多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x

y z

???2 ，则在D 上，

x

y z

y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域

(1)y x z -=；(2)2

2

arccos y

x z u +=

3．求下列各极限

(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0

0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→

4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2

3y x z

???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x

y

arctg

z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

du

。

8．曲线??

???=+=

4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？

9．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x

z

??，y z ??。 12．设x y e e xy =+，求

dx

dy 。 13．设()y x f z ,=是由方程03

=+-xy z e z

确定的隐函数，求x

z

??，y z ??，y x z ???2。

14．设y ye z x cos 2

+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。 16．利用全微分求

()()2201.498.2+的近似值。

17．求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

18．求曲面39

142

22=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。 19．求曲线t x 3

4

=

，2t y =，3t z =上点()0000,,z y x M ，使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

20．求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。 21．求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

(B)

1．求下列函数的定义域

(1)()()[

]2

2

2

410ln ln arcsin y

x y x z --+-=；(2)2

22241

y x y x u ---+=

2．(1)设22,y x x y y x f -=??? ?

?

+，求()y x f ,，()xy y x f ,-。

(2)设()y x y x f 2,+=，求()()y x f xy f ,, 3．求下列函数的极限

(1)()

2

222221lim y x y x y x +∞→∞→????

?

?+-；(2) ???

? ??+-+→→222

2

110

sin lim y

x y

x y x e e

4．设()()()()?????=≠+=0,0,,00,0),(,,2

4y x y x y x xy

y x f 当当，问()y x f y x ,lim 0

→→是否存在？

5．讨论函数的连续性，其中()()??

?

??=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。 6．二元函数()()()()()?????=≠+=0,0,,00,0,,,2

2y x y x y x xy

y x f 在点()0,0处：①连续，偏导数存在；

②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

7．设()

y

y x z 21+=，求

x

z

??，y z ??。 8．设()z y x f u 2322

3

++=，求x

f

??，22x f ??。

9．设()z y x f u 2,3,22

3

=，求z

f

??，x z f ???2。

10．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。 11．设()0,,=+xz z y xy f ，求

x

z

??，y z ??。 12．设0=-z x y z ，求1

1

1===z y x dz 。

13．设()θθsin ,cos r r f z =可微，求全微分dz 。

14．设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数，其中f 具有连续的偏导数，求dz ，并由此求

x

z

??和y z ??。 15．求()

xy

y x z 2

2+=的偏导数。

16．设???=++=++1

02

22z y x z y x ，求dz dx ，dz dy

。

17．设xyz

e

u =，求z

y x u ????3。

18．求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9方向的方向导数。 19．求函数2

22z y x x u ++=

在点()2,2,1-M 沿t x =，22t y =，42t z -=在此 点的

切线方向上的方向导数。

20．求函数z y x u 2286+=在点P 处沿方向n

的方向导数。

21．判断题：(简单说明理由) (1)

()()

00,,y x y y x f ??就是()y x f ,在()00,y x 处沿y 轴的方向导数。 (2)若()y x f ,在()00,y x 处的偏导数y f ??，y

f

??存在，则沿任一方向l 的方向导数均存在。

22．证明曲面43

23232=++z y x 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

23．证明：球面∑：1222=++z y x 上任意一点()c b a ,,处的法线都经过球心。 24．求椭球面163222=++z y x 上的一点()3,2,1--处的切平面与平面0=z 的交角。 25．设u ，v 都是x ，y ，z 的函数，u ，v 的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数z xy u 2=在()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。

27．求接于椭球面122

222=++2c

z b y a x 的最大长方体的体积。

28．某公司通过报纸和电视做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R 与报纸广告费x 及电视广告费y (单位：万元)之间的关系有如下经验公式：

221028311415y x xy y x R ---++=，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最

优广告策略。

29．求函数()y x e y x f +=,的n 阶麦克劳林公式，并写出余项。

30．利用函数()y x y x f =,的2阶泰勒公式，计算02.111?的近似值。

(C)

