广东省高二数学寒假作业(二)
一、选择题 1.设
分别是双曲线
的左,右焦点,若在双曲线右支上存在
点P ,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心
率等于( )
A .2
B .
C .
D .
2.设双曲线(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y = x 2 +1相切,则该双曲线的离
心率等于( )
A .
B .2
C .
D .
3.已知抛物线
的焦点为F ,A, B 是该抛物线上的两点,弦AB 过焦点F ,且
,
则线段AB 的中点坐标是( )
A .
B .
C .
D .
4.设椭圆
22
22
1(00)
x y m n m n +=>>,的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )
A .2
2
11216
x y += B .2
2
11612
x y += C .2
2
14864
x y += D .2
2
16448
x y += 5.设
P 是椭圆2
21
2516
x y +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于( ) A .4
B .5
C .8
D .10
6.已知双曲线2222
1(0b 0)
x
y a a b -=>,>的两条渐近线均和圆C:22
650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )
A .2
2154
x
y -= B .22
145x y -=
C .22
136
x y -=
D .22163
x y -=
7.已知抛物线方程为2
4y x =,直线l 的方程为40x y -+=,在抛物线上有一动点P 到y
轴的距离为1d ,P 到直线l 的距离为2d ,则12d d +的最小( )
A .
52
22+
B .
52
12+
C .
52
22-
D .
52
12
- 8.抛物线2
8
1x y -
=的焦点坐标是( ) A .(0,-4)
B .()0,2-
C .)0,2
1(-
D . ??
?
??-
0,321 二、填空题
9.焦点在直线3x -4y -12=0上的抛物线的标准方程是________. 10.已知抛物线,则它的焦点坐标为 .
11.若点
和点分别为双曲线的中心和左焦点,点为双曲
线右支上的任意一点,则的取值范围为__________
12.椭圆中,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2,焦点到相应准线的 距离也为2,则该椭圆的离心率为 13.若直线y=kx -1与双曲线422
=-y x
只有一个公共点,则k=
14.方程2
2
sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α在第 _____象限。
三、解答题
15.(本小题满分10分)河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一小船宽4m ,高2m ,载货后船露出水面上的部分高4
3m
,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船恰好能通行。
16.(本小题满分13分)已知抛物线上一动点,抛物线内一点,
为焦点且的最小值为。
求抛物线方程以及使得|PA|+|PF|最小时的P点坐标;
过(1)中的P点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C、D两点,直线CD是否过一定点? 若是,求出该定点坐标; 若不是,请说明理由。
17.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C为221
4
x
y
+=
(1)若一直线与椭圆C 交于两不同点M N 、,且线段MN 恰以点11,
4??
- ???
为中点,求直线MN 的方程;
(2)若过点(1,0)A 的直线l (非x 轴)与椭圆C 相交于两个不同点,P Q 、试问在x 轴上是否存在定点(,0)E m ,使PE QE ?恒为定值λ?若存在,求出点E 的坐标及实数λ的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分13分)设椭圆22
221(0,0)x y C a b a b
=++>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,
上顶点为A ,在x 轴上有一点B ,满足2AB AF ⊥且F 1为BF 2的中点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;
(Ⅱ)若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切,判断椭圆C 和直线l 的位置关系.
19. (本小题满分12分)
设A 1、A 2是双曲线13
42
2=-y x 的实轴两个端点,P 1P 2是双曲线的垂直于x 轴的弦, (Ⅰ)直线A 1P 1与A 2P 2交点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过4x =与x 轴的交点Q 作直线与(1)中轨迹C 交于M 、N 两点,连接FN 、FM ,其中F )0,1(,求证:FM FN k k +为定值;
20.(12分)抛物线2
4y x =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点. ①O 为坐标原点,求证:3-=?OB OA ;
②设点M 在线段AB 上运动,原点O 关于点M 的对称点为C ,求四边形OACB 面积的最
小值..
广东省2013-2014学年高二寒假作业(二)数学
一、选择题
1.D
【解析】依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是
其中点,由勾股定理可知|PF 1|=2=4b
根据双曲定义可知4b -2c=2a ,整理得c=2b -a ,代入c 2
=a 2
+b 2
整理得3b 2
-4ab=0,求得
=;∴e===,故选D .
2.C
【解析】易知双曲线(a >0,b >0)的渐近线方程为,因为渐近线与
抛物线y = x 2
+1相切,我们不妨设是渐近线
,由,因
为渐近线与抛物线y = x 2 +1相切,所以,所以该双曲线的离心
率。
3.C
【解析】抛物线y 2
=4x∴P=2,
设经过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点, 其横坐标分别为x 1,x 2,利用抛物线定义,
AB 中点横坐标为x 0=(x 1+x 2)=(|AB|-P)=1,
故选C . 4.B
【解析】因为抛物线的焦点为(2,0),椭圆焦点在x 轴上,排除A 、C ,由e=0.5,排除D ,故选B 5.D
【解析】本试题主要是考查了椭圆的概念和方程中参数的运用。
根据椭圆的方程可知,a=5,b=4,那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离为2a=10,故
12
PF PF +=10,选D.
