高中物理必修二讲义

P

蜡块得位置

v

v x

v y

涉及得公式:

θ

v v 水 v 船

θ ,

d

第五章 平抛运动

§5-1 曲线运动 & 运动得合成与分解

一、曲线运动

1、定义:物体运动轨迹就是曲线得运动。

2、条件:运动物体所受合力得方向跟它得速度方向不在同一直线上。

3、特点:①方向:某点瞬时速度方向就就是通过这一点得曲线得切线方向。

②运动类型:变速运动(速度方向不断变化)。 ③F 合≠0,一定有加速度a 。 ④F 合方向一定指向曲线凹侧。

⑤F 合可以分解成水平与竖直得两个力。 4.运动描述 二、运动得合成与分

解

1.合运动与分运动得关系:等时性、独立

性、等效性、矢量性。 2.互成角度得两个分运动得合运动得判断:

①两个匀速直线运动得合运动仍然就是匀速直线运动。

②速度方向不在同一直线上得两个分运动,一个就是匀速直线运动,一个就是匀变速直线运动,其合运动就是匀变速曲线运动,a 合为分运动得加速度。

③两初速度为0得匀加速直线运动得合运动仍然就是匀加速直线运动。

④两个初速度不为0得匀加速直线运动得合运动可能就是直线运动也可能就是曲线运动。当两个分运动得初速度得与速度方向与这两个分运动得与加速度在同一直线上时,合运动就是匀变速直线运动,否则即为曲线运动。

三、有关“曲线运动”得两大题型

（一）小船过河问题

模型一:过河时间t 最短: 模型二:直接位移x 最短: 模型三:间接位移x 最短: [触类旁通]1.(2011 年上海卷)如图 5－4 所示,人沿平直得河岸以速度

v 行走,且通过不可伸长得绳拖船,船沿绳得方向行进.此过程中绳始终与水面平行,当绳与河岸得夹角为α时,船得速率为

( C )。 解析:依题意,船沿着绳子得方向前进,即船得速度总就是沿着绳子得,根据绳子两端连接得物体

在绳子方向上得投影速度相同,可知人得速度 v 在绳子方向上得分量等于船速,故

v 船＝v cos α,C 正确.

2.(2011 年江苏卷)如图 5－5 所示,甲、乙两同学从河中O 点出发,分别沿直线游到 A 点与 B 点后,立即沿原路线返回到 O 点,OA 、OB 分别与水流方向平行与垂直,且 OA ＝OB 、若水流速度不变,两人在静水中游速相等,则她们所用时间 t 甲、t 乙得大小关系为(C) A.t 甲t 乙 D.无法确定

d v

v 水

v 船 θ 当v 水

A v 水 v 船 θ 当v 水>v 船时,, ,

θ v 船 d

解析:设游速为v ,水速为v 0,OA ＝OB ＝l ,则t 甲＝l v ＋v 0＋l v －v 0

;乙沿OB 运动,乙得速度矢量图如图4所示,合速度必须沿OB 方向,则t 乙＝2·

l

v 2－v 2

,联立解得t 甲>t 乙,C 正确. （二）绳杆问题(连带运动问题)

1、实质:合运动得识别与合运动得分解。

2、关键:①物体得实际运动就是合速度,分速度得方向要按实际运动效果确定; ②沿绳(或杆)方向得分速度大小相等。

模型四:如图甲,绳子一头连着物体B,一头拉小船A,这时船得运动方向不沿绳子。

处理方法:如图乙,把小船得速度v A 沿绳方向与垂直于绳得方向分解为v 1与v 2,v 1就就是拉绳得速度,v A 就就是小船得实际速度。 [触类旁通]如图,在水平地面上做匀速直线运动得汽车,通过定滑轮用绳子吊起一个物体,若汽

车与被吊物体在同一时刻得速度分别为 v1 与 v2,则下列说法正确得就是( C) A.物体做匀速运动,且 v 2＝v 1 B.物体做加速运动,且 v 2>v 1 C.物体做加速运动,且 v 2

解析:汽车向左运动,这就是汽车得实际运动,故为汽车得合运动.汽车得运动导致两个效果:一

就是滑轮到汽车之间得绳变长了;二就是滑轮到汽车之间得绳与竖直方向得夹角变大了.显然汽车得运动就是由沿绳方向得直线运动与垂直于绳改变绳与竖直方向得夹角得运动合成得,故应分解车得速度,如图,沿绳方向上有速度v 2＝v 1sin θ、由于v 1 就是恒量,而θ逐渐增大,所以 v 2 逐渐增大,故被吊物体做加速运动,且 v 2＜v 1,C 正确.

§5-2 平抛运动 & 类平抛运动

一、抛体运动

1、定义:以一定得速度将物体抛出,在空气阻力可以忽略得情况下,物体只受重力得作用,它得运动即为抛体运动。

2、条件:①物体具有初速度;②运动过程中只受G 。

二、平抛运动

1、定义:如果物体运动得初速度就是沿水平方向得,这个运动就叫做平抛运

动。

2、条件:①物体具有水平方向得加速度;②运动过程中只受G 。

3、处理方法:平抛运动可以瞧作两个分运动得合运动:一个就是水平方向得匀速直线运动,一个就是竖直方向得自由落体运动。

4、规律:

[牛刀小试]如图为一物体做平抛运动得 x －y 图象,物体从 O 点抛出,x 、y 分别表示其水平位移与竖直位移.在物体运动过程中得某一点 P(a,b),其速度得反向延长线交于 x 轴得 A 点(A

点未画出),则 OA 得长度为(B)

A 、a

B 、0、5a

C 、0、3a

D 、无法确定

解析:作出图示(如图5－9所示),设v 与竖直方向得夹角为α,根据几何关系得tan α＝v 0

v y

①,由

平抛运动得水平方向有a ＝v 0t ②,竖直方向有

B O O

A v A

θ v 1 v 2 v A

乙 α （1）位移:

（2）速度:,,,

（3）推论:①从抛出点开始,任意时刻速度偏向角θ得正切值等于位移偏向角φ得

正切值得两倍。证明如下:,tan θ=tan α=2tan φ。

②从抛出点开始,任意时刻速度得反向延长线对应得水平位移得交点为此水平位移得中点,即如果物体落在斜面上,则位移偏向角与斜面倾斜角相等。

b ＝12v y t ③,由①②③式得tan α＝a 2b ,在Rt △AEP 中,AE ＝b tan α＝a 2,所以OA ＝a 2、

5、应用结论——影响做平抛运动得物体得飞行时间、射程及落地速度得因素 a 、飞行时间:,t 与物体下落高度h 有关,与初速度v 0无关。 b 、水平射程:由v 0与h 共同决定。 c 、落地速度:,v 由v 0与v y 共同决定。

三、平抛运动及类平抛运动常见问题

模型一:斜面问题: [触类旁通](2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出得小球落到一倾角为θ得斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图 5－10 中虚线所示.小球在竖直方向下落得距离与在水平方向通过得距离之比为(D) 解析:如图5所示,平抛得末速度与竖直方向得夹角等于斜面倾角θ,有tan θ＝v 0

gt

,则下落高度

与水平射程之比为y x

＝

12

gt 2v 0t

＝

gt 2v 0＝12tan θ

,D 正确. 模型二:临界问题: 模型三:类平抛运动:

