高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用

一、选择题

1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）

是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (

2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（）

0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=

3、的凸区间是 x e y x -=（）

) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞

4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（）

(A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2

x )x (f = (D)1x )x (f 2+=

5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值

6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（）

(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]

5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（）

(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，

8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3

x 3sin3x asinx f(x)π=+

=（） (A) 1 (B) 2 (C)

3 π

(D) 0

10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（）

]

5 4

, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (-

-- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）

的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点

，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000

二、填空题 1、__________________e

y 82

的凸区间是曲线-=．

2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

3、的凸区间为曲线

x 3 e y x

_____________________ ．

4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝．

5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝．

6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为，最小值为．

7、函数 x sin ln y =在 [

, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数?=。 11、y ＝x ＋ x 1 - ，－51x ≤≤ 的最小值为． 12、x x y -= 的单调减区间是． 13、x arctan x y -= 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间 [ 0 ,

2 π

] 上的最大值为． 15、函数y ＝3x 4x x 223+-+ 的单调减少区间是．

16、已知点（1，3）是曲线 23bx ax y += 的拐点，则a= ，b= ． 17、的单调递减区间为 e e 2)x (f x x -+= . 三、计算题

1、的极值和单调区间求函数 4x 9x 6x y 23-+-=。

2、求极限 )

1x x

x ln 1(

lim 1

x --→． 3、求函数y ＝23x 4x x 23+-+的单调区间、凹凸区间、拐点． 4、设常数0k >，试判别函数()ln x

f x x k e

=-+在()0,+∞内零点的个数． 5、求函数 10x 6x 2

3x y 2

3+--= 的单调区间和极值．

。 6．)

1 - e 1

x 1

(lim x 0

x -→． 7．[]上的最大值与最小值在求函数 1 , 1 x 45 y --=． 8．求曲线x

y ln =

的单调区间和凹凸区间.． 9. 求曲线34223+-+=x x x y 的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 x x e y -= 图形的凹凸区间及拐点．

11、的拐点求曲线 3

{ 3

t y t x +==. 12、求函数 4x 9x 6x y 23-+-= 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．

13、[]上的最大值、最小值，

在求函数 41 27x 18x 6x 2y 23+--=． 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x (1ln f(x ) 2+= 15、讨论函数x

x ln )x (f =

的单调性和凹凸性．

16、求曲线 )1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．

17. 求函数282

+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值与最小值． 18. 求函数 133+-=x x

y 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．

19. 试确定常数a 、b 、c 的值，使曲线 c bx ax x y 23+++= 在x= 2处取到极值，且与直线 3x 3y +-= 相切于点（1 ，0）．

四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)

1．证明：当x )2

,0(π

∈时，(sin )(cos )x x x > ．

2、 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，当．

3、证明： 2

cot arctan π

+x arc x ．

4、设 )x ( ? 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x －1))x ( ?，求证：存在x 0∈(0，1)，使)0( )x ( f 0?=’

． 5、试用拉格朗日中值定理证明：当 0b a >> 时，

a b a ln a b a -<<- ． 6、证明：当0>x 时，x

x +>

+1arctan )1ln(．

7、 x )x 1ln(x

1 x

, 0 x <+<+>时证明：当． 8、证明：当x>0时，有 1+

x 1 x

2 1

+> ． 9、证明当x sin 6

x x 0x 3

≤-≥时，．

10、证明：若 0 x >，则x

1 x

)x 1 (n l +>+ ． 11、)1ln(2

1 2

x x x x +<->时，证明：当 12、证明：多项式

13)(3+-=x x x f 在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．

13、证明当

x 13 x 2 1x -

>>时，. 14、x cos x sin x 2

x 0 >π<<时证明：当

答案：一、选择

1、A

2、D

3、A

4、D

5、D

6、B

7、A

8、C

9、B 10、A 11、A 二、填空 1、[2,2]- 2、1

ln 2

x =-

3、()(),33,2-∞-?--

4、2

5、39,22??- ???

