2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R

C ．{|1}A B x x =>

D ．A

B =?

2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．

B ．

π8

C ．12

D ．

π4

3．设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1

∈R ，则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；

3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为 A ．13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24,p p

4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

6．6

1(1)(1)x x

++展开式中2x 的系数为 A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

8．右面程序框图是为了求出满足321000n

->的最小偶数n ，那么在和

两

个空白框中，可以分别填入

A ．1000A >和1n n =+

B ．1000A >和2n n =+

C ．1000A ≤和1n n =+

D ．1000A ≤和2n n =+

9．已知曲线122:cos ,:sin(2)3

C y x C y x π

==+

，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线2C

10．已知F 为抛物线2

:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

11．设xyz 为正数，且235x

==，则 A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x <<

D ．325y x z <<

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是0

2,2，再接下来的三项是0

2,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .

14．设,x y 满足约束条件21

210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

，则32z x y =-的最小值为 .

15．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径

做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若60MAN ∠=，则C 的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sin

A （1）求sin sin

B C;

（2）若6cos cos1,3

B C a

==，求△ABC的周长.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90

BAP CDP

∠=∠=.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90

APD

∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)

Nμσ．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)

μσμσ

之外的零件数，求(1)

P X≥及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)

μσμσ

-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9

10.

9.9

10.

9.9

10.

9.9

10.

9.2

10.

9.9

经计算得

9.97

16i

x x

∑，1616

2222

()(16)0.212

1616

i i

s x x x x

=-=-≈

∑∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16

i=???．

用样本平均数x作为μ的估计值?μ，用样本标准差s作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????

(3,3)

μσμσ

-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布2

(,)

Nμσ，则(33)0.997 4

P Z

μσμσ

-<<+=，

160.997 40.959 2=0.09≈．

20.（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（12）

中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 21.（12分）已知函数2()(2)x

x f x ae

a e x =+--

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程

为4,

x a t t y t =+??=-?（为参数）.

（1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l a . 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数2

()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++- （1）当1a =时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.

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理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B

8．D

9．D

10．A

11．D

12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13

．

14．-5

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 解：（1）

由题意可得2

1sin 23sin ABC

a S bc A A

?==

，化简可得2223sin a bc A =，

根据正弦定理化简可得：222

2sin 3sin sinCsin sin sinC 3

A B A B =?=。（2）

由

()2sin sinC 123cos cos sin sinC cos cos 123cos cos 6B A A B B B C A B C π?

=???=-+=-=?=?

，因此可得3

B C π

=-，

将

之

代

入

sin sinC 3

B =

中可得：

sin sin sin cos sin0

C C C C C

π??

-=-=

，

化简可得

tan,

366

C C B

ππ

=?==，

利用正弦定理可得

sin3

sin2

b B

==?=，

同理可得3

c=，

故而三角形的周长为323

+。

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90

BAP CDP

∠=∠=.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90

APD

∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.

（1）证明：

//,

AB CD CD PD AB PD

⊥∴⊥,

又,

AB PA PA PD P

∴⊥?=,PA、PD都在平面PAD内，

故而可得AB PAD

⊥。

又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。

（2）解：

不妨设2

PA PD AB CD a

====，

以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。

故而可得各点坐标：()))()

2,2,0,0,2,2,0,2,2,0

P a A a B a a C a a

-，因此可得()()()

2,0,2,2,2,2,2,2,2 PA a a PB a a a PC a a a =-=-=--，

假设平面PAB的法向量()

,,1

n x y

=，平面PBC的法向量()

,,1

n m n

=，

故而可得11201

2200n PA ax x n PB ax ay y ??=-

=?=???=--=

?=?

?，即()11,0,1n =，

同理可得222200

0n PC an m n PB am an n ??=-+-=?=?

??=+-=?

?22n ??= ? ?