[综合应用](2011 年海南卷)如图 所示,水平地面上有一个坑,其竖直截面为半圆,ab 为沿水平

方向得直径.若在 a 点以初速度 v 0 沿 ab 方向抛出一小球

,小球会击中坑壁上得 c 点.已知 c 点与水平地面得距离为坑半径得一半,求坑得半径。 解:设坑得半径为r ,由于小球做平抛运动,则 x ＝v 0

t ① y ＝0、5r ＝12

gt

2 ②

过c 点作cd ⊥ab 于d 点,则有Rt △acd ∽Rt △cbd 可得cd 2＝ad ·db

即为(r

2)2

＝x (2r －x ) ③

又因为x >r ,联立①②③式解得r ＝

4

7－43

g

v 20、

§5-3 圆周运动 & 向心力 & 生活中常见圆周运动

一、匀速圆周运动

1、定义:物体得运动轨迹就是圆得运动叫做圆周运动,物体运动得线速度大小不变得圆周运动即

为匀速圆周运动。

2、特点:①轨迹就是圆;②线速度、加速度均大小不变,方向不断改变,故属于加速度改变得变速

思路分析:排球得运动可瞧作平抛运动,把它分解为水平得匀速直线运动与竖直得自由落体运动来分析。但应注意本题就是“环境”限制下得平抛运动,

应弄清限制条件再求解。关键就是要画出临界条件下得图来。 例:如图1所示,排球场总长为18m,设球网高度为2m,运动员站在离网3m 得线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出。(不计空气阻力) (1)设击球点在3m 线正上方高度为2、5m 处,试问击球得速度在什么范围内

才能使球即不触网也不越界？

(2)若击球点在3m 线正上方得高度小余某个值,那么无论击球得速度多大,球不就是触网就就是越界,试求这个高度？ 考点一:沿初速度方向得水平位移:根据 考点二:入射得初速度: 考点三:P 到Q 得运动时间: 处理方法:1、沿水平方向得匀速运动与竖直方向得自由落体运动;2、沿斜面方向得匀加速运动与垂直斜面方向得竖直上抛运动。 考点一:物体从A 运动到B 得时间:根据 考点二:B 点得速度v B 及其与v 0得夹角α: 考点三:A 、B 之间得距离s:

曲线运动,匀速圆周运动得角速度恒定;③匀速圆周运动发生条件就是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直得合外力;④匀速圆周运动得运动状态周而复始地出现,匀速圆周运动具有周期性。

3、描述圆周运动得物理量:

(1)线速度v 就是描述质点沿圆周运动快慢得物理量,就是矢量;其方向沿轨迹切线,国际单位制中单位符号就是m/s,匀速圆周运动中,v 得大小不变,方向却一直在变;

(2)角速度ω就是描述质点绕圆心转动快慢得物理量,就是矢量;国际单位符号就是rad ／s; (3)周期T 就是质点沿圆周运动一周所用时间,在国际单位制中单位符号就是s;

(4)频率f 就是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动得次数,在国际单位制中单位符号就是Hz;

(5)转速n 就是质点在单位时间内转过得圈数,单位符号为r/s,以及r/min. 4、各运动参量之间得转换关系:

.2,2222R v

T n T R v nR R T R v πππωππω====??→?==

=变形 5.三种常见得转动装置及其特点:

模型一:共轴传动 模型二:皮带传动 模型三:齿轮传动

[触类旁通]1、一个内壁光滑得圆锥形筒得轴线垂直于水平面,圆锥筒固定,有质量相同得小球A 与B 沿着筒得内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,A 得运动半径较大,则( AC )

A.A 球得角速度必小于B 球得角速度

B.A 球得线速度必小于B 球得线速度

C.A 球得运动周期必大于B 球得运动周期

D.A 球对筒壁得压力必大于B 球对筒壁得压力 解析:小球A 、B 得运动状态即运动条件均相同,属于三种模型中得皮带传送。则可以知道,两个小球得线速度v 相同,B 错;因为R A >R B ,则ωA <ωB ,T A

正确;又因为两小球各方面条件均相同,所以,两小球对筒壁得压力相同,D 错。所以A 、C 正确。 2、两个大轮半径相等得皮带轮得结构如图所示,AB 两点得半径之比为2 : 1,CD 两点得半径之比也为2 : 1,则ABCD 四点得角速度之比为 1∶1∶2∶2 ,这四点得线速度之比为 2∶1∶4∶2 。

二、向心加速度

1、定义:任何做匀速圆周运动得物体得加速度都指向圆心,这个加速度叫向心加速度。

注:并不就是任何情况下,向心加速度得方向都就是指向圆心。当物体做变速圆周运动时,向心加速度得一个分加速度指向圆心。

2、方向:在匀速圆周运动中,始终指向圆心,始终与线速度得方向垂直。向心加速度只改变线速度得方向而非大小。

3、意义:描述圆周运动速度方向方向改变快慢得物理量。

4、公式:

5、两个函数图像:

[触类旁通]1、如图所示得吊臂上有一个可以沿水平方向运动得小车A,

小车下装有吊着物体B 得吊钩。在小车A 与物体B 以相同得水平速度沿

r R O

B A

A B O r R

O A B r 2 r 1 a n

a n

吊臂方向匀速运动得同时,吊钩将物体B向上吊起。A、B之间得距离以d = H－2t2(SI)(SI表示国际单位制,式中H为吊臂离地面得高度)规律变化。对于地面得人来说,则物体做( AC ) Ａ.速度大小不变得曲线运动

Ｂ.速度大小增加得曲线运动

Ｃ.加速度大小方向均不变得曲线运动

Ｄ.加速度大小方向均变化得曲线运动

2、如图所示,位于竖直平面上得圆弧轨道光滑,半径为R,OB沿竖直方向,上端A距地面高度为H,质量为m得小球从A点由静止释放,到达B点时得速度为,最后落在地面上C 点处,不计空气阻力,求:

(1)小球刚运动到B点时得加速度为多大,对轨道得压力多大;

(2)小球落地点C与B点水平距离为多少。

三、向心力

1、定义:做圆周运动得物体所受到得沿着半径指向圆心得合力,叫做向心力。

2、方向:总就是指向圆心。

3、公式:

4、几个注意点:①向心力得方向总就是指向圆心,它得方向时刻在变化,虽然它得大小不变,但就是向心力也就是变力。②在受力分析时,只分析性质力,而不分析效果力,因此在受力分析就是,不要加上向心力。③描述做匀速圆周运动得物体时,不能说该物体受向心力,而就是说该物体受到什么力,这几个力得合力充当或提供向心力。

四、变速圆周运动得处理方法

1、特点:线速度、向心力、向心加速度得大小与方向均变化。

2、动力学方程:合外力沿法线方向得分力提供向心力:。合外力沿切线方向得分力产生切线加速

度:F

T =mωa

T

。

3.离心运动:

（1）当物体实际受到得沿半径方向得合力满足F

供=F

需

=mω2r时,物体做圆周运动;当F

供

需

=m

ω2r时,物体做离心运动。

（2）离心运动并不就是受“离心力”得作用产生得运动,而就是惯性得表现,就是F

供

需

得结果;

