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）

《数学分析》多元函数微分学

第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.