线性规划试题及参考答案
习题：
一．人类资源分配问题
红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天）
问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？
答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。
我们就可得到如下的数学模型：
min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
x3+x4+x5+x6+x7≥28
x4+x5+x6+x7+x1≥15
x5+x6+x7+x1+x2≥24
x6+x7+x1+x2+x3≥25
x7+x1+x2+x3+ x4≥19
x1+x2+x3+x4+x5≥31
x2+x3+x4+x5+x6≥28
x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0
该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。
Lingo中的调试：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
x1+x2+x3+x4+x5>28;
x2+x3+x4+x5+x6>15;
x3+x4+x5+x6+x7>24;
x4+x5+x6+x7+x1>25;
x5+x6+x7+x1+x2>19;
x6+x7+x1+x2+x3>31;
x7+x1+x2+x3+x4>28;
二．市场应用
某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。现有五种媒体供选择，相关信息如下表
媒体被告知潜在顾客
数（人/次）广告费用
（元/次）
媒体最高使用次
数
每次宣传质量
日间电视1000 1500 15 65
夜间电视2000 3000 10 90
日报1500 400 25 40
周末新闻杂志2500 1000 4 60
电台广播300 100 30 20
对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。问：如何进行媒体组合，才使广告质量最高。答：问题中媒体组合实际上就是要决定每种媒体的使用次数。设x1、x2、x3、x4、x5分别表示表中日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。
该问题的线性规划模型为
max z = 65x1 + 90x2 + 40x3 +60x4 + 20x5
1500x1 + 3000x2 + 400x3+ 1000x4 + 100x5 ≤30000
1000x1 + 2000x2 +1500x3 + 2500x4 + 300x5≥50000
x+x2
≥10
1500x1+3000x2
≤18000
x1≤15
x2
≤10
x3≤25
x4≤ 4
x5≤30 x1，x2，x3，x4，x5≥0
lingo中的调试：
三．金融计划
某公司有68名员工申请提前退休。公司必须在此后8 年内对这些员工分期支付一定数量现
年份 1 2 3 4 5 6 7 8 430 210 222 231 240 195 225 225
现金支
付（千
元）
为完成这项现金支付任务，公司财务人员为此需制定一项投资计划。投资由政府债券和银行债券价格（元）利率（%）到期年限
1 1150 8.875 5
2 1000 5.500 6
3 1350 11.750 7
三种债券票面价均为1000元，到期时按票面价进行支付，利率也以票面价为基准；银行储蓄年利率为4%。问：如何安排投资计划，使公司以最小投资完成对退休员工现金支付任务？答：设F为完成投资计划所需要的总资金额。x1、x2、x3分别表示债券1、2、3的购买量；yi ( i =1,…，8)表示第i年初银行储蓄的投资额。
目标就是使满足要求的投资额最小，即Minz=F
综合有如下数学模型
Minz=F
F–1.15x1–1x2–1.35x3–y1=430
0.08875x1 +0.055x2 +0.1175x3 + 1.04y1 –y2 = 210
0.08875x1 +0.055x2 +0.1175x3 + 1.04y2 –y3 = 222
0.08875x1 +0.055x2 +0.1175x3 + 1.04y3 –y4= 231
0.08875x1 +0.055x2 +0.1175x3 + 1.04y4 –y5= 240
1.08875x1 +0.055x2 +0.1175x3 + 1.04y5 –y6 = 195
1.055x2 +0.1175x3 + 1.04y6 –y7 = 225
1.1175x3 + 1.04y7 –y8 = 255
x1，x2，x3≥0，y i≥0，i=1，…，8
lingo中的调试
min=F;
F-1.15*x1-x2-1.35*x3-y1=430;
0.08875*x1+0.055*x2+0.1175*x3+1.04*y1-y2=210;
0.08875*x1+0.055*x2+0.1175*x3+1.04*y2-y3=222;
0.08875*x1+0.055*x2+0.1175*x3+1.04*y3-y4=231;
0.08875*x1+0.055*x2+0.1175*x3+1.04*y4-y5=240;
1.08875*x1+0.055*x2+0.1175*x3+1.04*y5-y6=195;
1.055*x2+0.1175*x3+1.04*y6-y7=225;
1.1175*x3+1.04*y7-y8=255;
调试：
Global optimal solution found.