离心运动也不就是沿半径方向向外远离圆心得运动。

五、圆周运动得典型类型

类型受力特点图示最高点得运动情况用细绳拴

一小球在竖直平面内转动绳对球只有

拉力

①若F＝0,则mg＝

mv2

R

,v＝gR

②若F≠0,则v>gR

小球固定在轻杆得一端在竖直平面内转动

杆对球可以就是拉力也可以就是支持力

①若F ＝0,则mg ＝mv 2

R

,v ＝gR

②若F 向下,则mg ＋F ＝m v 2

R ,v>gR

③若F 向上,则mg －F ＝mv 2

R 或mg －F ＝0,则0

≤v

小球在竖直细管内转动

管对球得弹力F N 可以向上也可以向

下

依据mg ＝mv 20

R

判断,若v ＝v 0,F N ＝0;若v

向上;若v>v 0,F N 向下

球壳外得小球

在最高点时弹力F N 得方向向上

①如果刚好能通过球壳得最高点A,则v A ＝0,F N ＝mg

②如果到达某点后离开球壳面,该点处小球受到壳面得弹力F N ＝0,之后改做斜抛运动,若在最高点离开则为平抛运动

六、有关生活中常见圆周运动得涉及得几大题型分析

（一）解题步骤:

①明确研究对象; ②定圆心找半径;

③对研究对象进行受力分析; ④对外力进行正交分解;

⑤列方程:将与与物体在同一圆周运动平面上得力或其分力代数运算后,另得数等于向心力;

⑥解方程并对结果进行必要得讨论。 （二）典型模型:

I 、圆周运动中得动力学问题

谈一谈:圆周运动问题属于一般得动力学问题,无非就是由物体得受力情况确定物体得运动情况,或者由物体得运动情况求解物体得受力情况。解题思路就就是,以加速度为纽带,运用那个牛顿第二定律与运动学公式列方程,求解并讨论。 模型一:火车转弯问题:

模型二:汽车过拱桥问题: [触类旁通]1、铁路在弯道处得内外轨道高度就是不同得,已知内外轨道平面与水平面得倾角为θ,如图所示,弯道处得圆弧半径为R,若质量为m 得火车转弯时速度小于,则( A ) A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C.这时铁轨对火车得支持力等于

D.这时铁轨对火车得支持力大于 解析:当内外轨对轮缘没有挤压时,物体受重力与支持力得合力提供向心力,此时速度为。 2、如图所示,质量为m 得物体从半径为R 得半球形碗边向碗底滑动,滑倒最低点时得速度为v 。

N

F 合 mg h L

a 、涉及公式:① ②,由①②得:。

b 、分析:设转弯时火车得行驶速度为v,则: （1）若v>v 0,外轨道对火车轮缘有挤压作用; （2）若v

告诉行驶。

b 、分析:当:

（1）,汽车对桥面得压力为0,汽车出于完全失重状态;

（2）,汽车对桥面得压力为。 （3）,汽车将脱离桥面,出现飞车现象。

c 、注意:同样,当汽车过凹形桥底端时满足,汽车对桥面得压力将大

于汽车重力,汽车处于超重状态,若车速过大,容易出现爆胎现象,即也不宜高速行驶。

b a O Q P

M O L A

F

若物体滑倒最低点时受到得摩擦力就是f,则物体与碗得动摩擦因数μ为( B )。

A 、

B 、

C 、

D 、

解析:设在最低点时,碗对物体得支持力为F,则,解得,由 f=μF 解得,化简得,所以B 正确。 II 、圆周运动得临界问题

A.常见竖直平面内圆周运动得最高点得临界问题

谈一谈:竖直平面内得圆周运动就是典型得变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动得问题,中学物理只研究问题通过最高点与最低点得情况,并且经常出现有关最高点得临界问题。

模型三:轻绳约束、单轨约束条件下,小球过圆周最高点:

模型四:轻杆约束、双轨约束条件下,小球过圆周最高点:

模型五:小物体在竖直半圆面得外轨道做圆周运动: [触类旁通]1、如图所示,质量为0、5 kg 得小杯里盛有1 kg 得水,用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演,转动半径为 1 m,小杯通过最高点得速度为4 m/s,g 取10 m/s2,求:

(1)在最高点时,绳得拉力？ (2)在最高点时水对小杯底得压力？

在最高点时最小速率就是多少? ;(3)m/s = 3、16 m/s 点得水平轴自由转动,现给小分别表示小球轨道得最低点与最高点,

就是一半径m=1kg 得欲使A 刚解析:物体A 经过Q 时,其受力情况如图所示:

由牛顿第二定律得:

物体A 刚好过A 时有F N =0;解得, 对物体从L 到Q 全过程,由动能定理得:

,解得F=8N 。

B 、物体在水平面内做圆周运动得临界问题

谈一谈:在水平面内做圆周运动得物体,当角速度ω变化时,物体有远离或向着圆心运动(半径变

化)得趋势。这时要根据物体得受力情况判断物体所受得某个力就是否存在以及这个力存在时方向如何(特别就是一些接触力,如静摩擦力、绳得拉力等)。 【综合应用】 1、如图所示,按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动得轮子其边缘上有一点 A,当 A 通过与圆心等高得 a 处时,有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动.已知轮子得半径为 R,求: (1)轮子得角速度ω满足什么条件时,点 A 才能与质点 B 相遇？

(注意:绳对小球只能产生沿绳收缩方向得拉力、) (1)临界条件:小球到达最高点时,绳子得拉力或单轨得弹力刚好等于0,小球得重力提供向心力。即: 。 （2）小球能过最高点得条件:,绳对球产生向下得拉力或轨道对球产生向下得压力。 （3）小球不能过最高点得条件:(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道)。 (1)临界条件:由于轻杆与双轨得支撑作用,小球恰能到达最高点

得临街速度 (2)如图甲所示得小球过最高点时,轻杆对小球得弹力情况:①当

v=0时,轻杆对小球有竖直向上得支持力F N ,其大小等于小球得重力,即F N =mg;

②当时,轻杆对小球得支持力得方向竖直向上,大小随小球速度

得增大而减小,其取值范围就是;

v v v

O 绳R

杆v 甲 v 乙

其大小随速度得增大而增大。

光滑双轨对小球得弹力情况: 其大小等于小球得重力,即F N =mg; 大小随小球速度得增大而减小,其,其大小随速度得增大而增大。 两种情况: (1)若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑,物体在最高点得速度v 得限制条件就是 (2)若,物体将从最高电起,脱离圆轨道做平抛运动。 Q P M

mg F N

O 处理方法:先对A 进行受力分析,如图所示,注意在分析时不能忽略摩擦力,当然,

如果说明盘面为光滑平面,摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后,可以发现支持力N 与mg 相互抵销,则只有f 充当该物体得向心力,则有,接着可以求得所需得圆周运动参数等。 等效处理:O 可以瞧作一只手或一个固定转动点,B 绕着O 经长为R 得轻绳或轻杆

得牵引做着圆周运动。还就是先对B 进行受力分析,发现,上图得f 在此图中可等

效为绳或杆对小球得拉力,则将f 改为F 拉即可,根据题意求出F 拉,带入公式,即可

求得所需参量。

O A N mg f 等效为

(2)轮子得角速度ω′满足什么条件时,点 A 与质点 B 得速度才有可能在某时刻相同？

解析:(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇,即轮子得最低处,则点 A 从 a 处转到 d 处所转过得角度应为θ＝2n π＋3

2π,其中n 为自然数.

