激光散斑的数值模拟

目录

1 绪论 (1)

1.1 研究意义及背景 (1)

1.2 相关技术的发展历程及国内外研究现状 (2)

2 激光散斑测量基本理论 (5)

2.1 散斑的概念及研究方法 (5)

2.2 散斑的成因及散斑的类型 (5)

2.3 散斑图像的统计特性 (6)

2.3.1 散斑光场的一阶统计特性 (7)

2.3.2 散射光场的强度自相关函数 (9)

2.4 基于MATLAB的激光光斑模拟 (10)

2.4.1 基本原理 (11)

2.4.2 计算与仿真结果 (12)

3 激光散斑干涉测量 (14)

3.1 激光散斑干涉测量的原理及主要方法 (14)

3.1.1 参考束型散斑干涉测量方法 (14)

3.1.2 电子散斑干涉相减技术 (19)

3.2 基于MATLAB模拟散斑干涉条纹 (22)

3.2.1 双点光源干涉现象的数学模型 (22)

3.2.2 干涉现象的模拟及结果 (23)

4 总结与展望 (27)

参考文献 (28)

致谢 (30)

激光散斑的数值模拟

摘要

随着激光散斑现象为人们所发现并深入研究，激光散斑所具有的特性及散斑现象在实际中的应用也越来越多的被人们所发掘出来。而其中，激光散斑的数值模拟和散斑干涉技术运用于实际生活中的测量是最重要的，也是运用最为广泛的。

散斑干涉技术测量是具有非接触，高精度和全场等优点，一直为人们所重视，尤其是被大量地应用于表面测量。并且随着电子技术、计算机技术、激光技术的发展促进了散斑计量技术的发展，使散斑计量技术向实时、高速度及自动化方向发展。

通过光波场的衍射计算进行激光散斑现象的数值模拟，可以更多的了解激光散斑所具有的特性，为激光散斑的应用提供理论方面的借鉴。

本文阐述了散斑测量技术发展概况，分析了散斑成因，介绍了激光散斑测量基本理论，数值模拟了高斯激光束通过毛玻璃片后，在未经过与经过透镜两种情况下接收屏的散斑光场分布，并对激光散斑测量方法包括参考束型散斑干涉测量方法、电子散斑干涉相减技术进行了分析研究。

关键词：激光散斑，数值模拟，散斑干涉

NUMERICAL SIMULATION OF THE LASER SPECKLE

ABSTRACT

With the laser speckle phenomenon is found and in-depth study, Characteristics of laser speckle and speckle phenomenon in the actual application are uncovered. Among them, the numerical simulation of laser speckle and speckle interferometry techniques applied to the measurement in real life is the most important and common.

Speckle interferometric technology have many advantage, such as non-contact, high accuracy and whole field, etc. People have been paid attention to this technology all the time. This is especially applied to surface measurement in a large amount. Electronic technology, computer technology development and laser of technology have promoted speckle measure technology development,let speckle measure technology develop along the path that is

real-time,high speed automatic.

Laser speckle can be numerically simulated by the diffraction calculation of light wave field. And we can learn more about the characteristics of laser speckle. The simulated results are helpful to provide theoretical analysis for speckle application.

This paper illuminated speckle measure technology development survey, analyzed cause of speckle measure and introduced laser speckle measure theory. In addition, author analyzed and researched laser speckle measure method including reference beam speckle interferometric method, electronic speckle interference subtraction technology and laser speckle digital correlation technology.

Keywords：laser speckle, numerical simulation, Speckle interferometric technology

1 绪论

1.1 研究意义及背景

迄今为止，散斑测量技术经历了两个发展阶段。第一阶段：1965-1978年，以纯光学的相干计量技术为主的发展阶段。在这一时期，激光光源提供的光场优良相干性使相干测量带来的潜能被充分发掘，形成了一系列纯光学的全息散斑计量方法。对计量机理的解释，主要是用传统的干涉计量理论，以几何光学光程差的定量分析为基础，辅助以波动光学和统计光学的定性解释。第二阶段是由70年代末期微电子技术的发展开始的，是以光电结合的精密计量技术为主的发展阶段。在这一时期，计算机硬、软件技术的不断普及及其与纯光学计量技术的结合，使全息散斑计量技术向着高精度、高速度及自动化方向发展。人们对全息散斑计量机理的认识也发生了深刻的变化，发展出了用统计学方法解释的新理论，该理论更适合描述空间随机分布光场。