??。

因此法向量的夹角余弦值：12cos ,3

n n <>=

。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为3

-。 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得x

0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2=0.09≈．

解：（1）()()1611010.997410.95920.0408P X P X ≥=-==-=-=

由题意可得，X 满足二项分布()~16,0.0016X B ，因此可得()16,0.0016160.00160.0256EX ==?= （2）

○

1由（1）可得()10.04085%P X ≥=<，属于小概率事件，故而如果出现(3,3)μσμσ-+的零件，需要进行检查。

○2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606μσμσμσ==?-=+=，

故而在()9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时：9.97169.22

10.0215

x μ?-==

=，

0.09σ=≈。 20.（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b

+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（

–1，2），P 4

（12）

中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1）

根据椭圆对称性可得，P 1（1,1）P 4

（1，

）不可能同时在椭圆上， P 3（

–1，

2），P 4

（1，2

）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2（0,1），P 3（–1

，P 4（

1），代入椭圆方程可得：213

124

b a a =+=?=，故而可得椭圆的标准方程为：2

214

x y +=。

（2）由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在，

不妨设直线P 2A 为：1y kx =+,P 2B 为：()11y k x =-+.

联立()22

1418014

y kx k x kx x y =+???++=?+=??，假设()11,A x y ，()22,B x y 此时可得：

()()()()2

222

2281141814,,,4141411411k k k k A B k k k k ??+-+??-- ? ? ?++++++????

，此时可求得直线的斜率为：()

()()

()2

141144141181841411AB k k k k y y k k x x k k k -+--+++-=

=+---+++，

化简可得()

12AB k k =-

+，此时满足12

k ≠-

。 ○

1当1

k =-时，AB 两点重合，不合题意。 ○2当12k ≠-时，直线方程为：()222218144141

12k k y x k k k -??=-++ ?++??+，即()

()

44112k

k x y k +-+=-

+，当2x =时，1y =-，因此直线恒过定点()2,1-。

21.（12分）

已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x

﹣x .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 解：

（1）对函数进行求导可得()()()()

2'22111x x x x f x ae a e ae e =+--=-+。

○

1当0a ≤时，()()()

'110x x

f x ae e =-+≤恒成立，故而函数恒递减 ○

2当0a >时，()()()

'110ln x x

f x ae e x a

=-+>?>，故而可得函数在1,ln a ??-∞ ???上单调递减，在1ln ,a ??+∞ ???

上单调递增。

（2）函数有两个零点，故而可得0a >，此时函数有极小值11ln

ln 1f a a a

??=-+ ???，要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，

故而可得()1ln 100a a a -

+<>，令()1

g ln 1a a a

=-+，对函数进行求导即可得到()21

g'0a a a +=>，故而函数恒递增，

又()g 10=，()1

g ln 101a a a a

∴=-+?<<，

因此可得函数有两个零点的范围为()0,1a ∈。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?

（θ为参数），直线l 的参数方程

为

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a . 解：

将曲线 C 的参数方程化为直角方程为2

219

x y +=，直线化为直角方程为

11144

y x a =-+-

（1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499

y x x y ?

=-+

???+=?

，

解得212524

25x y ?=-????=??

或30x y =??=?，故而交点为2124,2525??- ???或()3,0

（

）

点

3cos ,

sin ,

x y θθ=??

=?到直线

11144

y x a

=-+-的距离为

3cos 4sin 4

1717

a d θθ++-=

≤，

即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，

化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θ?--≤+≤-，又()55sin 5θ?-≤+≤，解得8a =-或者16a =。 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；

（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 解：

将函数()11g x x x =++-化简可得()2121121x

x g x x x x >??

=-≤≤??-<-?

（1）当1a =时，作出函数图像可得()()f x g x ≥的范围在F 和G 点中间，

联立2

y x

y x x =??

=-++?可得点171,1712G ??

，因此可得解集为1711,??

--????

。

（2）即

()()

f x

g x ≥在

[]

1,1-内恒成立，故而可得

22422x ax x ax -++≥?-≤恒成立，

根据图像可得：函数y ax =必须在12,l l 之间，故而可得11a -≤≤。