连续函数的一个性质及其应用
一元连续函数的一个性质及其应用
叶留青 杨秀芹
焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454001
树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数方法，是初等数学教育教学的重要内容之一。幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问题进行探讨表明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题规范，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。
1.关于一元连续函数的一个性质定理
设()m
f x x =，则幂平均不等式可表示为
（1）()1111n n i i i i f x f x n n ==??
≥ ???∑∑其中0i x >()1,2,
,i n =，1m ≥ （2）()1111n n i i i i f x f x n n ==??
≤ ???
∑∑其中0i x >()1,2,
,i n =，01m <≤
1.1引理 设()f x 是区间Q 上的连续函数，,(1,2,,1)i x Q i n ∈=+，且1231n x x x x +≤≤≤
≤。
用()
n M
表示点()1111,n n i i i i x f x n n ==?? ???
∑∑（下同），则点()1n M +在以点()n M 和点()()11,n n A x f x ++为端
点的线段()
n M A 上。
证明 因为
()()()1
11
11
111111111111n
n
i i i i n n i i i i n n x f x n n x f x n n x f x ==++==++++∑∑∑∑＝()()
()
()
1
1
1
1
1
1
1
11
111
n
n
i i
i i n n i i
i i n n x f x n x f x n n n x f x ==++==++++∑∑∑∑ ＝
()
()
()
()
111
1
1
11
11
n
n
i
i
i i n
n
i
i
i i n n x f x n x f x n n n x f x ====+++∑∑∑∑＝0
基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803） 作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人， 硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。
所以点()
n M
，()
1n M
+，A 共线。由1231n x x x x +≤≤≤
≤易知1
111
111n n i i n i i x x x n n ++==≤≤+∑∑，故点
(
)
1n M +在线段()
n M
A 上。
1.2 定理 函数()f x 在区间Q 上，
（1）若()f x '是增函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==??
≥ ???∑∑
（2）若()f x '是减函数，则对于,(1,2,
)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==??≤ ???∑∑
（3）若()f x '是常函数，则对于,(1,2,)i x Q i n ∈=有()1111n n i i i i f x f x n n ==??= ???
∑∑
证明（1）不妨设123n x x x x <<<
<，曲线()f x 上横坐标为(1,2,
)i x i n =的点为I A ,弦1n
A A 与弧1n A A 围成的区域（包括边界）为P （如图）
下面先证明：对于任意自然数(1)N N n ≤≤点()
N M
在P 上。当1N =时，(1)
1M A =,所以点(1)
M 在P 上。假设点N k =时()11k n ≤≤-，点k
M
在P ,已知点1
k
A 在弧1n A A 上，所以线段
1k
k M A 的两端点都在P 上。因为f x 在Q 上是增函数，所以曲线f x 在Q 上呈下凸形状，于
是知线段1k
k M
A 所有点都在P 上。因为1
21k x x x ，所以由引理知点1
k M
在线段
1k
k M A 上，从而知点1
k M
也在P 上。所以对于任意自然数(1)N N n 点N
M
都在P
上。
点1
1
11,n n
n
i i
i i M
x f x n
n
在P 上，而点1
1
1
1,n n
i i i i A
x f
x n
n
在弧1n A A 上，注意到
()n A M x x ,于是()
n A M y y ，即
1
1
11n
n
i
i i i f x f x n
n
.