由于散斑干涉技术测量具有非接触，高精度和全场等优点，一直为人们所重视，尤其是被大量地应用于表面测量。由于散斑照相通常利用银盐干板做记录介质，不仅费时、费力，且操作过程复杂；再加上干涉条纹图的处理极其费时，这就给干涉技术的推广带来了困难。为了适应快速和自动计量的要求，必须解决记录方法和干涉条纹图自动处理等问题。

电子散斑干涉法[1]（ESPI）就是在这种要求下发展起来的。它采用CCD或TV摄像机采集相干散斑干涉场的光强信息，电子信号经过电子或数字处理后就以条纹图的形式显示在图像监视器上。条纹可代表物体表面的振动模式、离面位移、面内位移、位移导数及物体形状的等值线，它们的获得依赖不同的光路布置。电子散斑是一种测量光学粗糙表面位移或变形等物理量的干涉测量技术，并且被应用在无损检测（NDT）中，具有波长量级的灵敏度。由于它综合了现代发展的三大技术：激光技术，视频技术和计算机数字图像处理技术，因此电子散斑具有如下特点：它采用CCD或TV摄像机和电子存储器取代了全息干板记录物面散斑场的光强信息，可用电子或数字技术实时处理信息，实时显示干涉条纹，快速方便；它使用的图像采集卡快速采集散斑场信息，从而对工作环境的防震要求大大降低，由ESPI发展而来的电子错位干涉法（ESSPI）则完全不需要防震，可以走出实验室，进入现场测试；它可以采用相减模式处理干涉散斑场，消除一般杂散光的影响，所以它可以在照明条件下操作，这给工作人员带来了方便；电子散斑条

纹图可以以数字形式存贮，所以便于条纹后处理，结合计算机技术使条纹自动分析成为可能，为实现条纹自动化测量创造了良好的条件。

1.2 相关技术的发展历程及国内外研究现状

早在1914年，散斑现象就被人们所发现，但一直未予以重视。到了1960年，随着第一台激光器诞生，全息干涉技术得到了发展。但由于散斑的存在，影响了全息图质量，散斑开始是作为一种噪声来研究的，大量的工作是试图如何克服消除散斑效应。直到1968年，Archbo1d等人首次将散斑技术应用在测量中。散斑干涉的基本原理是在1970年由Leendertz建立的。他提出散斑相关干涉术（SPC）。1971年，Buttes和Leendertz首先应用光电子器件（摄像机）代替了全息干板记录散斑场的光强信息并存储在磁带上，由电视摄像机输入物体变形后的散斑图通过电子处理的方法不断与磁带中变形前的散斑图进行比较处理，从而在监视器上能观察到散斑干涉条纹。这种方法就称为电子散斑干涉法。同年Macovski也发表了类似的文章。1974年，Pedesen等把硅靶摄像管作为光电探测头应用在ESPI中，提高了ESPI系统对光的敏感度。1976年，Lokberg等把全息干涉术中的参考光位相调制技术引入电子散斑，使之能测量振动的位相分布。1977年，Wykes讨论了电子散斑干涉法中的消相关效应，并提出了相应的改进措施。1978年，Jones 等利用双波长电子散斑干涉法测量了物体的轮廓。1981年Jones等系统地对电子散斑干涉中各种参数的选取和优化作了详细报道。这样，几乎用了十年的时间。人们完成了对电子散斑技术的基本原理和它的性质的研究。提出了改善ESPI条纹质量的系统参数选取方法，为以后的研究和应用打下了基础，并研制了商品化的ESPI干涉仪。随后，Lokberg 把脉冲激光用于电子散斑。1987年，Wykes等使用小功率激光器和半导体激光器实现了电子散斑干涉术，从而使系统更加紧凑、实用。

进入八十年代，电子技术、计算机技术、激光技术的发展促进了散斑计量技术的发展，高速存储器加快了数字图像的存取速度，计算机的高速运算能力使图像处理的复杂运算成为可能。把这些技术应用在电子散斑干涉中，就出现了数字电子散斑干涉（DSPI）。它通过把物体变形前后的散斑图量化为数字图像，存贮在计算机中，由计算机用数字的方法对它进行运算，从而在监视器上再现干涉条纹图。数字散斑干涉减小了电子散斑的噪声，大大提高了干涉条纹的清晰度。l980年Nakadate首次实现并得到512×512列阵的数字散斑干涉条纹，但直到1984年才由Creath正式提出来并作为一种新技术加以推广，数字图象列阵也逐步发展到今天的512×512或1024×1024，灰度等级发展到256，而且

以微机和图像板取代了原始的大型数字图象处理系统。目前，该技术逐步代替了用电子处理方法的电子散斑干涉法，但在习惯上，人们往往将用电子处理方法实现的电子散斑干涉法（ESPI）和用数字处理方法实现的数字散斑干涉法（DSPI）统称为电子散斑干涉法（ESPI）。

