向量知识点归纳总结

向量知识点归纳与常见题型总结

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB

AB →→表示与AB →

同向的单位向量。 例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC

λλ=++?∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|

=12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)

⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)

2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||；

若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-

例2：P 是三角形ABC 内任一点，若,CB PA PB R λλ→→→=+∈，则P 一定在（ ）

A 、ABC ?内部

B 、A

C 边所在的直线上 C 、AB 边上

D 、BC 边上

例3、若0·2=，则△ABC 是：A.Rt △ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △

+≤- 例4、已知向量)1,3(),sin ,(cos -==θθ，求|2|-的最大值。

分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。

解：原式==

+-|)1sin 2,3cos 2(|θθ22)1sin 2()3cos 2(++-θθ =)3sin(88πθ-+。当且仅当)(652Z k k ∈+

=ππθ时，|2|-有最大值.4 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||||||||||||+≤±≤-”就显得简洁明快。原式≤|||2|+=4212||||2=+?=+，但要注意等号成立的条件（向量同向）。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++CD BC AB 0=DA .(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． 如果两个非零向量a ，b ，使a =λb （λ∈R ），那么a ∥b ； 反之，如a ∥b ，且b ≠0，那么a =λb .

这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与λb 的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则

)1||.(cos ||=?=?=?e a e a a e θ

③?⊥b a 0=?b a （∵θ=90°，)0cos =θ

④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件.

⑤当a 与b 同向时b a ?=||||?(θ=0,cos θ=1);

当与反向时，?=-||||?(θ=π,cos θ=-1)，即∥的另一个充要条件是

||||||b a b a ?=?.当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、

不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件；

例 5.如已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是

______（答：43λ<-或0λ>且13

λ≠）； 例6、已知i ,j 为相互垂直的单位向量，j i a 2-=，j i b λ+=。且a 与b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。 分析：由数量积的定义易得“>?b a ”，但要注意问题的等价性。 解：由a 与b 的夹角为锐角，得.021>-=?λb a 有.21<

λ 而当),0(>=t t 即两向量同向共线时，有??

?-==21λt t 得.2-=λ此时其夹角不为锐角。 故∈λ()??? ??-?-∞-21,22,.

评析：特别提醒的是：><,是锐角与0>?不等价；同样><,是钝角与0

特殊情况有2=?=2||a 。或|a =22y x +.

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则|a =221221)()(y y x x -+- ⑥||||||b a b a ?≤?。（因1cos ≤θ）

⑦数量积不适合乘法结合律. 如).()(??≠??（因为??)(与共线，而)(??与共线）

⑧数量积的消去律不成立. 若、b 、是非零向量且?=?并不能得到=这是因为向量不能作除数，即c 是无意义的.

(6)向量b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θ

(7) →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)

特别：. ＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件.

注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线

例7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，若11BO a 2-

＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200＝（ ）

A ．50 B. 51 C.100 D.101

例8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→?OC ?→

??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（直线AB ）

例9、已知点A,,B,C 的坐标分别是)2,2(),2,5(),1,3(t t -.若存在实数λ, 使OB OA OC )1(λλ-+=,则t 的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定 例10下列条件中，能确定三点P B A ,,不共线．．．

的是： A ．?+?=20cos 20sin 22

B ．?-?=20tan 20sec 22

C ．?+?=70cos 20sin 22

D ．?-?=31cot 31csc 22 分析：本题应知：“P B A ,,共线，等价于存在,,R ∈μλ使μλ+=且

1=+μλ”

。 (8)①在ABC ?中，1()3

PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?为ABC ?的重心；12

AB BC AD →

→→+=则AD →过三角形的重心； 例11、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（D ）（06河南高考）

A ．1230b b b -++=

B 1230b b b -+=

C ．1230b b b +-=

D ．1230b b b ++=

②PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为ABC ?的垂心； ③向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(BAC ∠的角分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心；(选)

⑤S ⊿AOB ＝A B B A y x y x -2

1; 例12、若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；

例13、若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||

AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）； 例14、若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则内角C 为____（答：120）；

(9)、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分.

＝λλ++121OP ;若λ＝1 则＝2

1(1+2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)则???????++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点???

????+=+=.2,22121y y y x x x 重心???????++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321 说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。

例15、已知A （4，-3），B （-2，6），点P 在直线AB 上，且||3||AB AP →→

=，则P 点的坐

标是（ ）（2，0），（6，-6）

(10)、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP '＝a 或??

?+='+='k

y y h x x 函数)(x f y =按),(k h a = 平移得函数方程为：)(h x f k y -=- 说明：（1）向量按向量平移，前后不变；

（2）曲线按向量平移，分两步：ⅰ确定平移方向----与坐标轴的方向一致；

ⅱ按左加右减，上加下减（上减下加）

例16、把函数22y x =的图象按向量(2,2)a =-平移后得到的解析式是_________。2286y x x =-+

例17、函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（答：)1,4

(π-） 结论：已知0:),,(),,(2211=++C By Ax l y x B y x A ,过B A ,的直线与l 交于点P ,则P 分

所成的比是C

By Ax C By Ax ++++-=2211

λ,若用此结论,以下两题将变得很简单. 例18、已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别是)2,2(),1,1(-，若直线l 的方程是0=++m my x ，直线l 与PQ 的延长线相交,则m 的取值范围是________.

解:由C

By Ax C By Ax ++++-=2211λ得m m 3221+-=λ,因为直线l 与PQ 的延长线相交,故1-<λ,解得3

23-<<-m 变式:已知点A(2,-1),B(5,3).若直线01:=+-y kx l 与线段AB 相交,求k 的范围.

提示: 由C

By Ax C By Ax ++++-=2211λ 得:02522>-+-=k k λ及直线过端点得521≤≤-k （11）对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++， 则四点P 、A 、B 、C 是共面?1x y z ++=．注意：（1）起点相同 （2）系数和是1。

（12） 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉

a ＝123(,,)a a a ，

b ＝123(,,)b b b ）.

（13）空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d =||AB AB AB =

?=.

（14）点Q 到直线l

距离h =

(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ). （15）正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C ===（R 是三角形的外接圆半径）