同理可证明（2）. （
3
）
因
f x 是常
函数，故
可设
f x kx b
，于是
1
1
1
1
1111()
n
n
n
n
i
i
i
i i i i i f x kx b k x b
f x n
n
n
n
1A
2.定理应用
一元连续函数的图像或凸或凹或直总是普遍存在的，而高中数学新编教材增加导数内容后，为判断一元连续函数的凸凹性提供了有力工具，这就为运用定理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了新途径。 2.1改进幂平均不等式
长期以来，在应用幂平均不等式时，只考虑幂指数1m 或01m
，缺失了0m 的情况，如文〔1〕和文〔2〕。事实上，当0m
时，
幂函数m f x x 的导数1m f x
mx 在0,
上是增函数，由定理知，对于0,,1,2,
,i
x i
n ，有
1
1
1
1m
n n
m
i i
i i x x n
n
0m
许多与幂平均不等式有关的命题也应改进。例如文〔2〕给出的经多次推广而得到的一个不
等式：若：,,,n x y z R ,且2,1m x y z
则
2
3(1)(1)(1)31
m
m
m
n m n n n n
x y z y y z z x x 中n 和m 的取值范围应改进为n
R 或1n ；2m 或0m 。顺便说明一下，该不等式还可以
推广为
若：1,2,,i
x R i
N ，n
R 或1n ；2m
或0m ，
1
n
i
i x P ，则
12
12
223311(1)
(1)
(1)
m
m
m m n m
N
n
n
n n n
x x x p N x x x x x x N P ，因证明思路与文〔2〕中对原不等式的
证明类同，故从略。 2.2导出几个重要不等式
由于一元连续函数的导数的单调性与函数图像的凸凹性是等价的，因而根据几个常见函数图像的凹凸性，即可得出下面几个重要不等式
1. 弦平均不等式
若2,(21),(1,2,,),i
x k k i n k
z ，则有
111
1sin
sin
n
n
i
i i i x x n n
若(21),2,(1,2,,),i
x k k i n k
z ，则有
1
1
1
1sin
sin
n
n
i
i
i i x x n
n
2 .切平均不等式
若1,(),(1,2,,),2
i
x k k
i n k
z ，则有
1
11
1
tan tan
n
n
i
i i i x x n n
若1(),,(1,2,,),2
i
x k
k i n k
z
，则有
1
1
1
1
tan tan
n
n
i
i i i x x n
n
3. 对数平均不等式 若,1,(1,2,
,),i
x R a i n 则
1
1
11log log
n
n
a i
i
i i x x n
n
12
1
1()n n n i i x x x x n
若,1,(1,2,
,),0
1i
x R a i
n a
，则
1
1
11log log n
n
a i
a
i i
i x x n
n
121
1()n n n
i i x x x x n
4 指数平均不等式 若,1,(1,2,,),0i
x R a i n a 且1a
，则
1
11
1n
i
i
i n
x n
x i a
a
n
2.3简证一类不等式
许多不等式问题，一旦与一元连续函数起来以后，利用所给定理去解决，顺畅，简便，得心应手。
例1 设正数12,,,n a a a 之和为S ，求证：
1
(2)1
n
i i i
a n n s a n （1976年英国数学竞赛
题）
证明：设x f x
s x
，则2
()
s f x
s x ，当0x s 时，()f x 是增函数，由定
理知，当(0,),1,2,
,i
a s i
n ，且1
2
n
a a a s 时，
1
1
1
11111
n
i
n i i n
i i
i
i s a a n
n
s n
s a n s
s
a n
n
，于是得
1
1
n
i i i
a n s a n ，故原不等式成立。
例2 设,,a b c R 求证
22
2
2
a b c a
b c
b
c
a
c
a
b
（1998年第二届“友谊杯”国
际数学竞赛题） 证明：设a
b c
s ，则原不等式等价于不等式
222
2
a b c s s a
s b
s
c
设2()
x f x s
x
，则2
2
2()
()x x f x s x
s x ，在0,s 上是增函数。因,,0,a b c
s ，
且
a b c
s ，由定理知
2
2
22
13
36
3
s a b c s s s a
s b
s
c
s
，于是得
2222
a b c s
s a
s b
s
c
，故原不等式成立。 例
3
设
12,,,n
a a a R
，
12,,2
n
a a a s k N k ，则有
1122
1
21k k k k n k
n
a a a s s a s a s a n n ，该不等式是文〔4〕给出的重要定理，其证明难度较
大。
证明：设()
k x f x s x
，则12
()
()
k k
kx x f x s x s x ，在0,s 上是增函数。因0,i a s ，
由定理知
1121
1
21(1)k
k k k k n k
n
s a a a s n s n s a s a s a n n s
n
，于是有
1122
12
(1)k k k k n k
n
a a a s s a s a s a n n 。
例4证明对任意1,1a b
，有不等式
2
2811
a b b a （第26届全俄数学竞赛奥林匹克试题）
证明：设a b
s ，则原不等式等价于
2
2
81
1
a b s a s b ，
设2
()
1
x f x s x ，则2
2
2()
1
(1)x x f x s x s
x ，在1,1s 上是增函数。由题意知
,1,1a b
s ，由定理知
2
2
2
2
1221
1
24
12
s a b s s s a s b s s ，于是得
2
2
2
248
811
2
2
s a b s s a s b s s ，故原不等式成立。
例5 设,,,
0a b c
R ，求证：
222
2
2
2
31
a b b c c a b c
2
2
2
11
31
b c a a b
c
设1
23,,b c a
x x x a b c
，则12
3
3x x x ，
2
2
231
1
31x x ，设2()1
f x x ，
则2
2
2
()
1
1
x f x x
x ，在0,
上是增函数。因123
,,0,
x x x ，由定理知
2
2
3
123
2
2
1
23
23311
1
1
1
1
3
3
3
x x x x x x x x 2
22
22
2
31
b b
c c a b
c ，故原不等式成立。
例6 设0(1,2,
,),1i
x i
n k
，
求证：
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
x x x n kx x x x kx x x x kx n k
（数学通报2004.1第1474号问题） 证明：设1
2n
x x x s ，
原不等式等价于不等式
1
2
1
2
1111
n
n
x x x n s
k x s
k x s
k x n k
设()
1x
f x s
k x
，注意到1k
，则2
11
()
11k x f x s
k x
s
k x
，在0,
上
是增函数。因为
凸函数的性质与应用
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析
高一数学必修一函数的基本性质基础练习