由h ＝12

gt 2

知,质点B 从O 点落到d 处所用得时间为t ＝

2R

g

,则轮子得角速度应满足条件

ω＝θt ＝(2n ＋32)π

g

2R

,其中n 为自然数. (2)点 A 与质点 B 得速度相同时,点 A 得速度方向必然向下,因此速度相同时,点 A 必然运动到了 c 处,则点 A 运动到 c 处时所转过得角度应为θ’＝2n π＋π,其中 n 为自然数. 转过得时间为

此时质点 B 得速度为 v B ＝gt ′,又因为轮子做匀速转动,所以点 A 得速度为 v A ＝ω′R 由 v A ＝v B 得,轮子得角速度应满足条件,其中n 为自然数.

2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛.比赛路径如下图所示,赛车从起点A 出发,沿水平直线轨道运动L 后,由B 点进入半径为R 得光滑竖直圆轨道,离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C 点,并能越过壕沟.已知赛车质量m ＝0、1 kg,通电后以额定功率P ＝1、5 W 工作,进入竖直轨道前受到得阻力恒为0、3 N,随后在运动中受到得阻力均可不记.图中L ＝10、00 m,R ＝0、32 m,h ＝1、25 m,x ＝1、50 m.问:要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间？(取g ＝10 m/s 2)

解析:设赛车越过壕沟需要得最小速度为v 1,由平抛运动得规律

x ＝v 1t,h ＝12gt 2,解得:v 1＝x R

2h

＝3 m/s

设赛车恰好越过圆轨道,对应圆轨道最高点得速度为v 2,最低点得速度为v 3,由牛顿第二定律及机械能守恒定律得

mg ＝m v 22

R , 12mv 23

＝12mv 22＋mg (2R ) 解得v 3＝5gh ＝4 m/s

通过分析比较,赛车要完成比赛,在进入圆轨道前得速度最小应该就是 v min ＝4 m/s

设电动机工作时间至少为t ,根据功能关系

Pt －F f L ＝12

mv 2

min ,由此可得t ＝2、53 s 、

3、如下图所示,让摆球从图中A 位置由静止开始下摆,正好到最低点B 位置时线被拉断.设摆线长为L ＝1、6 m,摆球得质量为0、5kg,摆线得最大拉力为10N,悬点与地面得竖直高度为H=4m,不计空气阻力,g 取10 m/s 2。求:

(1)摆球着地时得速度大小.(2)D 到C 得距离。 解析:(1)小球刚摆到B 点时,由牛顿第二定律可知: ①,由①并带入数据可解得:, 小球离开B 后,做平抛运动、

竖直方向:②,落地时竖直方向得速度:③ 落地时得速度大小:④,由①②③④得: （2）落地点D 到C 得距离

第六章 万有引力与航天

§6-1 开普勒定律

一、两种对立学说(了解)

1、地心说:

(1)代表人物:托勒密;(2)主要观点:地球就是静止不动得,地球就是宇宙得中心。

2、日心说:

(1)代表人物:哥白尼;(2)主要观点:太阳静止不动,地球与其她行星都绕太阳运动。

二、开普勒定律

1、开普勒第一定律(轨道定律):所有行星围绕太阳运动得轨道都就是椭圆,太阳处在所有椭圆得一个焦点上。

2、开普勒第二定律(面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳得连线在相等时间内扫过相等得面积。此定律也适用于其她行星或卫星绕某一天体得运动。

3、开普勒第三定律(周期定律):所有行星轨道得半长轴R得三次方与公转周期T得二次方得比值都相同,即值就是由中心天体决定得。通常将行星或卫星绕中心天体运动得轨道近似为圆,则半长轴a即为圆得半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点与远日点运动速率得大小。

[牛刀小试]1、关于“地心说”与“日心说”得下列说法中正确得就是( AB )。

A.地心说得参考系就是地球

B.日心说得参考系就是太阳

C.地心说与日心说只就是参考系不同,两者具有等同得价值

D.日心说就是由开普勒提出来得

2、开普勒分别于1609年与1619年发表了她发现得行星运动规律,后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律,下列说法正确得就是( B )

A.所有行星绕太阳运动得轨道都就是圆,太阳处在圆心上

B.对任何一颗行星来说,离太阳越近,运行速率就越大

C.在牛顿发现万有引力定律后,开普勒才发现了行星得运行规律

D.开普勒独立完成了观测行星得运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作

§6-2 万有引力定律

一、万有引力定律

1、月—地检验:①检验人:牛顿;②结果:地面物体所受地球得引力,与月球所受地球得引力都就是同一种力。

2、内容:自然界得任何物体都相互吸引,引力方向在它们得连线上,引力得大小跟它们得质量m

1与m

乘积成正比,跟它们之间得距离得平方成反比。

2

3、表达式:,

4、使用条件:适用于相距很远,可以瞧做质点得两物体间得相互作用,质量分布均匀得球体也可用此公式计算,其中r指球心间得距离。

5、四大性质:

①普遍性:任何客观存在得有质量得物体之间都存在万有引力。

②相互性:两个物体间得万有引力就是一对作用力与反作用力,满足牛顿第三定律。

③宏观性:一般万有引力很小,只有在质量巨大得星球间或天体与天体附近得物体间,其存在才有意义。

④特殊性:两物体间得万有引力只取决于它们本身得质量及两者间得距离,而与它们所处环境以及周围就是否有其她物体无关。

6、对G得理解:①G就是引力常量,由卡文迪许通过扭秤装置测出,单位就是。

②G在数值上等于两个质量为1kg得质点相距1m时得相互吸引力大小。

③G得测定证实了万有引力得存在,从而使万有引力能够进行定量计算,同时标志着力学实验精

密程度得提高,开创了测量弱相互作用力得新时代。

[牛刀小试]1、关于万有引力与万有引力定律理解正确得有( B )

A.不可能瞧作质点得两物体之间不存在相互作用得引力

B.可瞧作质点得两物体间得引力可用F = 计算

C.由F = 知,两物体间距离r减小时,它们之间得引力增大,紧靠在一起时,万有引力非常大

D.引力常量得大小首先就是由卡文迪许测出来得,且等于6、67×10－11N·m2 / kg2

2、下列说法中正确得就是( ACD )

A.总结出关于行星运动三条定律得科学家就是开普勒

B.总结出万有引力定律得物理学家就是伽俐略

C.总结出万有引力定律得物理学家就是牛顿

D.第一次精确测量出万有引力常量得物理学家就是卡文迪许

7、万有引力与重力得关系:

(1)“黄金代换”公式推导:

当时,就会有。

(2)注意:①重力就是由于地球得吸引而使物体受到得力,但重力不就

是万有引力。

②只有在两极时物体所受得万有引力才等于重力。

③重力得方向竖直向下,但并不一定指向地心,物体在赤道上重力最小,

在两极时重力最大。

④随着纬度得增加,物体得重力减小,物体在赤道上重力最小,在两极

时重力最大。

⑤物体随地球自转所需得向心力一般很小,物体得重力随纬度得变化很小,因此在一般粗略得计算中,可以认为物体所受得重力等于物体所受地球得吸引力,即可得到“黄金代换”公式。