随着现代光电子技术与图像处理技术的发展，出现了数字相关测量方法。数字散斑相关（DIC）测量方法是对全场位移和应变进行量化分析的光测方法，它的基本原理是通过比较试件变形前后表面散斑图的变化，来获得位移和应变场等力学信息。该方法可实现微区的细观力学测量，以及用于高温、高压等恶劣环境和高速冲击、振动等动态过程力学量的测量。利用显微镜及其它辅助设备，可适用于从微观到宏观各种情况的测量。自该方法提出以来，它已经成为实验力学领域中一种重要的测量方法，无论在测试方法的改进与完善方面，还是在其应用研究方面都取得了重要的成果。数字散斑相关方法的思想最早是在80年代初提出的，数字散斑相关技术更加依赖于计算机的运算，因此一些学者在如何加快相关运算的速度和提高运算的精度等研究方面作了努力。数字相关测量方法已经成为现代光测力学领域中引人注目的新的测试方法。

为了进一步提高ESPI的抗震性能，l985年，Hung提出了将错位技术引入电子散斑的设想，提出了电子错位术的概念（Electronic Shearography，简称ES）。在国内，l989年，天津大学首次研制成功了电子错位散斑（或称电子剪切散斑）干涉系统，随后又开发了DSSPI系统。1992年，中国科学技术大学将半导体激光器成功地应用于电子散斑干涉中，并由可切换的双频光栅实现了错位，1993年，西安交通大学研制了光纤电子散斑技术干涉系统。

为了适用于各种工程环境测量的需要，一些仪器化、商品化的电子散斑干涉仪也相继问世，1980年，英国的Vinten公司首次推出一种电子散斑干涉仪。1986年，英国Ealing 光电技术公司推出了商品化的ESPI干涉仪VIDISPEC。1988年，美国激光技术公司首次推出电子错位散斑干涉仪ES－9100。1990年，美国的Newport公司推出Hc－400型的ESPI干涉仪。l992年瑞士的Vibo－meter公司也推出了RETRA100型电子散斑干涉仪。1992年，美国激光技术公司又推出了新型的电子错位系统ES9200、ES9400、ES9l20、ES9500及SC－4000便携式电子错位散斑干涉仪。国内，l989年，天津大学首次研制成功ESS电子错位散斑系统。1990年，中国大恒公司光电室与西德Jurid公司合作开发丁Daheng一Jurid电子散斑仪，西安交大也有已通过鉴定的TVH一30电子散斑计量系统。

1992年，中国科技大学研制的新型光学头部，采用了先进的半导体激光器作光源，还加有可切换的双频光栅实现错位，使ESPI更好仪器化。另外，北京光电子技术公司也在生产电子散斑仪向工业应用领域推出。

电子散斑干涉法自问世以来即得到广泛的应用，而且这种趋势与日俱增。首先电子散斑干涉法被广泛的用于振动测量和模态分析，其次它被用于物体轮廓的测量。电子散斑技术还可用于高温物体的位移测量和热变形测量。另外电子散斑在无损检测方面也取得了很多成功的应用。发展的新型漫射参考光光路，实现了对于相位物体的检测。1990年，Gulker把ESPI用于建筑物现场测试，而Ganesan早在1989年就把ESPI用于泊松比的实时测量。ESPI用于动态问题的研究也已有报导。

总之，ESPI是在现代高科技成果，包括激光技术、视频技术、电子技术、信息和图像处理技术、计算机技术、全息干涉和散斑干涉技术、精密仪器及自动控制技术的基础上发展起来的一种现代光测方法，它具有全场、非接触、高精度和高灵敏度、不避光、不照相、不需要特殊防震、快速实时并可在线检测等优点。

ESPI用途很广，可用在检测各种工程机械及设备的变形、振动、冲击、粗糙度、刚度和强度等特性，还可用在土木结构、水利设施的变形测量。它不但可以作为模型设计、分析、样机实验的先进工具，而且还可以作为产品检验和生产过程控制的一种有利工具。该技术也可用来检测复合材料、集成电路、压力容器和焊接物体表面或内部缺陷，成为x射线、红外和超声等传统无损检测方法的一种有效的补偿手段。因此，该技术在机械、土木、水利、电器、航空航天、兵器工业及生物医学等领域的检测中具有非常重要的地位[2]。

从电子散斑干涉技术的发展和应用可以看出，其今后重要发展的趋势是：（1）条纹数据的自动抽取和分析；（2）对工业环境的适应性研究；〔3〕多功能性，一机多用的研究。随着它的发展，必然会在科学研究和工程实际中发挥重大的作用。