函数的基本性质 1．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -=3 C ．x y 1= D ．42+-=x y 2．下列函数中,是偶函数的是（ ） A ．-y x = B ．x y -=3 C ．x y 1= D ．y 11x x =--+ 3．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3 ()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强. 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x) 定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质，则 f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数， 又是偶函数。 注意： ○ 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○ 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○ 2确定f(－x)与f(x)的关系；○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，x 2，当x 1 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝a |x |(0＜a ＜1)的图象是( ) 解析： 由y ＝a |x |＝??? a x x ≥0a －x x ＜0，且0＜a ＜1，知C 正确． 答案： C 2．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝21 x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝????1 22－x 解析： 在A 中，∵1 x ≠0，∴21 x ≠1， 即y ＝21 x 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)． 在B 中，2x －1≥0， ∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)． 在C 中，∵2x >0， ∴2x ＋1>1. ∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)． 在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝????1 22－x >0. ∴y ＝????1 22－x 的值域为(0，＋∞)．故选D. 答案： D 3．设函数f (x )＝????? 2－x －1(x ≤0)， x 12 (x >0)，若f (x 0)>1，则x 0 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析： 由题意知??? x 0≤02－x 0－1>1或????? x 0 >0x 120>1 解得：x 0<－1或x 0>1，故选D. 答案： D 4．若函数f (x )＝????? a x ，x >1??? ?4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．[4,8) D ．(4,8) 解析： 函数f (x )＝????? a x (x >1)????4－a 2x ＋2(x ≤1) 是R 上的增函数；则????? a >1??? ?4－a 2·1＋2≤a 4－a 2>0 ∴4≤a <8，故选C. 答案： C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设函数f (x )＝x (e x ＋a e － x )，x ∈R ，是偶函数，则实数a ＝________. 解析： ∵f (x )为偶函数 ∴f (－x )＝f (x )，则(a ＋1)·e 2x ＋(a ＋1)＝0 ∴a ＝－1. 答案： －1 6．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在x ∈[－2,2]上恒有f (x )<2，则实数a 的取值范围为________． 解析： 当a >1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (2)， 又∵x ∈[－2,2]时，f (x )<2恒成立， 摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题 Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem 必修 1 《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1 f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤) (0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥) (0x f )(x f y = 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y =2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，） 单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 数学试卷 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第1卷 1、设,,其中,如果,数的取值围. 2、集合,。 1.若,数的取值围。 2.当时,没有元素使与同时成立,数的取值围。 3、已知函数是奇函数,且当时,,求函数的解析式. 4、设函数在定义域上总有,且当时,. 1.当时,求函数的解析式; 2.判断函数在上的单调性,并予以证明. 5、已知函数. 1.判断函数的奇偶性; 2.若在区间上是增函数,数的取值围。 6、设是上的函数,且满足,并且对任意的实数都有,求的表达式。 7、定义在上的函数 ,满足 ,且当时, 1.求的值 2.求证: 3.求证: 在上是增函数 4.若 ,解不等式 8、已知函数 1.数的取值围,使是区间上的单调函数 2.求的值,使在区间上的最小值为。 9、已知是奇函数 1.求的值 2.求的单调区间,并加以证明 10、已知是定义在实数集上的偶函数,且在区间上是增函数,并且 ,数的取值围。 11、已知集合。 1.当时,求 2.求使的实数的取值围 12、知二次函数。 1.若函数在区间上存在零点,数的取值围。 2.问是否存在常数 ,当时, 的值域为区间 ,且区间的长度为 (视区间的长度为 ) 13、二次函数满足 ,且。 1.求的解析式 2.求在上的值域。 3.若函数为偶函数,求的值 4.求在上的最小值。 14、定义在上的函数满足对任意、恒有且不恒为。 1.求和的值; 2.试判断的奇偶性,并加以证明 3.若时为增函数,求满足不等式的的取值集合 15、设是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 ,恒有。当时,。 1.求证:函数恒有成立 2.当时,求的解析式 3.计算。 16、已知定义在上的函数对任意实数,恒有,且当时,,又. 1.求证:为奇函数; 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.360docs.net/doc/b84966445.html,work Information Technology Company.2020YEAR 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality). 函数的基本性质练习题 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。 1. (2010 浙江理)设函数的集合 P = < f (x) =log 2(x+a)+b a =- 丄0 1 1； y = _10l ］，则在同一直角坐标系中， P 中函数f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 A.