6、2,1

7、2π

8、1 9、1ln 2-

10、1ln 2

11、5- 12、1x 4

< 13、-14 14、

+π

15、）上单调递减，在（3

16、29,23-

17、

)2ln 2

-∞-，（三、计算题

1、解：令231293(3)(1)0,y x x x x '=-+=--=可得驻点：121,3x x == ……2分列表可得

函数的单调递增区间为(,1)(3,)-∞+∞，单调递减区间为(1,3) ……5分极大值为1|0,x y ==极小值3|4x y ==- ……7分

2、解：原式＝1

111ln ln ln 1

lim

lim lim 1(1)ln ln 12ln 1x x x x x x x x x x x x x x x

→→→----===--+-+-

……6分

3、解：令26242(32)(1)0,y x x x x '=+-=-+=可得驻点：122

1,3

x x =-= ……2分列表可得

函数的单调递增区间为2(,1)(,)3

-∞-+∞，单调递减区间为2

(1,)3- ……4分

又令1220y x ''=+=得31

x =-. ……5分

所以凸区间为1(,)6-∞-,凹区间为1(,)6-+∞.拐点为119

(,3)627

-. ……7分

4、解： 11

()f x x e

'=- ……1分

当(0,)x e ∈时,()0f x '>,所以()f x 在[0,]e 上单调增加; ……2分又()0f e k =>,x 充分接近于0时, ()0f e <, ……3分故()f x 在(0,)e 内有且仅有一个零点. ……4分同理, ()f x 在(,)e +∞内也有且仅有一个零点. ……6分

5、解：解23363(2)(1)0,y x x x x '=--=-+=可得驻点：121,2x x =-= ……2分列表可得

函数的单调递增区间为(,1)(2,)-∞-+∞，单调递减区间为(1,2)- ……5分极大值为127

|,2

x y =-=极小值2|0x y == ……7分

6、解：原式＝01

lim x x x e x xe x →--- ……2分

＝01

lim 1

x x x x e xe e →-+- ……4分

＝01

lim 22

x x x x e xe e →=+ ……6分

7、解：当x 单调增加时，函数()54g x x =-单调减少，

所以函数()y x = ……2分

在区间[1,1]-函数()y x =

所以当1x =-时，函数取得最大值max 3y y ==； ……4分所以当1x =时，函数取得最小值min 1y y ==。 ……6分

8、解： '2

1ln ,x y x

令'

0y =，于是x e =。当0x e <<时，'0y >，函数单调增加；

当e x <时，'0y <，函数单调减少。 ……2分所以函数的单调增区间为：(0,)e ；

函数的单调减区间为：(,)e +∞。 ……4分

而 ''

2ln 3,x y x

-=令''

0y =，于是3

2x e =。 ……5分函数的凸区间为：32

(0,)e ；函数的凹区间为：32

(,)e +∞。 ……6分

9、解：因为

'26242(1)(32)y x x x x =+-=+-，

所以令'0,y = 得到122

1,3x x =-=

。 ……2分函数的单调增区间为： 2

(,1),(,)3-∞-+∞；

函数的单调减区间为： 2

(1,)3

-。 ……4分

又由于

''122y x =+，

于是函数的凸区间为：1

(,);6-∞-

函数的凹区间为：1

(,)6

-+∞。 ……6分

10、解：因为：

''',(2)x x x

y e xe y x e

---=-=-， (2)

分

令

'''0,0y y ==，得到： 121, 2y y ==。所以函数的单调增区间为：(,1)-∞，

函数的单调减区间为：(1,)+∞。 ……4分

函数的凸区间为：(,2)-∞，

函数的凹区间为：(2,)+∞。函数的拐点为：2(2,2)e -。 ……6分

11、解：322224)1(3 ,233t t dx y d t t dx dy -=+= ……3分令04)

1(3 3

222=-=t t dx y d 得 1,121=-=t t 从而得曲线的可能拐点为

)4 ,1( )2 ,1(和-，又二阶导数在该两点左右异号。所以 )4 ,1( )2 ,1(和- 为曲线的

拐点 ……6分

12、解：令.3,1 x ,0)3)(1(39123'212===--=+-=x x x x x y 得令 .2 ,0126''3==-=x x y 得 ……3 分列表如下

……7分

13、解：令 3 ]4,1[10)3)(1(618126'212=?-==-+=--=x x x x x x y （舍去），

，得驻点 ……3分比较函数在端点和驻点处的函数值，得[]上的最大值、最小值，

在函数 41 271862 23+--=x x x y 为 32,27max min =-=y y ……6分

14、解：令0)

1()

1(2)('',012)('2

222=+-==+=x x x f x x x f ，得1,0,1321==-=x x x ， …….3分

15、解： 3

12,0ln 3)('',,0ln

1)('e x x

x x f e x x x x f ==+-===-=得得 …….6分

16、解： 2222)1()

1(2'',12'x x y x x y +-=

+=，拐点为 )2ln ,1(),2ln ,1(- ……4分凹区间为),,1()1,(+∞--∞和凸区间为（-1，1） ……6分

17、解：由于 )2)(2(41643

-+=-='x x x x x y ……2分

所以，函数在[-1，3]上的驻点为2,0==x x 。 ……3分当x=0时，y=2,x=2时，y=-14 ……5分而x=-1时，y=-2, x=3时，y=11 ……7分所以函数的最大值为11，最小值为-14 ……8分

18、解：由于 )1)(1(3332

-+=-='x x x

y ……2分

所以，函数在[-2，0]上的驻点为1-=x 。 ……3分当x=-1时，y=3 ，而x=--2时，y=--1, x=0时，y=1 ……5分所以函数的最大值为3，最小值为-1 ……6分

19、解：根据已知条件得2

221|(32)|1240 dy |323

dx 10x x x dy x ax b a b dx a b a b c ===?=++=++=??

