高中数学三角函数公式大全
1.理解集合中元素的意义.....是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?… ; 2.数形结合....是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
3.(1)含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n
-1;非空真子
集的数为2n
-2;
(2);B B A A B A B A =?=??Y I 注意:讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
4.φ是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 2
2
2
2b a b
a a
b +≤
+≤; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(x
a 、x sin 、x cos 等)
;⑨导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为[a ,b ],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数:内函数)(x g u =与外函数)(u f y =;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件....; ⑵)(x f 是奇函数?f(-x)=-f(x);)(x f 是偶函数?f(-x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ;
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义:
①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有
12()()f x f x <;
②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有
12()()f x f x >;
⑵单调性的判定
① 定义法:一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号; ②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性
(1)周期性的定义:对定义域内的任意x ,若有)()(x f T x f =+ (其中T 为非零常数),则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期
①π2:sin ==T x y ;②π2:cos ==T x y ;③π==T x y :tan ; ④|
|2:)cos(),sin(ωπ
?ω?ω=
+=+=T x A y x A y ;⑤|
|:tan ωπω=
=T x y ; (3)与周期有关的结论
)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期
为a 2;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数:α
x y = ()R ∈α ;⑵指数函数:)1,0(≠>=a a a y x
;
⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ;⑷正弦函数:x y sin =; ⑸余弦函数:x y cos = ;(6)正切函数:x y tan =;⑺一元二次函数:
02=++c bx ax ;
⑻其它常用函数:
① 正比例函数:)0(≠=k kx y ;②反比例函数:)0(≠=
k x
k
y ;③函数)0(>+
=a x
a
x y ; 9.二次函数: ⑴解析式:
①一般式:c bx ax x f ++=2
)(;②顶点式:k h x a x f +-=2
)()(,)
,(k h 为顶点;
③零点式:))(()(21x x x x a x f --= 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根
符号。
二次函数c bx ax y ++=2
的图象的对称轴方程是a
b
x 2-
=,顶点坐标是???
? ??--a b ac a b 4422,。 10.函数图象: ⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=,)0(>a ———左“+”右
“-”;
ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”; ② 对
称
变
换
:ⅰ
)
(x f y =??→
?)0,0()
(x f y --=;
ⅱ)(x f y =?→?=0
y )(x f y -=;
ⅲ
)
(x f y =?→
?=0x )
(x f y -=;
ⅳ)(x f y =??→
?=x
y ()x f y =; ③ 翻转变换:
ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动,右向左翻()(x f 在y 左侧图
象去掉);
ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动,下向上翻(|)(x f |在x 下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数)(x f y =图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性,即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在)(x g y =的图象上,反之亦然;
注:①曲线C 1:f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C 2方程为:f(-x,-y)=0;
②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为:f(-x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为:f(x, -y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为:f(y, x)=0 ③f(a+x)=f(b-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=
2
b
a +对称; 特别地:f(a+x)=f(a -x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=a 对称; 12.函数零点的求法:
⑴直接法(求0)(=x f 的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)
内至少有一个零点。 13.导数
⑴导数定义:f(x)在点x 0处的导数记作
x
x f x x f x f y x x x ?-?+='='
→?=)()(lim
)(00000
;
⑵常见函数的导数公式: ①'
C 0=;②1
'
)(-=n n nx
x ;
③x x cos )(sin '
=;④x x sin )(cos '
-=;⑤a a a x
x ln )('
=;
⑥x x e e =')(;⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧x
x 1)(ln '
= 。
⑶导数的四则运算法则:
;)(;)(;)(2
v v u v u v u v u v u uv v u v u '
-'=''+'=''±'='± ⑷(理科)复合函数的导数:;x u x u y y '?'='
⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性:
①)(0)(x f x f ?>'是增函数;②)(0)(x f x f ?<'为减函数;③)(0)(x f x f ?≡'为常数; ③利用导数求极值:ⅰ)求导数)(x f ';ⅱ)求方程0)(='x f 的根;ⅲ)列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ)求的极值;ⅱ——求区间端点值(如
果有);ⅲ)得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:π弧度ο
180=,180
1π=
ο
弧度,1弧度
ο)180
(
π
='1857ο≈
⑵弧长公式:R l θ=;扇形面积公式:Rl R S 2
1
212==θ。
2.三角函数定义:角α中边上任意一P 点为),(y x ,设r OP =||则:,cos ,sin r x r y ==
ααx
y
=αtan 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”; 5.⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴:2
x k π
ω?π+=+
;对称中心:
))(0,(Z k k ∈-ω?