2 激光散斑测量基本理论

2.1 散斑的概念及研究方法

激光自散射体的表面漫反射或通过一个透明散射体（例如毛玻璃）时，在散射表面

或附近的光场中可以观察到一种无规分布的亮暗斑点，称为激光散斑（laser Speckles ）或斑纹[3]。

激光散斑是由无规散射体被相干光照射产生的，因此是一种随机过程。要研究它必

须使用概率统计的方法。通过统计方法的研究，可以得到对散斑的强度分布、对比度和散斑运动规律等特点的认识[4]。

2.2 散斑的成因及散斑的类型

在光场通过自由空间传播的条件下，从可见光波长这个尺度看，物体的表面一般都

很粗糙，这样的表面可以看作是由无规分布的大量面元构成。当相干光照明这样的表面时，每个面元就相当于一个衍射单元，而整个表面则相当于大量衍射单元构成的“位相光栅”。对比较粗糙的表面来说，不同衍射单元给入射光引入的附加位相之差可达 2π的若干倍。经由表面上不同面元透射或反射的光振动在空间相遇时将发生干涉。由于诸面元无规分布而且数量很大，随着观察点的改变，干涉效果将急剧而无规地变化，从而形成具有无规分布的颗粒状结构的衍射图样（见图1） 。如果物体表面通过光学系统成像，只要成像系统的点扩散函数具有足够的“宽度”，折算到物平面后能在物体表面覆盖足够多的面元（见图2），则来自这些面元的光线将在同一像点处相干叠加，从而形成散斑[5]。

由散斑的成因可知，物体表面的性质与照明光场的相干性对散斑观象有着决定性的影响。物体表面的性质不同，或照明光场的相干性不同，都会使散斑具有不同的特点。粗糙面 入

射光 观察点 图1 散斑成因 点扩散函数 入射光

粗糙面

光学系统

图像板 图2 散斑成因

因此，根据两个因素可以区分散斑的不同类型。此外，人们还常常按照光场的传播方式，把散斑分成远场散斑（与夫琅和费衍射对应）、近场散斑（与菲涅耳衍射对应）和象面散斑三种类型，也可按照观察条件而将散斑分成主观散斑与客观做斑两种类型，前者实质上是象面散斑，后者则是通过自由空间传播形成的近场和远场散斑。

2.3 散斑图像的统计特性

按照光场衍射的标量理论，一个单色光场的传播过程（包括成象过程）可由一个简

单的叠加积分表征。具体说，如果已知单色光场00,y x 在 平面上的复振幅分布为 ),(00y x A ，还知道光场由 00,y x 平面到与之平行的 y x , 平面这一传播过程的权函数为 ),;,(00y x y x h ，则 y x ,平面上光场的复振幅分布可表示为：

??∑

=0000000),;,(),(),(y dx y x y x h y x A y x A （2.1）

式中积分域∑在光场通过自由空间传播的条件下，由00,y x 平面上光场分布范围决定；在成象条件下由成象系统点扩散函数的宽度决定。显然，这一叠加积分同样可用来描述散斑现象。这时，),(00y x A 可以是相干光照明的粗糙表面在其极邻近平面00,y x 上形成的光场，也可以是任一平面00,y x 上的给定散斑光场；而),(y x A 则表示由),(00y x A 通过以),;,(00y x y x h 表征的传播过程，在观察面y x ,上形成的散斑光场。当),;,(00y x y x h 表

示球面波或平面波时，),(y x A 相应地表示近场或远场散斑的复振幅分布；当)

,;,(00y x y x h 表示成象系统的振幅点扩散，),(y x A 表示象面散斑的复振幅分布。

从波动光学的角度看，由式（2.1）描述散斑场是很直观的，然而，对实际散斑现象

来说，这种描写只能是形式上的，我们不能期望由式（2.1）给出满意的描述。这是因为物体表面轮廓凹凸起伏完全无规，我们无法描述其表面结构。所以，为了应用统计方法研究散斑现象，我们首先要建立一个系综，这个系综由表面结构大体相似而细节迥异的物体构成，在理论上，上述散射屏系综应该包含无穷多个散射屏，在实验研究中，则应该取足够数量的“样本”，以保证必要的精度要求。

光由产生、传播到接收的过程是一个多重随机过程，在本文内，激光光场为为单色

的空间随机光场，随机场的分布在时域上是稳定的。

不失一般性，可假设物表面为一平面，反 射 率 为)],(ex p[),(),(000000y x j y x r y x R φ=，

而照明光场为 ),(00y x A L ，因而物表面散射光场可表示为：

)],(ex p[),(),(),(),(),(0000000000000y x j y x A y x r y x A y x R y x A L L φ== （2.2）