=++=-??

+++=?

?? …… 4分

解上面方程组得??

??==-=203c b a ……7分

四、综合题

（1）证：令 1()sin cos sin 22

F x x x x x x =-=-，(0,)2x π

∈

显然()F x 在区间(0,)2

上连续的，可导的。并且(0)0.F = ……2分

由于

'()1cos 2F x x =- ，

对于任意的(0,)2

x π

∈，'()0F x >。

所以函数()F x 在区间(0,)2π

上单调增函数。 ……4分

于是对于任意的(0,)2x π

∈，有

()(0)0F x F >=，

即为：

sin cos .x x x > ……6分

（2）证：令 )0(0)1ln()(',0)0(,1)1ln(1)(222>>++==+-+++=x x x x f f x x x x x f 则所以 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，当

（3）证：令 0)(',cot arctan )(=+=x f x arc x x f 则 ……4分所以 f (x) 恒为常数，又2

)1(π

=f ，从而2

cot arctan )(π

+=x arc x x f ……6分

（4）证：因为)x ( ? 在 [0,1] 上可导，所以f(x)＝(x －1))x ( ?在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。…… 4分根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x 0∈(0，1)，使)0(0

0()1()('0?=--=

f f x f ……8分

（5）证：设x x f ln )(=，则x

x f 1)(=' ……1分

对b a ln ln -用拉格朗日中值定理得 ))((ln ln b a f b a -'=-ξ，其中),(a b ∈ξ ……4分而b

b a b a b a f a b a -<

-=-'<-ξξ))((，所以b b

a b a ln a b a -<<- ……6分

（6）证：令x x x x f arctan )1ln()1()(-++= …… 1分则2

1)1ln()(x

x x f +-

++=' 。 …… 3分因为当0>x 时，0)1ln(11

1)1ln()(2

>+>+-

++='x x

x x f ， …… 4分所以)(x f 在),0(+∞上是严格单调连续递增函数，并且0)0(=f ， …… 5分故当0>x 时，0)(>x f ，即x

x +>+1arctan )1ln(。 …… 6分

（7）证：令x

x f x x f +=

'+=11

)(),1ln()( …… 1分对1ln )1ln()(-+=x x f 利用柯西中值定理存在

)0x ，（∈ξ使得)11)((1ln )1ln()(-+'=-+=x f x x f ξ …… 3分即ξ

+=+1)1ln(x x …… 4分

又由于)0x ，（∈

ξ，x x x x <+<+ξ11，所以x x <+<+)1ln(x

1 x …… 6分

（8）证：令21

()(1)(1)2

f x x x =+-+

()0,(0)2

f x x '=>> ……2分

故0x >时,()(0)0f x f >=即21

(1)(1),(0)2

x x x +>+> ……5分

从而1

1 2

x +> ……6分

（9）证：令3

()sin 6

x f x x x =-- 因为22222()1cos 2sin 2()0,(0)22222x x x x x f x x x '=--=-<-=< ……4分故0x ≥时,()(0)0f x f ≤=,即3

sin 6

x x x -≤ ……6分

（10）证：令

()ln(1),(0)1x

F x x x x

=+-

≥+ ……2分则()F x 在0x ≥的范围中是可导的，且 (0)0F =。

'22

11()1(1)(1)x F x x x x =

-=+++，对于任意的0x >，有'()0F x >。

所以函数()F x 在0x ≥的范围中是单调上升的。 ……4分

于是，对于任意的0x >，有

()(0)0F x F >=，

即：

ln(1)1x

x x

+。 ……6分

（11）证：令 2

()ln(1),2

x F x x x =+-+ (1)x ≥ 显然函数()F x 在区间[1,)+∞上连续并且可导。 ……2分且有：1

(1)ln 202

F =-

>。而且对于任意的1x >，2

1()10,11x F x x x x

-+=>++ ……4分所以对于任意的1x >，

()ln(1)(1)02

x F x x x F =+-+>>，

于是原不等式成立。 ……6分

（12）证：假设函数()f x 在区间[0,1]上至少存在两个不同的零点121

2,()x x x x <。 ……2分

函数()f x 在区间[0,1]上连续，可导。

于是有

12()()0f x f x ==。 ……4分

根据罗尔中值定理，则存在一点12(,)[0,1]x x η∈?，

使得

'2()3(1)0f ηη=-=，

显然这是不可能的。所以假设不成立。 ……6分

（13）证：令0111)('1 x , 13 2f(x) 22

32>-=-=>+-=x x x

x x f x x 时则当 ……4分所以当x>1 时，f(x)>f(1)=0 , 即有

x 1

3 x 2 1x -

>>时， ……6分

（14）证：令)2

0(02cos 1)(',0)0(,cos sin )(π

<>-==-=x x x f f x x x x f 则 ……3分

所以0)0()(, 2

0 =><

，即x x x x cos sin 2

<时当π

…….6分

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念一、问题的提出 1.切线问题割线的极限位置——切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题：例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求：（1）【答疑编号11030101：针对该题提问】（2）【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数：函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103：针对该题提问】解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104：针对该题提问】解例4、设函数【答疑编号11030105：针对该题提问】解