[牛刀小试]设地球表面得重力加速度为g0,物体在距地心4 R(R为地球半径)处,由于地球得作用而产生得重力加速度为g,则g∶g0为( D )

A.16∶1

B.4∶1

C.1∶4

D.1∶16

8、万有引力定律与天体运动:

(1)运动性质:通常把天体得运动近似瞧成就是匀速圆周运动。

(2)从力与运动得关系角度分析天体运动:

天体做匀速圆周运动运动,其速度方向时刻改变,其所需得向心

力由万有引力提供,即F

需=F

万

。如图所示,由牛顿第二定律得:

,从运动得角度分析向心加速度:

（3）重要关系式:

[牛刀小试]1、两颗球形行星A与B各有一颗卫星a与b,卫星得圆形轨道接近

各自行星得表面,如果两颗行星得质量之比,半径之比= q,则两颗卫星得周期之比等于。

2、地球绕太阳公转得角速度为ω1,轨道半径为R1,月球绕地球公转得角速度为ω2,轨道半径为R2,那么太阳得质量就是地球质量得多少倍？

解析:地球与太阳得万有引力提供地球运动得向心力,月球与地球得万有引力提供月球运动得向心力,最后算得结果为。

3、假设火星与地球都就是球体,火星得质量M1与地球质量M2之比= p;火星得半径R1与地球得半径R2之比= q,那么火星表面得引力加速度g1与地球表面处得重力加速度g2之比等于( A )

A. B.p q2 C. D.p q

9、计算大考点:“填补法”计算均匀球体间得万有引力:

谈一谈:万有引力定律适用于两质点间得引力作用,对于形状不规则得物体应给予填补,变成一个形状规则、便于确定质点位置得物体,再用万有引力定律进行求解。

模型:如右图所示,在一个半径为R,质量为M得均匀球体中,紧贴球得边缘挖出一个半径为R/2

得球形空穴后,对位于球心与空穴中心连线上、与球心相距d得质点m得引力就是多大？

思路分析:把整个球体对质点得引力瞧成就是挖去得小球体与剩余部分对质点得引力之与,即可求解。

根据“思路分析”所述,引力F可视作F=F

1

+F

2

:

M

R

M

R

R

M

R

d

GMm

F

8

1

3

4

2

3

4

2

3

4

'

2/

3

3

3

2

=

?

?

?

?

?

?

=

?

?

?

?

?

?

=

=

π

π

ρ

π

的小球质量为

，因半径为

已知,

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

8

2

8

7

2

8

,

2

8

2

'

?

?

?

?

?

-

+

-

=

?

?

?

?

?

-

-

=

-

=

?

?

?

?

?

-

=

?

?

?

?

?

-

=

R

d

d

R

dR

d

GMm

R

d

Mm

G

d

GMm

F

F

F

R

d

Mm

G

R

d

m

M

G

F

所以,

则挖去小球后得剩余部分对球外质点m得引力为。

[能力提升]某小报登载:×年×月×日,×国发射了一颗质量为100kg,周期为1h得人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G得数值且手边没有可查找得材料,但她记得月球半径约为地球得

1

4

,月球表面重力加速度约为地球得

1

6

,经过推理,她认定该报道就是则假新闻,试写出她得论证方案。(地球半径约为6、4×103km)

证明:因为G

Mm

R2

＝m

4π2

T2

R,所以T＝2π

R3

GM

,

又G

Mm

R2

＝mg得g＝

GM

R2

,故T min＝2π

R3

GM

＝2π

R

月

g

月

＝2π

1

4

R

地

1

6

g

地

＝2π

3R地

2g地

＝2π

3×6、4×106

2×9、8

s＝6、2×103s≈1、72h。

环月卫星最小周期约为1、72h,故该报道就是则假新闻。

§6-3 由“万有引力定律”引出得四大考点

一、解题思路——“金三角”关系:

（1）万有引力与向心力得联系:万有引力提供天体做匀速圆周运动得向心力,

即

就是本章解题得主线索。

（2）万有引力与重力得联系:物体所受得重力近似等于它受到得万有引力,即为对应轨道处得重力加速度,这就是本章解题得副线索。

（3）重力与向心力得联系:为对应轨道处得重力加速度,适用于已知g 得特殊情况。

二、天体质量得估算

模型一:环绕型:

谈一谈:对于有卫星得天体,可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动,中心天体对卫星得万有引力提供卫星做匀速圆周运动得向心力,利用引力常量G 与环形卫星得v 、ω、T 、r 中任意两个量进行估算(只能估计中心天体得质量,不能估算环绕卫星得质量)。 ①已知r 与T: ②已知r 与v: ③已知T 与v: 模型二:表面型:

谈一谈:对于没有卫星得天体(或有卫星,但不知道卫星运行得相关物理量),可忽略天体自转得影响,根据万有引力等于重力进行粗略估算。

变形:如果物体不在天体表面,但知道物体所在处得g,也可以利用上面得方法求出天体得质量: 处理:不考虑天体自转得影响,天体附近物体得重力等于物体受得万有引力,即:

[触类旁通]1、(2013·福建理综,13)设太阳质量为M ,某行星绕太阳公转周期为T ,轨道可视作半径为r 得圆。已知万有引力常量为G ,则描述该行星运动得上述物理量满足( A )

A.GM ＝

4π2r 3

T 2

B.GM ＝

4π2r 2

T 2

C.GM ＝

4π2r 2

T 3

D.GM ＝

4πr 3

T 2

解析:本题考查了万有引力在天体中得应用。就是知识得简单应用。由GMm r 2＝mr 4π2

T 2可得 GM ＝4π2r 3

T 2,A 正确。

2、(2013·全国大纲卷,18)“嫦娥一号”就是我国首次发射得探月卫星,它在距月球表面高度为200km 得圆形轨道上运行,运行周期为127分钟。已知引力常量G ＝6、67×10－11N ·m 2/kg 2,月球半径约为1、74×103km 。利用以上数据估算月球得质量约为( D ) A.8、1×1010kg B.7、4×1013kg C.5、4×1019kg D.7、4×1022kg

解析:本题考查万有引力定律在天体中得应用。解题得关键就是明确探月卫星绕月球运行得向心力就是由月球对卫星得万有引力提供。由G Mm r 2＝mr 4π2r 2得M ＝4π2r 3

GT 2,又r ＝R 月＋h ,代入数值得月球质量M ＝7、4×1022kg,选项D 正确。

3、土星得9个卫星中最内侧得一个卫星,其轨道为圆形,轨道半径为1、59×105 km,公转周期为18 h 46 min,则土星得质量为 5、21×1026 kg 。

4、宇航员站在一颗星球表面上得某高处,沿水平方向抛出一个小球。经过时间t,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间得距离为L 。若抛出时得初速度增大到2倍,则抛出点与落地点之间得距离为。已知两落地点在同一水平面上,该星球得半径为R,万有引力常数为G 。求该星球得质量M 。

解析:在该星球表面平抛物体得运动规律与地球表面相同,根据已知条件可以求出该星球表面得加速度;需要注意得就是抛出点与落地点之间得距离为小球所做平抛运动得位移得大小,而非水平方向得位移得大小。然后根据万有引力等于重力,求出该星球得质量。

5、“科学真就是迷人。”如果我们能测出月球表面得加速度g 、月球得半径R 与月球绕地球运转得周期T ,就能根据万有引力定律“称量”月球得质量了。已知引力常数G ,用M 表示月球得质量。关于月球质量,下列说法正确得就是( A )

A.M =

B.M =

C.M =

D.M =

解析:月球绕地球运转得周期T 与月球得质量无关。

三、天体密度得计算

模型一:利用天体表面得g 求天体密度:

物体不在天体表面:

模型二:利用天体得卫星求天体得密度:

.