式中，),(00y x r 与 ),(00y x φ是与特定散射基元有关的量，在物表面系综意义上，它

们都是随机变量。由于照明光场一般都是空间缓变的量，散射光场特性主要由反射特性决定。大量实验表明，光学粗糙表面上的散射光场具有以下统计待性：

1.被测表面上各散射基元散射出的光场复振幅值 a （x0，y0）与相位 Ф （x0，y0）

彼此统计独立，不同散射基元散射出的光场复振幅彼此统计独立[6]。

2.被测表面从光学上讲是粗糙的，即其表面起伏高度的标准差远大于照明光波的波

长，以至于可以认为 ),(00y x φ在区间],[ππ上均匀分布，其概率密度函数为：

?????<<-=其它0)(21)(πφππφφp （2.3）

3.被测表面散射基元非常细微，与照明区域及测量系统在物面上所形成的点扩散函

数的有效覆盖区域相比足够小，但与光波波长相比又足够大。由被测表面散射出的光场在物面上的自相关函数可以表示为：

)()()()()(01020002*001001020r r r I r A r A r r J A ->>=<=<-δ （2.4）

式中，运算符><*表示系综平均运算，函数(*)δ为二维 Dirac 函数，><)(00r I 为照

明光场及物面宏观反射特性决定的空间缓变强度函数，矢量 r 即为坐标),(y x 的简写。该式表明，散射后物面光场不再是激光器发出的空间相干场，而是变成了严格空间非相干的。如果物表面的变化还是时间函数，严格相干的照明激光束还会变成时间部分相干场。

2.3.1 散斑光场的一阶统计特性

考察物面散射的光场经过一个线性系统传播后的光场：

?∑

-=0000)()()(dr r r h r A r A （2.5）

叠加积分中)(0r r h -为传播权函数，∑为照明区域。散射光场任一点处的复振幅的

实部和虚部因此可表示为：

?∑

---=000000)]()()()([)(dr r r h r A r r h r A r A I I R R C R

?∑

---=0000000)]()()()([)(dr r r h r A r r h r A r A R I I R I （2.6）

由于)(r A R 和)(r A I 都是由来自照明区域内无数发光点元发出光场的叠加，根据中心

极限定理，)(r A R 和)(r A I 都可以看成 Gauss 随机变量，其统计持性可以由其统计平均值完全确定。根据上述对物表面散射光场统计特性的基本假设，可以导出：

0)()(>=>=<

-><>=<0200)()(21)(dr r r h r I r A R ?∑

-><>=<0200)()(21)(dr r r h r I r A I 0)()(>=

满足上述条件的两个 Gauss 随机变量称为联合圆对称的，其联合概率密度函数为：

{})(2)]([)]([ex p )(21

)](),([22

22,r r A r A r r A r A P I R I R I R σπσ+-= （2.8） ?-><=02002)()(2

1)(dr r r h r I r σ （2.9） 这种概率密度函数通常称为圆型 Gauss 概率密度函数。因其恒定概率密度的等值线

是复平面上的圆，相应地又把复振幅 )(r A 称为圆型复 Gauss 随机变量。

散射光场的强度为其复振幅的模平方，而复振幅则可由强度和相位表示为：

)(c o s )()(r r I r A R ?= )(s i n )()(r r I r A I ?= （2.10）

由此可导出强度和相位的联合概率密度函数为：

??????-=

)(2)(e x p )(41)](),([2,r r I j r r r I P I σπσ?? （2.11）

强度的概率密度函数为：

?-?????≥??????-==π

π?σσ??其它）(0)0)(()(2)(exp )(21)()](),([)]([22,r I r r I r r d r r I P r I P I I （2.12） 这是一个负指数分布的随机变量，其 n 阶矩、均值和方差分别为：

ππ)](2[!)(2r a n r I >=< )(2)(2r a r I >=< )(2)(2r r I σσ=

（2.13） 就是说线偏振散射光场光强的均值与方差相等。通常把方差与均值之比称做散斑场

的衬度，即：

><=)(/)()(r I r r c I σ （2.14）

衬度的倒数定义为散斑场的信噪比。显然，线偏振散斑场的衬度与信噪比都是单位

值。

类似地还可以导出相位的概率密度函数为：

?????≤<-=其他）(0)(21)]([π?ππ??r P （2.15）

由式（2.11）、式（2.12）、 式（2.15）可以看出：

)]([)]([)](),([,r P r I P r r I P I I ????= （2.16） 这表明，对于经过传播后的线偏振光形成的散射光场，光强和相位是统计独立的。