1．证明0lim

2

2

0=+→→y

x xy y x 。

2．设()()y x y x y x f ,||,?-=，其中()y x ,?在点()0,0，邻域连续，问(1)()y x ,?在什么条件下，偏导数()0,0x f '，()0,0y f '存在；(2)()y x ,?在什么条件下，()y x f ,在()0,0处可微。

3．设()t x f y ,=而t 为由方程()0,,=t y x ?所决定的函数，且()t y x ,,?是可微的，试求

dx

dy 。 4．设()y x z z ,=由0ln 2

=-+?-dt e z z x

y t 确定，求y

x t

???2。

5．从方程组???=++++=++++11

2

2222v u z y x v u z y x 中求出x u ，x v ，2x u ，2x v 。 6．设()by

ax e

y x u z +=,，且

02=???y

x u

，试确定常数a ，b ，使函数()y x z z ,=能满足方程：

02=+??-??-???z y

z

x z y x z 。 7．证明：旋转曲面()

22

y x

f

z +=)0(≠'f 上任一点处的法线与旋转轴相交。

8．试证曲面a z y x =++(0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

9．抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

10．设x 轴正向到方向l 的转角为?，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1沿方向l 的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z

???2 连续 ，则在D 上，

x

y z

y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 必要 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 充分 条件。

2．求下列函数的定义域

(1)y x z -= 解：设定义域为D ，由

0≥y 和0≥-y x ，即02>≥y x ，0≥x

得(){}y x y x y x D ≥≥≥=2,0,0|,，如图1所示 (2)2

2

arccos

y

x z u +=

解：设定义域为D ，由

022≠+y x ，即x ，y 不同时为零，且

12

2

≤+y

x z ，

即 222y x z +≤，得

(){}

0,|,,22222≠++≤=y x y x z z y x D 。

3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim

00→→ (2)11lim 0

0-+→→xy xy

y x

解：原式????

?

??=→→y xy xy y x sin lim 00 解：原式)11)(11()11(lim 00-+++++=→→xy xy xy xy y x 001=?= (

)

211lim

=++=→→xy y x

(3)22222200)()

cos(1lim y x y x y x y x ++-→→

解：原式??????

? ??+????? ??++=→→222222222200422sin 2lim y x y x y x y x y x +∞=????

?

?+=

→→220011lim 21y x y x 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2

3y x z

??? 解：

()()1ln ln +=?+=??xy xy

y

x xy x z x xy y x z 122==??，023=???y

x z ， y xy x y x z 12==???，2

231

y y x z -=??? 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg

z = 解：2222

22

211

y x y y x y x x x y x x y x

z

+-=???

? ??-+=??? ??????

? ??+=?? 类似地

2

2211

y x x

x y y x y x

z +=??? ??????

? ??+=?? (2)()xy z ln = 解：

xy

x x y x y x x x z ln 21

1ln ln 121ln ln =

?+=+??=?? 同理可证得：

xy

y y z ln 21

=

?? (3)3

2z xy e u =

解：()

32323232z xy z xy e z y z xy x

e x z

=??=?? ()

3223322z xy z xy e xyz z xy y

e y u =??=??

()

323222323z xy z xy e z xy z xy z

e z u

=??=?? 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数

dt

dz

。 解：

()

u t v u t uv u u z sin cos 22-=+??=??， ()

uv u t uv v v z 2cos 2=+??=??，u t

z cos =??

依复合函数求导法则，全导数为

dt

dt t z dt dv v z dt du u z dt dz ???+???+???= ()

1cos 1

2sin 2?+?+-=u t uv e u t v t

()

t t t t e t e t

e e t t cos ln 2

sin ln 2++-=

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt

du 。 解：

dt

dz z u dt dy y u dt dx x u dt du ??+??+??= ()t e t e z y e x x x sin cos ++-= t e t sin 2=

8．曲线?????=+=

4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？

解：

242x x x z ==??，()

αtg z

z ==??15,4,2，故4

π

α=

。

9．求方程122

2222=++c

z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

解：关于x 求导，得到

02222

=?+x z c

z

a x ，即z a x c z x 22-= 关于y 求导，有

02222

=?+y z c

z

b y ，即z b y

c z y 22-=。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 解：先求一阶偏导数，得

y ye x

z

x 2sin 22+=??，y x e y z x 2cos 22+=?? 再求二阶偏导数，得

()

x x ye y ye x x z x x

z 222242sin 2=+??

