高考数学一轮复习 计数原理【导学案】学案56

第十章 概率与统计、统计案例

学案56 随机抽样

导学目标： 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．

自主梳理

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中____________抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：__________和____________．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．

(1)先将总体的N 个个体进行________；

(2)确定____________，对编号进行________．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n

； (3)在第1段用________________确定第一个个体编号l (l ≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号________，再加k 得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由________________________________组成时，往往选用分层抽样．

自我检测

1．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量其长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )

A ．总体

B ．个体

C ．总体的一个样本

D ．样本容量

2．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么( )

A ．①是系统抽样，②是简单随机抽样

B ．①是分层抽样，②是简单随机抽样

C ．①是系统抽样，②是分层抽样

D ．①是分层抽样，②是系统抽样

3．(2010·四川)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )

A ．12,24,15,9

B ．9,12,12,7

C ．8,15,12,5

D ．8,16,10,6

4．(2010·重庆)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )

A ．7

B ．15

C ．25

D ．35

5．(2011·天津模拟)在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取量为20的样本，则三级品a 被抽到的可能性为________.

探究点一抽样方法的选取

例1(2011·济宁检测)要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为() A．①简单随机抽样法，②系统抽样法

B．①分层抽样法，②简单随机抽样法

C．①系统抽样法，②分层抽样法

D．①②都用分层抽样法

变式迁移1某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是()

A．②、③都不能为系统抽样

B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样

D．①、③都可能为分层抽样

探究点二系统抽样

例2(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()

A．26,16,8 B．25,17,8

C．25,16,9 D．24,17,9

变式迁移2(2009·广东)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______________________人．

探究点三分层抽样

例3某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()

A．9 B．18 C．27 D．36

变式迁移3某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.

1．简单随机抽样的特点：(1)样本的总体个数不多；(2)从总体中逐个不放回地抽取，是不放回抽样；(3)是一种等机会抽样，各个个体被抽取的机会均等，保证了抽样的公平性．

2．系统抽样的特点：(1)适用于总体个数较多的情况；(2)剔除多余个体并在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；(3)是等可能抽样．

3．对于分层抽样的理解应注意：(1)分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；

(2)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；(3)分层抽样充分利用已掌握

的信息，使样本具有良好的代表性；(4)分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·台州第一次调研)现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是()

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是() A．简单随机抽样法B．抽签法

C．随机数法D．分层抽样法

3．要从已经编号(1～60)的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是()

A．5,10,15,20,25,30 B．3,13,23,33,43,53

C．1,2,3,4,5,6 D．2,4,8,16,32,48

4．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生的人数为

一年级二年级三年级

女生373 x y

男生377 370 z

A.24 B．

5．(2011·陕西师大附中模拟)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为()

A．180 B．400 C．450 D．2 000

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．一个总体有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．

7．(2011·舟山月考)某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生．为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．8．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已

知B层中每个个体被抽到的概率都为1

12，则总体中的个体数为________．

三、解答题(共38分)

9．(12分)某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了解学生的学习

情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．10．(12分)(2011·潮州模拟)潮州统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据

所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．

(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；

(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？

11．(14分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：

文艺节目新闻节目总计

20至40岁40 18 58

大于40岁 15 27 42

总计 55 45 100

(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？

(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

学案56 随机抽样

自主梳理

1．(1)逐个不放回地 相等 (2)抽签法 随机数法

2．(1)编号 (2)分段间隔k 分段 (3)简单随机抽样 (4)(l ＋k) (l ＋2k) 3.(2)差异明显的几个部分

自我检测

1．C

2．A [因为①中牛奶生产线上生产的牛奶数量很大，每隔30分钟抽取一袋，这符合系统抽样；②中样本容量和总体容量都很小，采用的是简单随机抽样．]

3．D [由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的

具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8,40×820＝16,40×520

＝10,40×320

＝6.] 4．B [由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人，得样本容量为15.]

5.16

解析 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即20120＝16

. 课堂活动区

例1 解题导引 解决本题的关键在于对各种抽样方法概念的正确理解以及在每一次抽样的步骤中所采用的抽样方法．采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定．

B [①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样法．]

变式迁移1 D [③中每部分选取的号码间隔一样(都是27)，可能为系统抽样方法，排除A ；②可能为分层抽样，排除B ；④不是系统抽样，排除C ，故选D .]

例2 解题导引 系统抽样是一种等间隔抽样，间隔k ＝????N n (其中n 为样本容量，N

为总体容量)．预先定出规则，一旦第1段用简单随机抽样确定出起始个体的编号，那么样本中的个体编号就确定下来．从小号到大号逐次递增k ，依次得到样本全部．因此可以联想等差数列的知识结合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ营区的编号范围来求解．

B [由题意，系统抽样间隔k ＝60050

＝12，故抽到的个体编号为12k ＋3 (其中k ＝0,1,2,3，…，49)．令12k ＋3≤300，解得k ≤24.

∴k ＝0,1,2，…，24，共25个编号．

所以从Ⅰ营区抽取25人；

令300<12k ＋3≤495，解得25≤k ≤41.

∴k ＝25,26,27，…，41，共17个编号．

所以从Ⅱ营区抽取17人；

因此从第Ⅲ营区抽取50－25－17＝8(人)．]

变式迁移2 37 20

解析 由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100(人)，则应抽取的人数为40200

×100＝20(人)．

例3 解题导引 分层抽样中各层抽取的个体数依各层个体数成比例分配．因此要善于利用列比例等式来解决该类问题．必要时引进字母来表示一些未知量．

B [设该单位老年职工有x 人，从中抽取y 人．

则160＋3x ＝430?x ＝90，即老年职工有90人，

则90160＝y 32

?y ＝18.] 变式迁移3 1 013 解析 利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100个电子产品中，每个厂中的产品个数比也为1∶2∶1，故分别有25,50,25个．再由三个厂子算出的平均值可得100件产品的总的平均寿命为

980×25＋1 020×50＋1 032×25100

＝1 013(h )． 课后练习区

1．A [①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．]

2．D [由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．]

3．B [系统抽样是等距抽样，间隔k ＝606

＝10.] 4．C [∵二年级女生有2 000×0.19＝380(人)，

∴三年级共有2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500(人)．

∴应在三年级抽取的人数为642 000

×500＝16(人)．] 5．C [设这个学校高一年级人数为x ，

则90x ＝20100

，∴x ＝450.] 6．63

解析 由题意知，第7组中抽取的号码的个位数与6＋7的个位数相同，即为3；又第7组中号码的十位上的数为6，所以在第7组中抽取的号码是63.

7．40

解析 由题知C 专业有学生1 200－380－420＝400(名)，

那么C 专业应抽取的学生数为120×4001 200

＝40(名)． 8．120

解析 分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，

则10x ＝112

?x ＝120. 9．解 按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人．(4分)

第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．(8分)

采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l ≤5)，那么抽取的学生编号为(l ＋5k) (k ＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l ＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.

(12分)

10．解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为

0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2分)

(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，

0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，

0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，

0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.

∴样本数据的中位数为

2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5

＝2 000＋400＝2 400.(6分)

(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为

0．000 5×(3 000－2 500)＝0.25，

所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)，

再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000

＝25(人)． (12分)

11．解 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(4分)

(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为545

＝19，故大于40岁的观众应抽取27×19

＝3(人)．(8分)

(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁的人为a1，a2，a3,20至40岁的人为b1，b2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，

故所求概率为6

10＝3

5.(14分)