2.3.2 散射光场的强度自相关函数

为了描述散斑场的空间结构的粗糙程度，需要讨论其光强的自相关函数，这是散斑

物场的二级统计持性。

在观察平面上，光强分布的自相关函数定义为：

>=<),(),(),;,(22112211y x I y x I y x y x R I （2.17）

这个自相关函数的宽度给散斑的“平均宽度”提供了一个合理量度。当21x x =，

21y y =时，I R 总是达到最大值，而当I R 达到最小值时，散斑场相关运算相错开的值21x x -，21y y - 应相当于散斑颗粒的宽度，这是很自然的。由于在每一点处散斑场复振

幅 ),(y x A 都是圆型 Gauss 随机变量，光强的自相关函数可以进一步表示为：

2

22*11221122112),(),(),(),(),;,(><+>><=

无论对于自由空间传播产生的散斑场，还是对于成像过程产生的散斑场，都可以导

出光强的自相关函数为： ???

??????????????????+?+

>=

)()(),(2L

r e c t L r e c t P ηξηξ= （2.20） 式中当 21≤x ，1)(=x rect ；当2

1>x ，0)(=x rect ，而相应的光强自相关函数为： )s i n s i n 1(),(222Z

y L c Z x L c I y x R I λλ??+>=

x λδ= （2.22）

对于主观散斑场用的成像光学系统光瞳的直径为 D 的圆孔时，有：

)2/(),(2

22D c i r c P ηξηξ+= （2.23）

式中，当1≤x ，1)(=x circ ；当 1>x ，0)(=x circ ；而相应的光强自相关函数为：

????????+>=

)/()(21),(Z Dr Z Dr J I y x R I λπλπ （2.24） 式中1J 为一阶 Bessel 函数，[]2122)()(y x r ?+?=，这时散斑平均大小为：

D Z x λδ22

.1= （2.25） 2.4 基于MATLAB 的激光光斑模拟

激光散斑的起因是多光束干涉的结果。当激光束照射到粗糙表面时，粗糙表面上各

点形成了次波源，他们的数量极大，又处于完全随机的、不同的空间位置上，以不同的初始相位辐射子波，所有这些子波在空间相干叠加，多光束干涉的结果就形成了散斑场

[7]。

对于激光散斑场的计算，可以在经典标量衍射理论的基础上，对于粗糙目标反射或

透射的激光场进行衍射积分的计算。主要计算方法有空域的数值积分计算及频域的快傅立叶算法。由于数值积分方法往往计算量大、计算时间长，因此可应用激光衍射的FFT 方法数值模拟高斯激光束散斑现象。

2.4.1 基本原理

设衍射屏与观察屏的距离为z ，设)0,,(0y x U 及),,(z y x U 分别为衍射屏及观察屏上

光波的复振幅。在频域中，它们的频谱函数分别为),(0y x f f G 及),(y x z f f G 。给定)0,,(0y x U 后，如果能够求出经过距离z 的传播后光波在观察平面上对应的频谱函数),(y x z f f G ，便可以利用逆傅里叶变换得到),,(z y x U 。

由于),(0y x f f G 及),(y x z f f G 分别是)0,,(0y x U 及),,(z y x U 的傅立叶变换

??∞

+-=dxdy y f x f i y x U f f G y x y x )](2exp[)0,,(),(00π （2.26）

??∞

+=dxdy y f x f i z y x U f f G y x y x x )](2exp[),,(),(π （2.27）

而),,(z y x U 为),(y x z f f G 的逆傅立叶变换

??∞

+=y x y x y x x df df y f x f i f f G z y x U )](2exp[),(),,(π （2.28）

光波场从衍射屏到观察屏的频谱变化关系

])()(12e x p [),(),(220y x y x y x x f f z i f f G f f G λλλ

π--= （2.29） 式中λ为激光波长。根据衍射的角谱传播理论，可以直接将观测屏的频谱与衍射屏

的频谱间的关系表示为：

{}{}[]

220)()(1e x p )0,,(),,(y x f f i k z y x U f z y x U f λλ--= （2.30） 式中{}f 表示对大括号中的函数傅立叶变换。设),(000y x U 为平面00y x 上的光波复