=

??? ??????=??，

()

y e y ye y

x z y y x z x x 2cos 222sin 2222+=+??=??? ??????=???， ()

y e y x e y

y z x x y z x

x 2cos 222cos 2222+=+??=???? ??????=???， ()

y x y x e y y z y y z x 2sin 42cos 2222-=+??=???

? ??????=?? 11．设()y x f z ,=是由方程

y z z x ln =确定的隐函数，求x

z

??，y z ??。 解一：记()y

z

z x z y x F ln ,,-=

，则 z

F x 1

=

'，y y z z y F y 12=???? ??--='，221x

z

x z z x F z +-=--=' 当0≠'z F 时，便得z x z

z

x z F F x z z x +=

+--='

'-=??2

21

， ()z x y z z

z x y F F y z z y +=+--=''-=??221

。

解二：（提示）直接对方程

y

z

z x ln =两边求偏导数，并明确z 是x 、y 的函数，即可

得

x

z

??，y z ??。 12．设x y e e xy =+，求

dx

dy

。 解：令()x y e e xy y x F -+=,，则x x e y F -='，y y e x F +='，则

y

x

y x e

x e y F F dx dy +--=''-=。 13．设()y x f z ,=是由方程03

=+-xy z e z

确定的隐函数，求x

z

??，y z ??，y x z ???2。

解：方程两边对x 求偏导数，有

03=+??-??y x z x z e z

，即()

013=+??-y x

z

e z 解得 z

e y x z -=??13

类似地，方程两边对y 求偏导数，解得

z

e xy y z -=??132

再求二阶混合偏导数，得

()

()

2

322

113z

z z e y z e y e y x z y y z z -???? ????---=??? ??????=??? 把上述

y

z

??的结果代入，便得： (

)

[]

(

)

332

22113z z

z e

e xy e y y x z -+-=???。

14．设y ye z x cos 2

+=，求全微分dz 。 解：由于

22x xye x

z

=??，y e y z x sin 2-=??，所以全微分为 ()

dy y e dx xye dy y

z

dx x z dz x x sin 222-+=??+??=

。 15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

解：

()

()

72222,12

22,1=

++=

??y x x x

z ，()

()

7

4222,12

22,1=

++=

??y x y y

z 所以dy dx dz 7

4

72+=

。 16．利用全微分求

()()2201.498.2+的近似值。

解：设22y x z +=，则全微分y y

x y x y

x x dz ?++

?+=2

2

2

2

由近似关系dz z ≈?，得

()()y y

x y x y

x x y x y y x x ?++

?++

+≈?++?+2

2

2

2

222

2

上式中取3=x ，02.0-=?x ，4-y ，01.0=?y ，得

()()()01.04

3402.04

334301.498.22

2

2

2

222

2?++

-?++

+≈+

996.4008.0012.05=+-= 因此，所求近似值

()()996.401.498.22

2≈+。

17．求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

解：交线方程?????+==2

22y

x z x

y ，只要取x 作参数，得参数方程： ??

?

??+===,,,422x x z x y x x

则有

1=dx dx ，x dx dy 2=，342x x dx

dz +=，于是交线在点()2,1,1P 处的切线向量为{}6,2,1=。

切线向量为

6

2

2111-=-=-z y x 法平面方程为()()()026121=-+-+-z y x ，即01562=-++z y x 。

18．求曲面39

14222=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。

解：记()39

14,,2

22-++=z y x z y x F ，则 ()2,,x z y x F x =

'，()y z y x F y 2,,='，()z z y x F z 9

2,,=' 于是曲面在点P 处的法线向量为

()()(){}????

??