33443434,4323323

233222R GT r R GT r R M R M T r m r Mm G ππππρπρπ===??==

四、求星球表面得重力加速度:

在忽略星球自转得情况下,物体在星球表面得重力大小等于物体与星球间得万有引力大小,即:

[牛刀小试](2012新课标全国卷,21)假设地球就是一半径为R 、质量分布均匀得球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀得球壳对壳内物体得引力为零。矿井底部与地面处得重力加速度大小之比为( A )

A.1－d R

B.1＋d

R

C 、

D 、

解析:设地球得质量为M ,地球得密度为ρ,根据万有引力定律可知, 地球表面得重力加速度g ＝

GM R 2,地球得质量可表示为M ＝43

πR 3

ρ 因质量分布均匀得球壳对壳内物体得引力为零,所以矿井下以(R －d )为半径得地球得质量为 M ′＝43π(R －d )3ρ,解得M ′＝(R －d R )3M,则矿井底部处得重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2,所以矿井底

部处得重力加速度与地球表面处得重力加速度之比g ′g ＝1－d

R ,选项A 正确,选项B 、C 、D 错误。

五、双星问题:

特点:“四个相等”:两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之与。

变形

符号表示:L m m m r L m m m r m v m r v m r m F 2

11221212,,1,1+=+=∝∝

?==ωω、 处理方法:双星间得万有引力提供了它们做圆周运动得向心力,即:

G m 1m 2

L

2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2,由此得出: (1)m 1r 1＝m 2r 2,即某恒星得运动半径与其质量成反比。

(2)由于ω＝2πT ,r 1＋r 2＝L ,所以两恒星得质量之与m 1＋m 2＝4π2L 3

GT 2

。

1、(2010 年全国卷Ⅰ)如图所示,质量分别为 m 与 M 得两个星球 A 与 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动,星球 A 与 B 两者中心之间得距离为 L 、已知 A 、B 得中心与 O 三点始终共线,A 与B 分别在 O 得两侧.引力常量为 G 、 (1)求两星球做圆周运动得周期;

(2)在地月系统中,若忽略其她星球得影响,可以将月球与地球瞧成上述星球 A 与B,月球绕其轨道中心运行为得周期记为 T 1、但在近似处理问题时,常常认为月球就是绕地心做圆周运动得,这样算得得运行周期为 T 2、 已知地球与月球得质量分别为 5、98×1024kg 与7、35×1022kg 、求 T 2与T 1两者得平方之比.(结果保留两位小数)

解析:(1)A 与 B 绕 O 做匀速圆周运动,它们之间得万有引力提供向心力,则 A 与 B 得向心力相等,且 A 与 B 与 O 始终共线,说明 A 与 B 有相同得角速度与周期.因此有 m ω2r ＝M ω2R,r ＋R ＝L 联立解得R ＝

m m ＋M

L ,r ＝

M m ＋M

L

对A 根据牛顿第二定律与万有引力定律得:

,化简得、

(2)将地月瞧成双星,由(1)得

将月球瞧做绕地心做圆周运动,根据牛顿第二定律与万有引力定律得 化简得

所以两种周期得平方比值为

＝M ＋m M ＝5、98×1024＋7、35×10225、98×1024

＝1、01、

2、双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力得作用下,分别围绕其连线上得某一点做周期相同得匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星得总质量、距离与周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动得周期为T ,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来得k 倍,两星之间得距离变为原来得n 倍,则此时圆周运动得周期为( B )

A 、

n 3

k 2

T B 、n 3

k T C 、

n 2

k T D 、

n k T

解析:本题考查双星问题,解题得关键就是要掌握双星得角速度(周期)相等,要注意双星得距离不就是轨道半径,该题考查了理解能力与综合分析问题得能力。由GMm r 2＝mr 1ω2;GMm

r 2＝Mr 2ω2; r ＝r 1＋r 2得:G (M ＋m )r 2＝rω2

＝r 4π2T 2同理有Gk (M ＋m )(nr )2＝nr 4π2T 21

,解得T 1＝

n 3

k T ,B 正确。

§6-4 宇宙速度 & 卫星

一、涉及航空航天得“三大速度”:

(一)宇宙速度:

1.第一宇宙速度:人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有得速度叫第一宇

=7、9km/s。它就是近地卫星得运行速度,也就是人造卫星最宙速度,也叫地面附近得环绕速度,v

1

小发射速度。(待在地球旁边得速度)

2.第二宇宙速度:使物体挣脱地球引力得束缚,成为绕太阳运动得人造卫星或飞到其她行星上去

=11、2km/s。(离弃地球,投入太阳怀抱得速度)

得最小速度,v

2

3.第三宇宙速度:使物体挣脱太阳引力得束缚,飞到太阳以外得宇宙空间去得最小速度,v

=16、

2

7km/s。(离弃太阳,投入更大宇宙空间怀抱得速度)

(二)发射速度:

1、定义:卫星在地面附近离开发射装置得初速度。

2、取值范围及运行状态:

①,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。

②,可以使卫星在距地面较高得轨道上运行。

③,一般情况下人造地球卫星发射速度。

(三)运行速度:

1、定义:卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动得线速度。

2、大小:对于人造地球卫星,该速度指得就是人造地球卫星在轨道上得运行得环绕速度,其大小随轨道得半径r↓而v↑。

3、注意:①当卫星“贴着”地面飞行时,运行速度等于第一宇宙速度;②当卫星得轨道半径大于地球半径时,运行速度小于第一宇宙速度。

[牛刀小试]1、地球得第一宇宙速度约为8 km/s,某行星得质量就是地球得6倍,半径就是地球得

1、5倍。该行星上得第一宇宙速度约为( A )

A.16 km/s

B.32 km/s

C.46 km/s

D.2 km/s

解析:由公式m= G,若M增大为原来得6倍,r增大为原来得1、5倍,可得v增大为原来得2倍。

2、某行星得质量为地球质量得16倍,半径为地球半径得4倍,已知地球得第一宇宙速度为7、9 km/s ,该行星得第一宇宙速度就是多少？

解析:思路与第一题相同,答案可易算得为15、8 km/s。

3、某星球半径为R,一物体在该星球表面附近自由下落,若在连续两个T时间内下落得高度依次为h1、h2,则该星球附近得第一宇宙速度为。

二、两种卫星:

(一)人造地球卫星:

1、定义:在地球上以一定初速度将物体发射出去,物体将不再落回地面而绕地球运行而形成得人造卫星。

2、分类:近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。

3、三个”近似”:

①近地卫星贴近地球表面运行,可近似认为它做匀速圆周运动得半径等于地球半径。

②在地球表面随地球一起自转得物体可近似认为地球对它得万有引力等于重力。

③天体得运动轨道可近似瞧成圆轨道,万有引力提供向心力。

4、四个等式:

①运行速度:↓↑→+∝→+=?+=+v h h R v h R GM v h R v m h R Mm G ,1

)(22

。 ②角速度:↓↑→+∝→+=?+=+ωωωω,)(1)()()(3

32

2h h R h R GM h R m h R Mm G

。

③周期:。↑↑→+∝→+=?+???