振幅，),(y x U 为经过距离z 后传播到平面xy 上的光波场，对（2.30）式进行衍射的逆运算，可以得到

{}[]{}

220001)()(1e x p ),(),(y x f f i k z y x U f f y x U λλ--=- （2.31）

式中{}f 表示大括号中的函数傅立叶逆变换。

光波场在光学系统传播过程中，通过衍射受限平面时，平面对光波场的作用体现为

一个复振幅变换函数 ),(y x T 对光波场的乘积或调制作用。在引入光瞳作用后，焦距为 f 的球面薄透镜的复振幅变换函数通常写为

)2e x p (),(),(2

2f y x ik y x p y x T +-= （2.32） 式中，),(y x p 为系统的光瞳函数。因此通过衍射受限平面的光波场表示为

{}[]

??????--+-=-222

20001)()(1exp )2exp(),(),(),(y x f f ikz f y x ik y x p y x U f f y x U λλ （2.33） 通过对像平面上光场振幅分布进行分块的菲涅尔衍射逆变换，将所有的小傅里叶变

换程序块的变换用FFT 程序实现，对结果进行数值叠加再乘以复数相位因子便得到物平面的衍射场[8]。

编程时，我们编制了圆函数保证所选位置在光斑范围内，矩形函数实现了以相关点

为 中 心 的选区问题。使用Matlab 的zeros 函数产生一个N 维0矩阵，设置了几个循环将各个小的菲涅尔变换的数据和该0矩阵进行连加， 从而实现了复振幅的叠加。用conj 函数求出计算得到的复振幅的共轭值将它和原复振幅数值相乘得到对应的光强数值。用imagesc 函数和colormap 函数画出了光斑图[9]。

2.4.2 计算与仿真结果

毛玻璃片 透镜 接收屏 激光器 图3 激光散斑演示光路图

我们应用上述的理论分析数值模拟了高斯激光束辐照毛玻璃片得到的散斑场。设置

的实验装置如图3所示， 其中激光器为氦氖激光器，输出基模高斯光束，波长为632.8nm 。 其中毛玻璃片距离接收屏可选择放置透镜，透镜焦距设为 160mm 。输出激光的束腰距离毛玻璃片 1270mm ，在毛玻璃片前的光场分布如图 4所示。激光经过毛玻璃片漫反射后的出射光束的振幅与相位假设为随机分布，则模拟的出射光束强度分布如图5所示，可以看出强度分布呈现出闪烁的斑点。以毛玻璃片表面的出射光束为初始光强分布),(000y x U ，当未放置透镜时，根据（2.31）式可以计算出距离毛玻璃片300mm 处的接收屏上散斑光场分布如图6所示。当放置透镜时，接收屏上散斑光场分布可由（2.33）式计算，当接收屏位于透镜焦点处时，光场分布如图7所示，可以看出光束绝大部分集中在焦点处，散斑现象已经不明显。当接收屏后移位于透镜的两倍焦距处时，光场分布如图8所示，又呈现出明显的散斑现象。

图4 毛玻璃片前光场分布 图5 经毛玻璃片后的光场分布 图6 未放置透镜时接收屏的光场分布 图7 透镜焦点处接收屏的光场分布 图8 距离透镜320mm 处的光场分布

3 激光散斑干涉测量

3.1 激光散斑干涉测量的原理及主要方法

1970 年，Leenderz 开创了一类新的以干涉方法实现光学粗糙表面检测的方法，称为

散斑干涉计量。它的记录和再现在本质上与全息干涉计量相同，在形式上更加灵活，即不仅可以用光学方法实现，还可以用电子学和数字方法实现[10]。在光学方法中，原始散斑场用光学胶片记录，用光学信息处理技术提取信息，而在电子学和数字方法实现中，原始散斑用光电器件（通常是 CCD 光电探测器）记录，用电子学和数字信息处理技术实现信息的提取。习惯上称光学实现方法为散斑干涉测量，而将电子学和数字实现方法称为电子散斑干涉测量，或数字散斑干涉测量。在散斑干涉测量中，信息的记录方法众多，按记录光路的特点，可分为参考束型、双光束型、双光阑型和剪切型四种基本方式，其他记录方法都是在这四种方法的基础上演变出来的。这几种散斑干涉测量方法中，除双光阑型及 Hung 型减切中平板实现方法外，其他均可用数字散斑干涉测量中的信息记录方法[11]。

3.1.1 参考束型散斑干涉测量方法

由 Leendeerz 提出的参考束型散斑干涉记录方法分为散斑参考束型和平滑参考束型

两种，其光路区别在于分出的参考束是直接照射记录平面，还是由散射面反射后再照明记录面上的感光胶片[12]。

散斑参考束型记录光路是一种 Mechelson 干涉仪式的光路。相干照明光波被分束

镜 BS 分为两束，分别照明被测物表面0r 和物表面具有类似特性的参考面 r ，由表面散射出的光场在其共轭像面上叠加形成原始散斑场。若以)(r A ij 表示像面上r 处的光场状态，其中 i ＝1，2分别对应物光和参考光，j ＝1，2分别表示变形前后的两种状态，那么在像面上变形前散斑干涉场的光强度分布为：