π;
⑵)cos(?ω+=x A y 对称轴:
x k ω?π+=;对称中心:)
)(0,2(
Z k k ∈-+ω
?
π
π;
6.同角三角函数的基本关系:x x
x
x x tan cos sin ;1cos sin 22==+; 7.三角函数的单调区间:
x y sin =的递增区间是??????
+-2222ππππk k ,)(Z k ∈,递减区间是?????
?
++23222ππππk k ,)(Z k ∈;x y cos =的递增区间是[]πππk k 22,-)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22,)(Z k ∈,
tgx y =的递增区间是??? ?
?
+-22ππππk k ,)(Z k ∈,ctgx y =的递减
区间是()πππ+k k ,)(Z k ∈。
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos(βαβαβαμ=±③
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=± 。
9.二倍角公式:①αααcos sin 22sin =; ②ααααα2222
sin 211cos 2sin cos
2cos -=-=-=;
③α
α
α2tan 1tan 22tan -=。
2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±
10.正、余弦定理: ⑴正弦定理:
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===
(R 2是ABC ?外接圆直径 )
注:①C B A c b a sin :sin :sin ::=;②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;③
C
B A c
b a C
c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=
==。 ⑵余弦定理:A bc c b a cos 22
2
2
-+=等三个;
bc a c b A 2cos 2
22-+=等三个。
()()ααsin sin -=- ()ααcos cos =-
()ααtan tan -=- 1cos sin
2
2
=+
ααπcos 2sin =???
??- ααπcos 2sin =??
?
??+
ααπsin 2cos =??
?
??-
ααπsin 2cos -=??
?
??+
α
απtan 12tan =???
??-
ααπtan 12tan -
=??
?
??+
()ααπsin sin =- ()ααπsin sin -=+ ()ααπcos cos -=- ()ααπcos cos -=+
()ααπtan tan -=-
()ααπtan tan =+
()()?ω+=x A x f sin ()0,0>>ωA
周期:
π
2=
T 频率:f 1=
11。几个公式:
⑴三角形面积公式:11
sin 22
ABC S ah ab C ?=
=; ⑵内切圆半径r=c
b a S ABC ++?2;外接圆直径2R=
;sin sin sin C
c
B b A a == 第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧=rh π2;③体积:V=S 底h
⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧=rl π;③体积:V=
3
1S 底
h :
⑶台体:①表面积:S=S 侧+S 上底S 下底;②侧面积:S 侧=l r r )('
+π;③体积:V=
3
1
(S+''S SS +)h ; ⑷球体:①表面积:S=2
4R π;②体积:V=3
3
4R π 。
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行?线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。 4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法:
①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法:
cos |cos ,|
a b θ=<>r r
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②用向量法:
sin |cos ,|
AB n θ=<>u u u r r
5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离) 点到平面的距离:①等体积法;②向量法:|
|n d =
。
6.结论:
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ,b ,c
,则对角线长为
2ab+2bc+2ca ,体积V=abc 。
⑵正方体的棱长为a
,全面积为6a 2
,体积V=a 3
。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R 等于长方体或正方体的对角线长。 ⑷正四面体的性质:设棱长为a ,则正四面体的:
① 高:a h 36=
;②对棱间距离:a 22;③内切球半径:a 12
6;④外接球半径:
a 4
6
。 第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式:)(οοx x k y y -=- ;⑵斜截式:b kx y += ;⑶截距式:
1=+b
y
a x ; ⑷两点式:
1
21
121x x x x y y y y --=-- ;⑸一般式:0=++C By Ax ,(A ,
B 不全为0)。
2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系:
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
2
22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 2
1,l l 有斜率
已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 4.几个公式 ⑴设A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C (x 3,y 3),⊿ABC 的重心G :(3
,3321321y y y x x x ++++);
⑵点P (x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离:2
200B A C By Ax d +++=;
⑶两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2221B A C C d +-=;
5.圆的方程:
⑴标准方程:①2
2
2
)()(r b y a x =-+- ;②2
2
2
r y x =+ 。
⑵一般方程:022=++++F Ey Dx y x ()042
2>-+F E D
注:Ax 2
+Bxy+Cy 2
+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2
+E 2
-4AF>0;
6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。 7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:(d 表示点到圆心的距离) ①?=R d 点在圆上;②?