-=-'-'-'=32,2,13,1,2,3,1,2,3,1,2z y x F F F n

从而，切平面方程为()()()0332

1221=-++--?z y x ，即063

22=-+-z y x ，法线方程为

3

23

2112-=-+=-z y x 。 19．求曲线t x 3

4

=

，2t y =，3t z =上点()0000,,z y x M ，使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

解：曲线在点()0000,,z y x M 处的切线方程为

()()()

00

0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 又切线与平面62=++z y x 平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有

()()()0121000=?'+?'+?'t z t y t x ，即

034342

00=++t t ，得3

20-=t 所以0M 点的坐标为??

?

??--278,94,98。

20．求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。

解：解方程组()()???=--==-=024,0

24,y y x f x y x f y

x ，求得驻点()2,2-，由于()022,2<-=-=xx f A ，

()02.2=-=xy f B ，()22,2-=-=yy f C ，02>-B AC ，所以在点()2,2-处，函数取得极

大值，极大值为()92,2=-f 。

21．求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

解：解方程组()()()()?????=+==+++=0

22,01422,222y e y x f y y x e y x f x

y x x ，得驻点???

??-1,21。由于()()

124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点

??? ??-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，2

24e B AC =-，所以函数在点??? ??-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=??

?

??-。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？

解：设水池的长为x 米，宽为y 米，高为z 米，则材料造价为

()y x xz xy u ++=1620，(0>x ，0>y ，0>z )，<*1> 且x ，y ，z 必须满足

10=xyz ， <*2>

从<*2>解出xy z 10

=

代入<*1>，得???

? ??+1+=y x xy u 116020，(0>x ，0>y )，于是问题就成为求u 当0>x ，0>y 时的最小值，由极值的必要条件，有

????

???=-=??=-=??.016020;0160202

2y x y

u x y x u 解此方程组得2==y x 。

据题意存在最小造价，而2=x ，x y =是唯一驻点，所以当2=x ，2=y ，2

5

=z 时，水池的材料造最小。

(B)

1．求下列函数的定义域

(1)()()[]

222410ln ln arcsin y x y x z --+-=

解：设定义域D 。使()2

arcsin y x -有意义的区域为：12≤-y x ，即1122≤-≤-y x ，

1122+≤≤-y x y ，使()[]

22410ln ln y x --有意义的区域为：141022>--y x ，即

19

492

2<+y x 。

故定义域()??????<++≤≤-=1949,11|,222

2y x y x y y x D 。如图2

(2)2

22241

y

x y x u ---+=

解：设定义域为D 。由根式性质可知，必须041

2

222≥---+y

x y x ，且0422≠--y x ，即?????>--≥-+04012222y x y x 或?????<--≤-+0

40

12

222y x y x 解得： ()41|,22<+≤=y x y x D 。如图3

解：设?????==+v x y u y x ，则得???

???+=+=v uv y v

x 11

由此()()v v u v uv v u v u f +-=

??

?

??+-??? ??+=1111,22

2

从而()()y

y x y x f +-=11,2 ()()()xy

xy y x xy y x f +--=

-11,2

(2)设()y x y x f 2,+=，求()()y x f xy f ,,

解：()()()()xy y x y x xy y x f xy y x f xy f ++=++=+=4222,2,,. 3．求下列函数的极限

(1)()

2

222221lim y x y x y x +∞→∞→????

?

?+-

解：原式44

2

2222

21lim -+∞→∞→=????

? ?

?????

?

?+-=e y x y x y x (2) ???

? ?

?+-+→→222

211

0sin lim y

x y

x y x e e

解：原式1sin lim

2

2

2

2

11

0=-=++-→→y x

y x y x e e

4．设()()()()???

??=≠+=0,0,,00,0),(,,24y x y x y x xy

y x f 当当，问()y x f y x ,lim 0

→→是否存在？

解：①取沿直线x y =的途径，当()()0,0,→y x P 时，有

()11

1

lim lim

,lim 20240

=+=+?=→→=→=x x x x x y x f x x x y x x

y ，

②沿抛物线x y =的途径，当()()0,0,→y x P 时，有

()01

lim lim

,lim 30400=+=+=+

+

+→→=→=x x

x x x x y x f x x x y y x y 可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限()y x f y x ,lim 0

→→不存在。

5．讨论函数的连续性，其中()()??

