新编基础物理学第二版第五章习题解答

习题五

5-1 有一弹簧振子，振幅2

2.010m A -=?，周期 1.0s T =，初相34

π

?=.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。

解：振动方程为

2cos()cos(

)x A t A t T

π

ω??=+=+ 代入有关数据得

30.02cos(2)(m)4

x t π

π=+

振子的速度和加速度分别是

1d 30.04sin(2)(m s )d 4

x t t πππ-=

=-+?v 2222d 30.08cos(2)(m s )d 4

x a t t π

ππ-==-+?

5-2一弹簧振子的质量为0.500kg ，当以35.0cm 的振幅振动时，振子每0.500s 重复一次运动.求振子的振动周期T 、频率ν、角频率ω、弹簧的倔强系数k 、物体运动的最大速率max v 、和弹簧给物体的最大作用力max F .

解：由题意可知 0.500s T =；

所以频率 1/ 2.00Hz v T ==；

角频率 1

2=4=12.6(rad s )v ωππ-=?；

倔强系数 221

0.50012.679.4(N m )k m ω-==?=?；

最大速率 1

0.3512.6 4.41(m s )max A ω-==?=?v

最大作用力 22

0.5000.3512.627.8(N)max max F ma mA ω===??=

5-3质量为2kg 的质点，按方程0.2cos(5)(m)6

x t π

=-沿着x 轴振动.求：

（1）0t =时，作用于质点的力的大小；

（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.

解：（1）跟据牛顿第二定律

222d d x f m m x t ω==-，0.2cos(5)(m)6

x t π

=-

将0=t 代入上式中，得：

5.0N f =

（2）由x m f 2

ω-=可知，当0.2m x A =-=-时，质点受力最大，为10.0N f = 5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d （从最高水平到最低水平）做简谐运动，

周期为12.5h.求水从最高处下降了d /4高度需要多少时间？

解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见

/4arccos(

)/23

d d π

θ== /3

12.5 2.08(h)2/2t T θθπωππ

=

===

5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅2

2.010m A -=?，周期0.5s T =，当0t =时，则：

（1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在2

1.010m x -=?处，向负方向运动； （4）物体在2

1.010m x -=-?处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。

解：设所求振动方程为

2cos(

)0.02cos(4)x A t t T

π

?π?=+=+ 由旋转矢量图解图5-5可求出初相位

3/2,3/,2/,04321π?π?π??====

（1）0.02cos 4(m)x t π= （2）0.02cos(4)(m)2

x t π

π=+ （3）0.02cos(4)(m)3

x t π

π=+

解图5-5

解图5-4

（4）20.02cos(4)(m)3

x t π

π=+

5-6在一轻弹簧下端悬挂0100g m =砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂

250g m =的物体，

构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的1

21cm s -?的初速度（令这时0t =）.选x 轴向下为正，求振动方程.

解：弹簧的劲度系数

l g m k ?=/0

该弹簧与物体m 构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为

cos()x A t ω?=+

角频率为m k /=

ω代入数据后求得

17rad s ω-=?

以平衡位置为原点建立坐标，则

1000.04m,0.21m s x -==-?v

由A =

0.05m A =

据A

x 0

1

cos

-±=?得 0.64rad ?=±

由于00

0.05cos(70.64)(m)x t =+

5-7 某质点振动的x-t 曲线如题图5-7所示.求： （1）质点的振动方程；

（2）质点从0t =的位置到达P 点相应位置所需的最短时间.

00001cos()0,/2,03

1s,3

2

56

50.1cos(

)(m)6

320

x A t t x A t t x t P ω?π

?π

π

ωπ

ωπ

π=+==>=-=-

=

∴

=

=-解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（）点的相位为v

0500.4s

63

0.4s

p p p t t t P ππ

ω?∴+=

-==即质点到达点相应状态所要的最短时间为 5-8有一弹簧，当下面挂一质量为m 的物体时，伸长量为2

9.810m -?.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.

（1）当0t =时，物体在平衡位置上方2

8.010m -?，由静止开始向下运动，求振动方程. (2) 当0t =时，物体在平衡位置并以10.6m s -?的速度向上运动，求振动方程.

解：设所求振动方程为

)cos(?ω+=t A x

其中角频率l

g

m l mg

m k ?=?=

=

//ω，代入数据得 110rad s ω-=?

（1） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有

000.08m,0x =-=v

据2200(/)A x ω=

+v 得

0.08m A =

据A

x 0

1

cos

-±=?得?π=±，由于0v ＝0，不妨取?π=于是，所求方程为 10.08cos(10)(m)x t π=+

（2） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有

题图5-7

1000,0.6m s x -==-?v

据2200(/)A x ω=

+v 得

0.06m A =

据A x 01

cos

-±=?得2π?=±，由于00

π

?=，于是，所求方程为 20.06cos(10)(m)2

x t π

=+

5-9 一质点沿x 轴做简谐运动，振动方程为2

410cos(2)(m)3

x t π

π-=?+

，求：从0t =时

刻起到质点位置在2cm x =-处，且向x 轴正方向运动时的最短时间.

解: 依题意有旋转矢量图（解图5-9），从图中可得到

?π?=

而

02(0)t t ?ωπ?=?=-

故所求时间为

01

s 2

t ?

ω?=

=

5-10两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.

解：由于2/10A x =、100

4/1π?=

由于2/20A x =、200>v 可求得

4/2π?-=

如解图5-10所示，相位差

12/2???π?=-=

5-11一简谐运动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方

解图5-10

解图5-9

程.

解：设所求方程为)cos(?ω+=t A x

当0t =时，115cm,0x =-

23

π

?=

当2s t =时，从x-t 图中可以看出

220,0x =>v

据旋转矢量图可以看出

232

t π?==

所以，2秒相位的改变量

20325236

t t πππ

???==?=-=

-=

据t ?ω?=?可求出

15rad s 12

t ?π

ω-?=

=?? 于是，所求振动方程为

52

0.1cos()(m)123

x t ππ=+

5-12 在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为k ,物体的质量为m ,振幅为A .当物体通过平衡位置时,有一质量为'm 的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）'m 和m 粘结后,系统的振动周期和振幅;

（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅.

解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为v ,则由机械能守恒

221122

kA m =v 得

k

A

m

=±v 当'm 竖直落在处于平衡位置m 上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以

(')'

m m m u m u m m =+=+v v

解图5-11