⑵直线与圆的位置关系:(d 表示圆心到直线的距离)
①?=R d 相切;②?
⑶圆与圆的位置关系:(d 表示圆心距,r R ,表示两圆半径,且r R >)
①?+>r R d 相离;②?+=r R d 外切;
③?+<<-r R d r R 相交;
④?-=r R d 内切;⑤?-< 、直线与圆相交所得弦长||AB = 第六部分 圆锥曲线 1.定义:⑴椭圆:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+; ⑵双曲线:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-;⑶抛物线:|MF|=d 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆:0 201,ex a PF ex a PF -=+=(e 为离心率); (左“+”右“-”); ②抛物线:2 0p x PF + = ⑵弦长公式:]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= 注:⑴抛物线:AB =x 1+x 2+p ;⑵通径(最短弦):①椭圆、双曲线: a b 22;②抛物线:2p 。 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:12 2=+ny mx (n m ,同时大于0时表示椭圆,0 ⑷双曲线中的结论: ①双曲线122 22 =-b y a x (a>0,b>0)的渐近线:02 2 22 =-b y a x ; ②共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数, λ≠0) ; ③双曲线为等轴双曲线??= 2e 渐近线为x y ±=?渐近线互 相垂直; ⑸焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题: ①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2);②作差得ΛΛ=--=2 12 1x x y y k AB ;③解决问题。 4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分 平面向量 ⑴设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则: ① a ∥b (b ≠0)?a =λb ()R ∈λ?x 1y 2-x 2y 1=0; ② a ⊥b (a 、b ≠0)?a·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0 ⑵a·b =|a ||b |cos=x 2+y 1y 2; 注:①|a |cos叫做a 在b 方向上的投影;|b |cos叫做b 在a 方向上的投影; ① a·b 的几何意义:a·b 等于|a |与|b |在a 方向上的投影|b |cos 的乘积。 ⑶cos= | |||b a b a ?; ⑷三点共线的充要条件:P ,A ,B 三点共线 ?x y 1OP xOA yOB =++=u u u r u u u r u u u r 且; (理科)P ,A ,B ,C 四点共面?,x y z 1OP xOA yOB zOC =++++=u u u r u u u r u u u r u u u r 且。 第八部分 数列 1.定义: ⑴等差数列 *),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=?=-?-++为常数)}{ Bn An s b kn a n n +=?+=?2; ⑵等比数列 N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2 n 1n n ∈≥?=?≠=? ++a a a q q a a a n { 2.等差、等比数列性质 等差数列 等比数列 通 项 公 式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a 前 n 项 和 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= q q a a q q a S q na S q n n n n --=--= ≠==11)1(1.2;1.11 11时,时, 性质 ①a n =a m + (n -m)d, ①a n =a m q n-m ; ②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q ③ Λ ,,,232k k k k k S S S S S --成 AP ③Λ,,,232k k k k k S S S S S --成GP ④Λ,,,2m k m k k a a a ++成AP,md d =' ④Λ,,,2m k m k k a a a ++成GP,m q q =' 3.数列通项的求法: ⑴定义法(利用AP,GP 的定义);⑵累加法(n n n c a a =-+1型);⑶公式法: ⑷累乘法(n n n c a a =+1型);⑸构造法(b ka a n n +=+1型); ⑺间接法(例如:41141 1 1=-?=----n n n n n n a a a a a a );⑻(理科)数学归纳法。 4.前n 项和的求法:⑴分组求和法;⑵裂项法;⑶错位相减法。 5.等差数列前n 项和最值的求法: ⑴??? ? ? ????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或 ;⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1.均值不等式:2 2 2 2b a b a a b +≤+≤ 注意:①一正二定三相等;②变形,2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤。 2.绝对值不等式:||||||||||||b a b a b a +≤±≤- 3.不等式的性质: ⑴a b b a >;⑵c a c b b a >?>>,;⑶c b c a b a +>+?>;d c b a >>, d b c a +>+?;⑷bd ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0,;,0>>b a 0c d >> ac bd ?>;⑸)(00* ∈>>?>>N n b a b a n n ;⑹?>>0b a )(*∈>N n b a n n 线性规划类: ()?? ? ??????-=??? ??-? ?? ????? ??-=∑∑∑∑∑=====x b y a x x n y x y x n b n i n i i i n i i n i i n i i i 1212 111 * ()()() () ???????? ? -=---=--=∑∑∑∑===x b y a x x y y x x x n x y x n y x b n i i i i n i i n i i i 1 2 21 21** 导数类: ()k b kx =+, 为常数)( C C 0,= 1, =x ()x x 2, 2= x x 2 , 1 1- =?? ? ?? ()1 , -=αααx x ()()1,0ln , ≠>=a a a a a x x 且 ()e e x x =, ()()1,0ln 1 log 1log , ≠>= =a a a x a x a e x 且 ()x x 1ln ,= ()x x cos sin ,= ()x x sin cos ,-= ()()[]()()x g x f x g x f ,,,±=±()[]()()为常数C x Cf x Cf ,,= ()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f ,,,+= ()()()()()()()()()02 ,,, ≠+=?? ????x g x g x g x f x g x f x g x f 第十部分 复数 1.