??=+T h h R T GM h R T h R T m h R Mm G ,)()(2)(2)(332

2

ππ。 ④向心加速度:↓↑→+∝→+=?=+a h h R a h R GM a ma h R Mm G

,)(1

)()(2

22。

(二)地球同步卫星:

1、定义:在赤道平面内,以与地球自转角速度相同得角速度绕地球运行得卫星。

2、五个“一定”:

①周期T 一定:与地球自转周期相等(24h),角速度ω也等于地球自转角速度。

②轨道一定:所有同步卫星得运行方向与地球自转方向一致,轨道平面与赤道平面重合。 ③运行速度v 大小一定:所有同步卫星绕地球运行得线速度大小一定,均为3、08km/s 。 ④离地高度h 一定:所有同步卫星得轨道半径均相同,其离地高度约为3、6×104km 。

⑤向心加速度a n 大小一定:所有同步卫星绕地球运行得向心加速度大小都相等,约为0、22m/s 2。 注:所有国家发射得同步卫星得轨道都与赤道为同心圆,它们都在同一轨道上运动且都相对静止。

三、卫星变轨问题:

1、原因:线速度v 发生变化,使万有引力不等于向心力,从而实现变轨。

2、条件:增大卫星得线速度v,使万有引力小于所需得向心力,从而实现变轨。

3、注意:卫星到达高轨道后,在新得轨道上其运行速度反而减小;当卫星得线速度v 减小时,万有引力大于所需得向心力,卫星则做向心运动,但到了低轨道后达到新得稳定运行状态时速度反而增大。

4、卫星追及相遇问题:某星体得两颗卫星之间得距离有最近与最远之分,但它们都处在同一条直线上。由于它们轨道不就是重合得,因此在最近与最远得相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理,而就是通过卫星运动得圆心角来衡量,若它们初始位置在同一直线上,实际内轨道所转过得圆心角与外轨道所转过得圆心角之差为π得整数倍时就就是出现最近或最远得时刻。

四、与卫星有关得几组概念得比较总结:

1、天体半径R 与卫星轨道半径r 得比较:卫星得轨道半径r 就是指卫星绕天体做匀速圆周运动得半径,与天体半径R 得关系就是r=R+h(h 为卫星距离天体表面得高度),当卫星贴近天体表面运动时,可视作h=0,即r=R 。

2、卫星运行得加速度与物体随地球自转得向心加速度得比较: (1)卫星运行得加速度:

卫星绕地球运行,由万有引力提供向心力,产生得向心加速度满足,其方向始终指向地心,大小随卫星到地心距离r 得增大而减小。 （2）物体随地球自转得向心加速度:

当地球上得物体随地球得自转而运动时,万有引力得一个分力使物体产生随地球自转得向心加速度,其方向垂直指向地轴,大小从赤道到两极逐渐减小。 3、自转周期与公转周期得比较:

自转周期就是天体绕自身某轴线运动一周得时间,公转周期就是某星球绕中心天体做圆周

运动一周得时间。一般两者不等(月球除外),如地球得自转周期就是24h,公转周期就是365天。 4、近地卫星、同步卫星、赤道上得物体得比较: 内容 近地卫星 赤道上得物体 相同点 质量相同时,受到地球得引力大小相等

不同点

受力情况 只受地球引力作用且地球引力等于

卫星做圆周运动所需向心力 受地球引力与地面支持力作用,其

合力提供物体随地球自转做圆周运

动得向心力

运动情况 角速度、线速度、向心加速度、周期均不等

相同点:都就是地球卫星,地球得引力提供向心力。

不同点:近地卫星得线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星得大,而周期比同步卫星得小。 内容 近地卫星 赤道上得物体 相同点 角速度都等于地球自转得角速度,周期都等于地球自转得周期

不同点

受力情况

只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力 受地球引力与地面支持力作用,其

合力提供物体做圆周运动得向心力

轨道半径 同步卫星得轨道半径比赤道上得物体得轨道半径大很多 运动情况 同步卫星得线速度、向心加速度均大于赤道上得物体

地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,经过几次制动后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球得质量之比为 a ∶1,卫星得停泊轨道与工作轨道得半径之比为 b ∶1,卫星在停泊轨道与工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则卫星( AD )

A.在停泊轨道与工作轨道运行得速度之比为a ∶b

B.在停泊轨道与工作轨道运行得周期之比为b ∶a

C.在停泊轨道运行得速度大于地球得第一宇宙速度

D.从停泊轨道进入地月转移轨道时,卫星必须加速 解析:由G Mm

r 2＝m v 2r 得v ＝

G M

r ,所以v 1v 2

＝

M 1r 2M 2r 1＝

a b ,选项A 正确.由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得T 1T 2＝

r 31r 32·M 2

M 1＝b 3a ,选项B 错误.由v ＝G M r 可知,轨道半径越大,运行速度越小,所以选项C 错误.要

使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道,必须使卫星做离心运动,即应增加卫星得动能,选项D 正确. 2、(多选)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆形轨道 1,然后经点火使其沿椭圆轨道 2 运行,最后再次点火将卫星送入同步轨道 3、轨道 1、2 相切于 Q 点,轨道 2、3 相切于P 点,如图 6－3 所示,则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时,以下说法正确得就是(BD) A.卫星在轨道 3 上得运行速率大于在轨道 1 上得速率 B.卫星在轨道 3 上得角速度小于在轨道 1 上得角速度

C.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时得加速度大于它在轨道 2上经过 Q 点时得加速度

D.卫星在轨道 2 上经过 P 点时得加速度等于它在轨道 3上经过 P 点时得加速度

解析:由于万有引力提供卫星做圆周运动得向心力,则有G Mm

r 2＝m v 2r ＝mω2r ,所

以v ＝GM r 、ω＝

GM

r 3、由题图可得轨道半径r 1v 3、ω1>ω3,A 错B

对.Q 点就是圆周轨道1与椭圆轨道2得相切点,由于万有引力提供向心力,则有G Mm

r 2＝ma 向,所以

a 向＝GM

r 2,显然,卫星在经过圆周轨道1上得Q 点与在经过椭圆轨道2上得Q 点时具有得向心加速

度均为a 向＝GM

r 2,C 错;同理可得D 对.