关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 3. (2010广东理)3 .若函数f (x ) =3x +3-x 与g (x ) =3x -3-x 的定义域均为 R ,则 (4)设f(x)为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时，f(x)= 2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 1 5. (2010湖南理)8.用min ：a,bf 表示a, b 两数中的最小值。若函数f x = min x x ? t 的图像关于直线x=- 2 对称，则t 的值为 A. -2 B . 2 C . -1 D . 1 6??若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足 f(1)=1 , f(2)=2，则f(3)-f(4)= (A ) -1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. (2009全国卷I 理)函数 f (x)的定义域为R ,若f(x ，1)与f(X-1)都是奇函数，则( ) A. f (x)是偶函数 Y-(X 2 -x j ：： f (X 2) -f (xj ：： ：(X 2 -x j ，下列结论正确的是 (A) 若 f(x) M ：1,g(xr M -2,则f(x) g(x) M ：2 1 1 2,0Rb7U ， 平面上点的集合 Q=g(x, y) (A ) 4 (B ) 6 (C ) 8 (D ) 10 2. (2010重庆理) 4x 1 2x 的图象 A. f (x)与g(x)与均为偶函数 B. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 C. f (x)与g(x)与均为奇函数 D. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 4. (2010山东理) B. f (x)是奇函数 C. f (x^f (x ■ 2) D. f (x ■ 3)是奇函数 8.对于正实数〉，记 M :.为满足下述条件的函数f ( x )构成的集合 一 X 1, x 2 ? R 且 X 2 > X 1 ,有 指数函数的性质 一、指数函数的单调性运用 1、已知2 15-=a ，函数()x a x f =，若实数()(),,n f m f n m >满足则n m ,的关系是 . 2、设,21,8,45.1361.029.01-??? ??===y y y 则321,,y y y 的大小关系为 . 3、设c b a c b a ,,,5.1,6.0,6.06.05.16.0则===的大小关系是 . 4、若,10≠>a a 且试比较4312a a x x 与++的大小. 二、指数型复合函数的单调性形如()()x g a x f = 例题：已知232,1,0++-=≠>x x a y a a 讨论且的单调性. 练习 1、函数()ax x x f 223+-=在区间()1，∞-内单调递增，则a 的取值范围是 . 2、函数()() 32212---=x x x f 的单调增区间为 . 三、指数型函数的值域问题 例题：求下列函数的值域 （1）()1,01 1≠>+-=a a a a y x x 且； （2）;1241+-=+x x y （3）32221--??? ??=x x y . 练习 求下列函数的值域 （1）1 313+-=x x y ； （2）()20523212≤≤+?-=-x y x x ； （3）22 2++-=x x y . 例题:画出下列函数的图象 （1）()1012≠>=-a a a y x 且； （2）1-=x a y . 练习：画出下列函数图象 （1）2211-?? ? ??=-x y ； （2）131-??? ??=x y ； （3）24-=x y . 函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications; 函数的基本性质(一) 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2 ，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 2 3 时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. 2 303 C.152 D. 2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝2 3 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是 23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3 对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 2 3 ×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2 303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2 ＝2xsin(xy)－1，则x 1998 ＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2 ＋cos 2 (xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4 ＋bx 2 ＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2 －219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4 －160x 2 ＋6400＝76x 2 即 x 4 －236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 高中数学全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： (经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解 分析 一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 集合A ，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B 的映射f:(x,y)→(x 2+y 2,xy)，求象(5，2)的原象. 3.已知集合A 到集合B ＝｛0，1，2，3｝的映射f:x →11 -x ，则集合A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A. 2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 1、下列各对函数中，相同的是 （ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 二、函数的解析式与定义域 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O对数性凸函数的性质及应用解读
高一数学必修1函数的基本性质
人教版数学高一-必修一训练2. 指数函数及其性质的应用
凸函数的性质及其应用
必修1函数的基本性质专题复习(精心整理)
必修一函数的基本性质综合应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
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函数凹凸性的性质判定及应用
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