2

22111)()()(r A r A r I += （3.1）

变形后为：

222122)()()(r A r A r I += （3.2）

变形前后，参考光是不变的，即：

)()(2122r A r A = （3.3）

物表面光场在变形前后的关系是：

)(020011

00120)]([)(r j e r d r A r A ?-= （3.4） 式中，0r 为物表面坐标，)(02r d 为物表面变形的面内分量，而)(0r ?为变形引起的相

位变化，即变形在灵敏度矢量方向投影造成的相位变化。处理物像平面坐标均用归一化形式，因而像面上0r 可用r 代替。再者，如图9光瞳很大，则点扩散函数扩展范围很小，像面光场在变形前后的关系与物面上可视为相同，即：

)(21112)]([)(r j e r d r A r A ?-= （3.5）

与物面不同之处仅在于像面光场已变成由成像光瞳函数确定的像面散斑场，变形前

后两次曝光总光强为：

2

21)(21121211)()]([)()()(r A e r d r A r A r A r I r j +-++=? （3.6）

其系综平均值，因11A 与21A 由不同平面产生而不相关使后四项均为零，简化为：

><+>-<+>>=<<)(2)(()()(2121111r I r d r I r I r I （3.7）

也就是说，其相位信息)(r ?完全去掉，余下)(2r d 面内信息用散斑照相术方法可以

处理。为了提取散斑干涉信息，可以用实时法、相减法和衍射法等，这里介绍的是高通物平面

像平面

偏

振

面

图9 激光参考束型光路

滤波。高通滤波的光路如图10所示，是一种典型的f 4光学信息处理系统。其滤波面上放置的高通滤波器的滤波特性可表示为：

?????≤=其他）

(12(0)(D H ξξ

（3.8）

二次曝光散斑图被平行光照明，通过傅里叶透镜 Ll 在其焦面上形成散斑图空间频

谱，高通滤波器挡掉中央的低频部分再被傅里叶透镜 L2 成像到输出平面，生成带有干涉条纹的物体像。散斑参考束型散斑干涉的两次曝光散斑图透过率函数为：

)()(0r I r T βτ+= （3.9）

则输出面上光强分布为：

2

)(*)()(r h r r I f i τ= （3.10）

式中，)(r h f 为f 4 空间滤波系统的脉冲响应函数。作为散斑场，其光强系综平均为：

??--><>=<212*121)()()()()(dr dr r r h r r h r r r I i f i f i ττ （3.11）

其中二次曝光散斑图复振幅透射率函数的相关函数为：><)()(21r r ττ，

由 Gaussian 矩定理，上式中散斑场光强相关函数可表示为：

22*21122112211)()()()()()(r A r A r I r I r I r I +>><>=<< （3.12） 像平面 滤波面 出射面

图10 高通滤波4f 光学信息处理系统

式中，A1 和 A2 均为物光束与参考光束两散斑场的相干叠加.

由于参考光束与物光束来自不同表面，相互独立，式中二、三两项系综平均为零。

物光束两次曝光在像平面上光场之间复振幅分布的相关函数为：

????????-->>=<<ξ

ξξξλπξd H d r d r r f j H r I r A r A 202212201112*

12111)()]([2exp )()()()( （3.14） 参考光束两次曝光没有变化，第四项就是自相关函数：

>>=<<)()()()(2*211212*22

121r A r A r A r A 因而合成散斑场的相关函数为：

)()()]([)()()(12121)(22121112*2112r r r I e r d r r r I r A r A r j -><+-->>=<

而)(0ξH 为图9所示记录光路中成像系统的光瞳函数。散斑干涉场的互相关函数为

><)()(2211r I r I 。

若记录面上参物光强比为：

><>=<)(/)(111121r I r I k （3.16）

则有：

{})(cos )()]([2)()]([)1()()()(2122212122222122221112211r r r r d r r k r r k r d r r k r I r I r I ?-?--+-+--++>>=<<μμμμ （3.17）

当变形参数0)(22=r d ，0)(2=?r 时，互相干函数转化为自相关函数：

>>=<<)()()()(22122111r I r I r I r I （3.18）

对于 Gaussian 随机变量来讲，其线性组合仍为 Gaussian 型随机变量，因而变形前

后干涉场均为 Gaussian 空间分布随机光场，其光强分布的二阶矩和系综平均有如下关系：

211211)(2)]([><>=

因而有：