3、(多选)地球同步卫星到地心得距离r 可由r 3＝x 2y 2z

4π2求出.已知式中 x 得单位就是 m, y 得单位就是 s,z 得单位就是 m/s 2 ,则

A.x 就是地球半径,y 就是地球自转得周期,z 就是地球表面处得重力加速度

B.x 就是地球半径,y 就是同步卫星绕地心运动得周期,z 就是同步卫星得加速度

C.x 就是赤道周长,y 就是地球自转周期,z 就是同步卫星得加速度

D.x 就是地球半径,y 就是同步卫星绕地心运动得周期,z 就是地球表面处得重力加速度

解析:由,可得r 3＝GMT 24π2①,与题目中给出得r 3＝x 2y 2

z 4π2相比需再作进一步处理.考虑到z 得单位就是

m/s 2,就是加速度得单位,于就是引入加速度a ＝G M

r 2②,上式中a 为同步卫星得加速度,r 为同步卫星到地心得距离,由①②两式可得r 3

＝r 2T 2a

4π2,显然与所有选项不对应;引入地球表面处得重力加速

度:g ＝G M R 2③,由①③两式可得r 3＝R 2T 2g 4π2,与r 3＝x 2y 2

z

4π2相比,形式相同,并且与A 、D 对应.对于同步

卫星,其绕地心运动得周期与地球自转周期T 相同.

【题外延伸】此题不能靠单纯分析量纲来验证结论,各选项都符合量纲,无法求解.要结合同步卫

星得知识进行推导,推导得方向就是既要符合题目中给出得r 3＝z 2y 2z 4π2形式,又要符合选项得要求.

在推导得过程中思路要清晰,量纲要相符,形式要相同,表面上瞧就是一件很难得事情,其实只要尝试多几次即可.

4、(多选)下列关于同步卫星得说法,正确得就是(AC)。 A.同步卫星与地球自转同步,卫星得高度与速率就是确定得

B.同步卫星得角速度就是确定得,但高度与速率可以选择,高度增加,速率增大,且仍保持同步

C.一颗人造地球卫星得周期就是 114 min,比同步卫星得周期短,所以这颗人造地球卫星离地面得高度比同步卫星低

D.同步卫星得速率比地球大气层附近得人造卫星得速率大

解析:同步卫星与地球自转同步,即它们得周期 T 相同,同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动,所需向心力由卫星 m 与地球 M 之间得万有引力提供.设地球半径为 R,同步卫星高度为h ,因为F 引＝F 向,所以G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h ),得h ＝

3GMT 24π－R ,可见h 就是一定得;由G Mm

(R ＋h )2＝m v 2R ＋h 得:v ＝

GM

R ＋h

,可见 v 也就是一定得,A 正确.由于同步卫星得周期确定,即角速度确定,则 h 与 v 均随之确定,不能改变,否则不能同步,B 错误.由h ＝

3GMT 2

4π2－R 可知,当T 变小时,h 变小,可见,人造卫星离地面得高度比同步卫星低,速率比同步卫星大,C 正确,D 错误。

5、2007年10月24日18时,“嫦娥一号”卫星星箭成功分离,卫星进入绕地轨道。在绕地运行时,要经过三次近地变轨:12小时椭圆轨道①→24小时椭圆轨道②→48小时椭圆轨道③→地月

转移轨道④。11月5日11时,当卫星经过距月球表面高度为h 得A 点时,再一次实施变轨,进入12小时椭圆轨道⑤,后又经过两次变轨,最后进入周期为T 得月球极月圆轨道⑦。如图所示。已知月球半径为R 。

(1)请回答:“嫦娥一号”在完成三次近地变轨时需要加速还就是减速？ (2)写出月球表面重力加速度得表达式。 解析:(1)加速

(2)设月球表面得重力加速度为g 月,在月球表面有G Mm

R 2＝mg 月, 卫星在极月圆轨道有,G Mm (R ＋h )2

＝m (2πT )2

(R ＋h ),解得g 月＝4π2(R ＋h )3T 2R 2。

6、2009年5月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜得维修任务后,在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ上得一点,如图所示,关于航天飞机得运动,下列说法中正确得有( ABC ) A.在轨道Ⅱ上经过A 得速度小于经过B 得速度

B.在轨道Ⅱ上经过A 得动能小于在轨道Ⅰ上经过A 得动能

C.在轨道Ⅱ上运动得周期小于在轨道Ⅰ上运动得周期

D.在轨道Ⅱ上经过A 得加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 得加速度 解析:逐项判断 A.根据开普勒定律,近地点得速度大于远地点得速度,A 正确;B.由I 轨道变到II 轨道要减速,所以B 正确;C.根据开普勒定律,= c ,R 2＜R 1,所以T 2＜T 1。C 正确;D.根据a =,应等于,D 错误。

7、我国发射得“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后,最终成功进入环月工作轨道。如图所示,卫星既可以在离月球比较近得圆轨道a 上运动,也可以在离月球比较远得圆轨道b 上运动。下列说法正确得就是( D )

A.卫星在a 上运行得线速度小于在b 上运行得线速度

B.卫星在a 上运行得周期大于在b 上运行得周期

C.卫星在a 上运行得角速度小于在b 上运行得角速度

D.卫星在a 上运行时受到得万有引力大于在b 上运行时得万有引力

解析:根据万有引力提供向心力,推导出线速度、角速度与周期与轨道半径得关系式。

第七章 机械能守恒定律运动

§7-1 能量 & 功 & 功率

一、能量得转化与守恒

1、能量得物理意义:一个物体如果具备了对外做功得本领,我们就说这个物体具有能量。能量就是状态量,就是标量,与物体得某一状态相对应。能量得表现形式多种多样,如动能、势能等。

2、能量守恒与转化定律:能量只能从一种形式转化成另一种形式,或从一个物体转移到另一个物体,但能得总量保持不变,这就就是能量守恒与转化定律。

3、寻找守恒量得方法:寻找守恒量必须讲究科学得方法:如观察此消彼长得物理量、研究其相互得关系、科学构思巧妙实验、精确地论证、推理与计算等。

二、功

1、概念:如果一个物体受到力得作用,并在力得方向上发生了一段位移,则这个力就对物体做了

功。

2、公式:W=Flcosθ[F为该力得大小,l为力发生得位移,θ为位移l与力F之间得夹角]。注:功仅与F、S、θ有关,与物体所受得其它外力、速度、加速度无关。

3、单位:焦耳,简称“焦”,符号J。

4、标量:但它有正功、负功。功得正负表示能量传递得方向,或表示动力做功还就是阻力做功,即表示做过得效果。

5、物理意义:功就是能量转化得量度。功就是一个过程所对应得量,因此功就是过程量。

6、合力得功:①总功等于各个力对物体做功得代数与:;

②总功等于合外力所做得功:W

总=F

合

lcosθ。

7、判断力F做功得情况得方法:

①利用公式W=Flcosθ来判断:

当时,即力与位移成锐角,力做正功,功为正

当时,即力与位移垂直,力不做功,功为零

当时,即力与位移成钝角,力做负功,功为负

②瞧物体间就是否有能量得转化或转移:

若有能量得转化或转移,则必定有力做功。此方法常用于两个相互联系得物体。

三、功率

1、概念:描述力对物体做功快慢得物理量。

2、公式:(定义式),适用于任何情况,。

3、单位:瓦特,简称“瓦”,符号W。

4、标量:功率表示功得变化率,就是一种频率,只有大小,没有方向。

5、分类:额定功率:指发动机正常工作时最大输出功率,电器得铭牌上写得功率即为额定功率;

实际功率:指发动机实际输出得功率即发动机产生牵引力得功率,P

实≤P

额

。

6、机械效率:输入功率:机器工作时,外界对机器做功得功率。

输出功率:极其对外做功得功率。

机械效率:

§7-2 重力做功 & 重力势能 & 弹性势能

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