概念: ⑴z=a+bi∈R ?b=0 (a,b∈R)?z=z ? z 2 ≥0;⑵z=a+bi 是虚数?b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数?a=0且b≠0(a,b∈R)?z +z =0(z≠0)?z 2<0; ⑷a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd )+ (ad+bc)i ;⑶z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2 222+-+++ (z 2≠0) ; 3.几个重要的结论: 222221221221)2();(2)1(z z z z z z z z z z ==?+=-++;⑶i i 2)1(2 ±=±; ⑷;11;11i i i i i i -=+-=-+ ⑸i 性质:T=4;i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1; ;03424144=++++++n n n i i i i 4.模的性质:⑴||||||2121z z z z =;⑵| |||||2121z z z z =;⑶n n z z ||||=。 第十一部分 概率 1.事件的关系: ⑴事件B 包含事件A :事件A 发生,事件B 一定发生,记作B A ?; ⑵事件A 与事件B 相等:若A B B A ??,,则事件A 与B 相等,记作A=B ; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生或B 发生,记作B A ?(或B A +); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生且B 发生,记作B A ?(或AB ) ; ⑸事件A 与事件B 互斥:若B A ?为不可能事件(φ=?B A ),则事件A 与互斥; ﹙6﹚对立事件:B A ?为不可能事件,B A ?为必然事件,则A 与B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型:基本事件的总数 包含的基本事件的个数 A A P = )(; ⑶几何概型: 等) 区域长度(面积或体积试验的全部结果构成的积等) 的区域长度(面积或体构成事件A A P = )( ; 第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N ,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为N n ; ②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?N n 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数∑==+???++=n i i n x n x x x n x 1 211)(1; ⑵样本方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -+???+-+-=21 )(1x x n n i i -=∑= ; ⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+???+-+-= =21 )(1x x n n i i -∑= ; 3.相关系数(判定两个变量线性相关性): ∑∑∑===----= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 21 )()() )(( 注:⑴r >0时,变量y x ,正相关;r <0时,变量y x ,负相关;⑵①||r 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②||r 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和: ∑=-n i i y y 1 2 ) (; ⑵残差:∧ ∧-=i i i y y e ;⑶残差平方和: 2 1 ) (∑=∧ -n i yi yi ; ⑷回归平方和: ∑=-n i i y y 1 2 )(-21 )(∑=∧ -n i yi yi ;⑸相关指数 ∑∑==∧ --- =n i i i n i i i y y y y R 12 1 2 2)()(1 。 注:①2R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ②2R 越接近于1,,则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系): 随机变量2K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。 第十三部分 算法初步 1.程序框图: 处理框(执行框);④ 判断框;⑤ 流程线 ; ⑵程序框图分类: ①顺序结构: ②条件结构: 构: r=0? n 除以i 的余数 i=i+1 i=2 i n 或r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体, 再判断条件。 2.基本算法语句: ⑴输入语句: INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 ⑴原命题:若p 则q ; ⑵逆命题:若q 则p ; ⑶否命题:若?p 则?q ; ⑷逆否命题:若?q 则?p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系:例如:若B A ?,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件; 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p ∧q ; p q p ∧q p ∨q ?p ⑵或(or ):命题形式 p ∨q ; 真 真 真 真 假 ⑶非(not ):命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用?表示; 全称命题p :)(,x p M x ∈?; 全称命题p 的否定?p : )(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用?表示; 特称命题p :)(,x p M x ∈?; 特称命题p 的否定?p : )(,x p M x ?∈?; 第十五部分 推理与证明 1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 二.证明 ⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推 证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因 此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。 附:数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数n 有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当n 取第一个值0n 是命题成立; ⑵假设当),(0* ∈≥=N k n k k n 命题成立,证明当1+=k n 时命题也成 立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从0n 开始所有的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; ② 0n 的取值视题目而定,可能是1,也可能是2等。 第十六部分 理科选修部分 1. 排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式:m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m +1)= )!(! m n n -(m≤n,m、n∈N*), 当m=n 时为全排列n n A =n(n-1)(n-2)…组合数公式: 123)2()1()1()1(!?????-?-?--???-?