高等数学第2章导数与微分

第二章导数与微分教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念一、引例 1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

高数导数的应用习题及答案

一、是非题：１．函数 ()x f 在 []b a , 上连续，且()()b f a f =，则至少存在一点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平行于x 轴的切线．错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin = ；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

高等数学考研大总结之四导数与微分

第四章导数与微分第一讲导数一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()() 00,x f x f y x x x -=?-=?则()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0 x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限

高等数学中导数的求解及应用

高等数学中导数的求解及应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。一、导数的定义 1.导数的定义设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。 2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。二、导数的应用 1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”

高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >； D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =- 选择B.

高等数学第三章微分中值定理及导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（） 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 3、的凸区间是 x e y x -=（） 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+=（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝．

第二章导数与微分高等数学同济大学第六版

第二章导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系讲解提纲：一、引例：引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；

《高等数学》训练题：导数的应用及答案

1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（）．（A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（）．（A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（）．（A ）（1，6）（B ）（2，3）（C ）（2，4）（D ）（3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（）．（A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立；（B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立；（D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（）可用罗必达法则得出结果．（A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞；（C ）lim x →+∞；（D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（）．（A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点；（C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值；

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)

> 第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ ， 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， & 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 、二、填空题 2 x -

高等数学导数与微分练习题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。（4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x

考研数学高数习题—微分中值定理

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-微分中值定理知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块六微分中值定理 1、在区间[]1,1-上，判断下列函数是否满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的条件，并说明理由。（1）()f x x = （2）,11()1,1x x f x x -≤

高等数学微分中值定理与导数应用习题

微分中值定理与导数应用一、选择题 1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【】 A. π B. 2π C. 3 π D. 4 π 2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【】 A. x ln B. x ln ln C. x ln 1 D. )2ln(x - 3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【】 A. 一个实根 B. 二个实根 C. 三个实根 D. 无实根 4. 下列命题正确的是【】 A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点 B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点 5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【】 A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为

凸弧 6. 下列命题正确的是【】 A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点 B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点 7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【】 A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【】 A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点 B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点 D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点 9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【】 A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 10. 函数2 56, y x x =-+在闭区间

同济大学高等数学《导数及其应用》教案

第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

§2、1导数的概念一、引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。设曲线方程为 )(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当 0t t →时， 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，二、导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0 0) ()(lim x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。定义：设函数 )(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数 y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '， 0x x y ='， x x dx dy =或 x x dx df =。即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。

高数选择题(导数与微分)

导数与微分 1、设函数()x f 可导且下列极限均存在，则不成立的是（）。 a 、()()()00lim f x f x f x '=-→ b 、()()()0000lim x f x x x f x f x '=??--→? c 、()()()a f h a f h a f h '=-+→2lim d 、()()()00002lim x f x x x f x x f x '=??--?+→? 2、设f (x )可导且下列极限均存在，则 ( ) 成立. A 、 ) (21 )()2(lim 0000x f x x f x x f x '=?-?+→? B 、 )0()0()(lim 0f x f x f x '=-→ C 、 )()()(lim 0000x f x x f x x f x '=?-?-→? D 、 )()()2(lim 0a f h a f h a f h '=-+→ 3、已知函数 ???>≤-=-001)(x e x x x f x ，则f (x )在x = 0处 ( ). ① 导数(0)1f '=- ② 间断 ③ 导数)0(f '=1 ④ 连续但不可导 4、设()()()()321---=x x x x x f ，则()0f '=（）。 a 、3 b 、3- c 、6 d 、6- 5、设()x x x f ln =，且()20='x f ，则()0x f =（）。 a 、 e 2 b 、2 e c 、e d 、1 6、设函数()?? ?-=1 ln x x x f 11?≥x x ，则()x f 在点x=1处（）。 a 、连续但不可导 b 、连续且()11='f c 、连续且()01='f d 、不连续 7、设函数()???=x xe x f x 00≥?x x 在点x=0处（）不成立。 a 、可导 b 、连续 c 、可微 d 、连续，不可异 8、函数()x f 在点0x 处连续是在该点处可导的（）。 a 、必要但不充分条件 b 、充分但不必要条件

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