?

??=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。

解：在()0,0处，()()()0,0022sin lim ,lim 0000f y x y x x y x f y x y x ==????

?

?--?=→→→→ 所以()y x f ,在()0,0处连续

若0200≠=y x ，则取路径y x 2=，0y ?则

()()()000022,222sin lim ,lim 0

y x f x y y

x y x x y x f x x y x x x y

x ≠==--?

=→=→= 因此，间断点为直线y x 2=，除()0,0以外的其他点。

6．二元函数()()()()()?????=≠+=0,0,,00,0,,,2

2y x y x y x xy

y x f 在点()0,0处：①连续，偏导数存在；

②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

解：应选③ 事实上，由于2220

01lim

k k

y x xy kx y x +=+→=→，随k 的值不同而改变，所以极限不存在，因而()y x f ,在点()0,0处不连续，又()()000

lim 0,02

20

=?+???='→?x

x x f x x ，类似地()00,0='y f ，所以

()y x f ,在()0,0处的偏导数存在。

7．设()

y

y x z 21+=，求

x

z

??，y z ??。 解：令y x u 21+=，y v =，于是v u z =，得

x

v

v z x u u z x z ?????+?????=?? ()

1

221120ln 2--+=?+?=y v v y

x xy u u xy vu ，

y

v v z y u u z y z ?????+?????=?? 1ln 21?+?=-u u x vu v v

()

()(

)

y x y x y

x y x y y 221

221ln 11++++=-。

8．设()z y x f u 2322

3

++=，求x

f

??，22x f ??。

解：

()

z y x f x x

f 23262

32++'=??，f x f x x f ''+'=??4223612。 9．设()z y x f u 2,3,22

3

=，求z

f

??，x z f ???2。

解：

32f z

f

'=??，312212f x x z f '=???。 10．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。

解：dy y z dx x z dz ??+??=

，先求x

z

??，y z ?? ()()21221222f f y x yf x f x f xy yf x

z

'+'+=?'+?'+=??， ()()21221222f f xy xf y f y f xy xf y

z

'-'+=?'-?'+=??， 所以()[]()[]

dy f f xy xf dx f f y x yf dz 21221222'-'++'+'+=。 11．设()0,,=+xz z y xy f ，求

x

z

??，y z ??。 解：关于x 求导，而()y x z z ,=，得

0321=??? ?

?

??+'+???

'+?'x z x z F x z F y F 即 ()03231=??'+'+?'+?'x

z

x F F z F y F (*) 得：

32312F F F F y x z

'

+''+'-=?? 相仿地，可得

3212F x F F x F y z '

+''+'-??。 12．设0=-z x y z ，求1

11===z y x dz 。

解：令z

x

y z F -=，y

y xz z

z z F x

F

x z z

x x ln ln 1

--=????=

??-， y

y xz zy z F y

F

y z z

x z ln 1

1

--=????-=??-- dy y

z

dx x z dz ??+??=

，于是在()1,1,1处dy dz =。 13．设()θθsin ,cos r r f z =可微，求全微分dz 。 解：()θθθd r r df dz sin cos -=()()θθsin cos 21r d f r d f '+'= ()()21cos sin sin cos f d r dr f d r dr '++'-=θθθθθθ ()()θθθθθrd f f dr f f sin cos sin cos 1221'-'+'+'=。

14．设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数，其中f 具有连续的偏导数，求dz ，并由此求

x

z

??和y z ??。 解：方程两边求全微分，得

()()021='+-'yz d f z x d f ，即()0211=+'+'-'udz zdy f dz f dx f ，

即 ()02121='-'-'+'dz f y f dy f z dx f ，当021≠='-'f y f 时，解出 dy f y f f z dx f y f f dz 212211'-''+'-''=

由此得到

211f y f f x z '-''=??，212f y f f z y z '

-''=??。 15．求()

xy

y x z 2

2+=的偏导数。

解：令22y x u +=，xy v =，则v u z =，z 是x ，y 的复合函数。

1-=??v vu u z ，u u v

z v ln =??， x x u 2=??，y y u 2=??，y x

v

=??，x y v =?? 于是，()()??