==m m m m n n n m A C m n m n (m≤n),10==n n n C C ; ⑶组合数性质:m n m n m n m n n m n C C C C C 11;+--=+=; ⑷二项式定理: )()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ΛΛ ①通项:);,...,2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+②注意二项式系数与系 数的区别; ⑸二项式系数的性质: ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n 为偶数,中间一项(第 2n +1项)二项式系数最大;若n 为奇数,中间两项(第21+n 和2 1+n +1项)二项式系数最大; ③ ; 2;213120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用赋值法。 2. 概率与统计 ⑴随机变量的分布列:①随机变量分布列的性质:p i ≥0,i=1,2,...; p 1+p 2+ (1) ②离散型随机变量: 期望:EX = x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ; 方差:DX = ???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注:DX a b aX D b aEX b aX E 2 )(;)(=++=+; ③二项分布(独立重复试验): 若X ~B (n,p ),则EX =np, DX =np (1- p );注: k n k k n p p C k X P --==) 1()( 。 ⑵条件概率:称) () ()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。 注:①0≤P (B|A )≤1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率:P (AB )=P (A )P (B )。 ⑷正态总体的概率密度函数:,,21)(2 22)(R x e x f x ∈= -- σμσ π式中σμ,是 参数,分别表示总体的平均数(期望值)与标准差; (6)正态曲线的性质: ①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x =μ 对称; ③曲线在x =μ处达到峰值 π σ21 ;④曲线与x 轴之间的面积为1; ① 当σ一定时,曲线随μ质的变化沿x 轴平移; ② 当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越集中; σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越分散。 注:P )(σμσμ+≤<-x =;P )22(σμσμ+≤<-x = P )33(σμσμ+≤<-x = 三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⊿ = 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin = A C B a sin 2sin sin 2= B C A b sin 2sin sin 2= C B A c sin 2sin sin 2=pr= ))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角 函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 三角函数值等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ① β αβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ±μ1)( ④ 1)((β αβαβαtg tg tg tg tg ?±=±μ 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ212cos sin 22sin tg tg += = ②θθθθθθθ222 22211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θ θθ2 122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222 θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θ θ+= 7.半角公式:(符号的选择由2θ 所在的象限确定) ①2 cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12 sin 2 θθ -= ③ 2 cos 12 cos θ θ +± = ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2 sin 2cos 12θ θ=- ⑥2 cos 2cos 12 θ θ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θ θ θ θ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [] )sin()sin(21 cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(2 1 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(2 1 cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+- =cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式: ① 2 cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ ② 2 sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- ③2 cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ ④2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 高中数学公式:三角函数公式大全三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全: 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=, 正弦:r y =αsin 余弦:r x =αcos 正切:x y = αtan 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系:α α αcos sin tan = , 平方关系:1cos sin 22=+αα, 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变,符号看象限) ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值,等于α的异名函数值, 前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限) 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角) αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式) ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +-=,α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切.. 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a () 其中:角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同, 2 2sin b a b += ?,2 2cos b a a += ?,a b = ?tan 。 