Objective value: 1728.794
Total solver iterations: 11
Variable Value Reduced Cost
F 1728.794 0.000000
X1 144.9881 0.000000
X2 187.8558 0.000000
X3 228.1879 0.000000
Y1 636.1479 0.000000
Y2 501.6057 0.000000
Y3 349.6818 0.000000
Y4 182.6809 0.000000
Y5 0.000000 0.6402516E-01 Y6 0.000000 0.1261360E-01 Y7 0.000000 0.2131823E-01
Y8 0.000000 0.6708394
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1728.794 -1.000000
2 0.000000 -1.000000
3 0.000000 -0.9615385
4 0.000000 -0.9245562
5 0.000000 -0.8889964
6 0.000000 -0.8548042
7 0.000000 -0.7603645
8 0.000000 -0.7189912
9 0.000000 -0.6708394
四．生产计划问题
某公司有1，2两种产品，预计其市场需求量分别为3000和4000件。该产品均由A , B ,C
由于生产能力有限，公司只有200个正常制造工时50个加班工时可用产品生产。每个加班工时需额外支付9元。问：如何安排部件自制和外购数量，使总成本最低？
答：设xa、xb1、xb2、xc1、xc2分别表示a部件、用于产品Ⅰ的b部件、用于产品Ⅱ的b 部件、用于产品Ⅱ的c部件、用于产品Ⅱ的c部件的自制量。相应地，设ya、yb1、yb2、yc1、yc2分别为各部件的外购量。设y0为加班工时数。
目标是使总成本最小，即
Min z = 0.5x a + 0.6y a +3.75x b1 + 4y b1 + 3.3x b2 + 3.9y b2
+ 0.6x c1 + 0.65y c1 + 0.75 x c2 + 0.78y c2 + 9y0
因此，该问题的数学模型为
Min z = 0.5x a + 0.6y a +3.75x b1 + 4y b1 + 3.3x b2 + 3.9y b2
+ 0.6x c1 + 0.65y c1 + 0.75 x c2 + 0.78y c2 + 9y0
x a + y a =7000
x b1 + y b1 =3000
x b2 + y b2 =2000
x c1 + y c1 =3000
x c2 + y c2 =2000
y0≤50
x a +3x b1 + 2.5x b2 + x c1 + 1.5x c2－60 y0≤12000
x a、x b1、x b2、x c1、x c2、y b1、y b2、y c1、y c2、y0≥0
lingo中的调试：
min=0.5*xa+0.6*ya+3.75*xb1+4*yb1+3.3*xb2+3.9*yb2+0.6*xc1+0.65*yc1 +0.75*xc2+0.78*yc2+9*y0;
xa+ya=7000;
xb1+yb1=3000;
xb2+yb2=4000;
xc1+yc1=3000;
xc2+yc2=4000;
y0<50;
xa+3*xb1+2.5*xb2+xc1+1.5*xc2<200*60+60*y0;
Global optimal solution found.
Objective value: 34270.00
Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
XA 2000.000 0.000000
YA 5000.000 0.000000
XB1 0.000000 0.5000000E-01 YB1 3000.000 0.000000
XB2 4000.000 0.000000
YB2 0.000000 0.3500000
XC1 0.000000 0.5000000E-01 YC1 3000.000 0.000000
XC2 0.000000 0.1200000
YC2 4000.000 0.000000
Y0 0.000000 3.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 34270.00 -1.000000
2 0.000000 -0.6000000
3 0.000000 -4.000000
4 0.000000 -3.550000
5 0.000000 -0.6500000
6 0.000000 -0.7800000
7 50.00000 0.000000
8 0.000000 0.1000000
五．套裁下料问题
某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9米、2.1米、和1.5米的圆钢各一根。原料每根长7.4米，问如何下料，可使所用原料最省？
在lingo中调试如下：
min=x1+x2+x3+x4+x5;
x1+2*x2+x4>100;
2*x3+2*x4+x5>100;
3*x1+x2+2*x3+3*x5>100;
测试：
Global optimal solution found.
Objective value: 90.00000
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X1 30.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 50.00000 0.000000 X5 0.000000 0.1000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 90.00000 -1.000000
2 0.000000 -0.4000000
3 0.000000 -0.3000000
4 0.000000 -0.2000000