????++++=?+?=??-22222221ln 2ln 2y x y y x y x y x y u u x vu x z xy v v ， ()()??

????++++=?+?=??-22222221ln 2ln 2y x x y x xy y x x u u y vu y z xy v v 16．设???=++=++1

02

22z y x z y x ，求dz dx ，dz dy

。 解：所给方程组确定两个一元隐函数：()z x x =和()z y y =，将所给方程的两边对z 求导，得

???

???

?-=+-=+z dz dy y dz dx x dz

dy

dz dx 2221 在()02221

1≠-==

z y y

x D 的条件下

y x z y D y z dz dx --=--=2211，y x x

z D z x dz dy --=

--=2211。 17．设xyz

e u =，求z

y x u

????3。

解：

xyz yze x

u

=??， ()

xyz ye y

z y x u ??

=???2()()xyz xyz xyz e xyz z xyze e z +=+=1 ()()xy e xyz z zxye e xyz z

u x u

xyz xyz xyz ++++=????113

()xyz e z y x xyz 22231++=.

18．求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9方向的方向导数。

解：{}{}12,3,4214,14,59=---=L

13||=L ，134cos =α,133cos =β，13

12cos =γ。

因为

γβαcos cos cos z

u

y u x u l u ??+??+??=?? xy xz yz 13

12

133134++= 所以

()

1398

513121014221342,1,5=

?+?+?=

??l

u 。 19．求函数2

22z y x x

u ++=

在点()2,2,1-M 沿t x =，22t y =，42t z -=在此 点的

切线方向上的方向导数。

解：因曲线过()2,2,1-M 点，所以10=t ，()10='t x ，()40='t y ，()80-='t z ，切线的

方向余弦为??

?

??-98,94,91，又()

27

8

2

32

22

2

2=

+++=

M

M

x

z y x

z y u ，类似地，27

2

-=

M

y u ，272=

M

z

u ，故243

16

982729427291278-=-?+?-?=??l u 。

20．求函数z

y x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数。

解：????????????=z u y u x u gra ,,，

14

686622=

+=

??P

P

y

x z x x u

，

14

8

8682=+=

??2

P

P

y

x z y y u ，

14862

2

2-=+-=

??z

y x z u

P

由0n gra u

u

?=??，曲面的外侧法线向量为{}{}1,3,222,6,4==P z y x n 则

{}7111,3,214

1

14,148,146=?

??????-=??u u 。 21．判断题：(简单说明理由) (1)

()()

00,,y x y y x f ??就是()y x f ,在()00,y x 处沿y 轴的方向导数。

解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。 (2)若()y x f ,在()00,y x 处的偏导数y f ??，y

f ??存在，则沿任一方向l 的方向导数均存在。

解：错。由于偏导数仅刻画了()y x f ,在()00,y x 处沿x 轴或y 轴的变化率，要确定函数()00,y x 处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在()00,y x 处可微。

22．证明曲面43

23

23

2

=++z y x 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

证：令()4,,32232-++=z y x z y x F 。由于曲面()0,,=z y x F 的法向量是{}z y x F F F ,,，

故曲面上任一点()z y x ,,处法线方向向量为?

?????---31

313132

,32,32z y x ，设()Z Y X ,,为点()

z y x ,,处切平面上任一点，则切平面方程为()()()032323231

3131=-+-+--

--z Z z y Y y x X x ，即

43

13

13

1

=++---Z z Y y X x ，其截距式为

14443

13

13

1=+

+

---z

Z y

Y x

X ，由此得截距的平方和为：

()

644161632322=?=++z y x 。

23．证明：球面∑：1222=++z y x 上任意一点()c b a ,,处的法线都经过球心。