八、正弦定理 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即: 函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式: 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 三角函数公式大全关系: 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 (sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ) 证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ) 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比),用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦: sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a 高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=(√6-√2)/4 sin75°=(√6+√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin (45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用,即黄金分割的一半) 正弦定理:在△ABC 中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中,R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 三角函数公式 1. 同角三角函数基本关系式 sin 2 α+cos 2 α=1 sin α cos α =tan α tan αcot α=1 2. 诱导公式 (奇变偶不变,符号看象限) (一) sin(π-α)=sin α sin(π+α)=-sin α cos(π-α)=-cos α cos(π+α)=-cos α tan(π-α)=-tan α tan(π+α)=tan α sin(2π-α)=-sin α sin(2π+α)=sin α cos(2π-α)=cos α cos(2π+α)=cos α tan(2π-α)=-tan α tan(2π+α)=tan α (二) sin(π2 -α)=cos α sin(π2 +α)=cos α cos(π2 -α)=sin α cos(π 2 +α)=- sin α tan(π2 -α)=cot α tan(π 2 +α)=-cot α sin(3π2 -α)=-cos α sin(3π 2 +α)=-cos α cos(3π2 -α)=-sin α cos(3π 2 +α)=sin α tan(3π2 -α)=cot α tan(3π 2 +α)=-cot α sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α 3. 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β tan(α-β)= tan α-tan β 1+tan αtan β 4. 二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2 cos 2α-1=1-2 sin 2α tan2α=2tan α 1-tan 2α 定义式 ) ct 函数关系 倒数关系:;; 商数关系:;. 平方关系:;;.诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式:sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理: A a sin =B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) ⒊余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系: ⑴商的关系:①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系:1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系:1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a (其中辅助角?与点(a,b ) 在同一象限,且a b tg =?) ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质:(0,0>>A ω) 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y =αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan或t g) 余切(cot或ct g) 正割(sec) 余割(csc) 表格参考资料来源:现代汉语词典[1]. 函数关系 倒数关系:①;②;③ 商数关系:①;②. 平方关系:①;②;③. 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限[2].即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 高中数学三角函数公式汇总(正版)一、任意角的三角函数 在角正弦:正切:正割:的终边上任取一点 P(x, y) ,记: 2 2 rx y ,.. y x sin 余弦: cos r r y x tan 余切: cot x y r r sec 余割: csc x y 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正.. 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系: sin csc 1 , cos sec 1, tan cot 1 。 商数关系: tan sin , cot cos 。cos sin 平方关系: sin 2 cos2 1,1 tan 2 sec2 ,1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名 .. 不变,符号看象限) ⑵、、3 、 3 的三角函数值,等于的异名函数值, 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看 .. 象限) 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角) 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ,tan 1 cos2 sin 2 cos 2 , 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式) 2 tan 1 tan 2 , tan 2 2 tan 。 sin 2 2 , cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切..来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2 高中数学三角函数公式大全三角函数和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角函数积化和差公式 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 三角函数万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 三角函数半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三角函数三倍角公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 三角函数倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数两角和与差公式 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高中数学公式三角函数公式大全
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