解决该试题的关键是理解椭圆中a,b 的值,分别是谁,同时能结合定义得到椭圆上任何一点
到两个焦点的距离和为定值2a 。
6.A
【解析】因为双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b,由题意知b 等于圆C 的半径
2,所以b=2,又因为c=3,所以2
2
2
5,a c b =-=∴所求双曲线的方程为22
154
x y -=.
7.D 【解析】如图
点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离,从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1.过焦点F 作直线x -y+4=0的垂线,此时d 1+d 2=|PF|+d 2-1最小,∵F(1,0),则利用点到直线的距离可知,|PF|+d 2=|104|552
2112
-+==
+,则d 1+d 2的最小值为522-1,故选D. 8.B
【解析】将抛物线方程化成2
8x y =-,所以焦点坐标为()0,2-.
二、填空题 9.
【解析】因为直线3x -4y -12=0与x 轴、y 轴分别交与(4,0),(0,-3)。 所以当抛物线的焦点在x 轴上时,p=8,所以抛物线的标准方程是;
当抛物线的焦点在y 轴上时,p=6,所以抛物线的标准方程是. 综上知:抛物线的标准方程为。
10.
【解析】 即,所以抛物线,则它的焦点坐标为(0,1).
11.
【解析】 为双曲线的左焦点,所以
,所以双曲线方程为,设点,则
,因为
为双曲线右支上
的任意一点,所以
,所以
的最小值为
,所以取值范围为
.
12.
2
1 【解析】本试题主要是考查了椭圆的离心率的求解的运用。
设出椭圆的方程22
22x y 1a b +=,因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为
22b a ,2
2b 2a
∴
=因为焦点到相应准线的距离为2a c c -,故22a b c 2c c -==椭圆的离心率为
21,故答案为2
1
。 解决该试题的关键是设出方程,然后利用过焦点的垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为
2
2b a
,得到离心率。 13.5
±
,1± 【解析】因为双曲线的渐近线为y x =±,所以当直线y=kx -1与渐近线平行时,也只有一个公共点,所以1k =±,由y=kx -1与422
=-y x
联立消去y 整理后得
2222(1)250,44(5)(1)0k x kx k k -+-=?=---=,所以5k =,所以k 的值有5±,1±.
14.四
【解析】因为方程2
2
sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的双曲线,所以cos 0,α>且
sin 0,α<所以角α在第四象限.
三、解答题
15.2m 。
【解析】建立直角坐标系,设抛物线型拱桥方程为)0(22
>-=p py x ,过A (-4,-5),B (4,-5),58=
p ,y x 5162-=,由于小船宽4m ,当2±=x 时,4
5
-=y ,即当船顶
距抛物线拱顶为
m 45时,小船恰好能通过。又载货后,船露出水面上的部分高m 4
3
。当水面距抛物线拱顶距离m d 24
5
43=-+=
时,小船恰好能通行。 答:当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m 时,小船恰好能通行。 16.
(2,2).
过定点
。
【解析】 (1)过A,P 分别做准线的垂线,设垂足为
,则|PF|=|PH|,由图象可知,当
|PA|+|PF|取最小值即是点到准线的距离,此时P 点为AA 0与抛物线的交点.故,
此时抛物线方程为
, P 点坐标为(2,2).
(2)设,,直线即
即, 由PA⊥PB 有
得代入到中,有,
即即,故直线AB 过定点。
17.(1)4450x y -+=;(2)在x 轴上存在定点17(
,0)8E ,使PE QE ?恒为定值33
64
。 【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。 (1)
点11,
4?
?
- ???
在椭圆内部,∴直线MN 与椭圆必有公共点 再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式, (2)假定存在定点(,0)E m ,使PE QE ?恒为定值λ 由于直线l 不可能为x 轴
于是可设直线l 的方程为1,x ky =+且设点3344(,)(,)P x y Q x y 、
将1x ky =+代入2
21,4
x y +=得到一元二次方程,进而利用向量的关系得到参数的值。 解:(1)
点11,
4?
?
- ???
在椭圆内部,∴直线MN 与椭圆必有公共点 设点1122(,)(,)M x y N x y 、,由已知12x x ≠,则有
2
2112
222
14
1
4
x y x y ?+=????+=??两式相减,得12121212()()()()4x x x x y y y y +-=--+ 而12121
2,,2
x x y y +=-+=
∴直线MN 的斜率为1MN k = ∴直线MN 的方程为4450x y -+=
(2) 假定存在定点(,0)E m ,使PE QE ?恒为定值λ 由于直线l 不可能为x 轴
于是可设直线l 的方程为1,x ky =+且设点3344(,)(,)P x y Q x y 、
将1x ky =+代入2
21,4x y +=得 22(4)230k y ky ++-=.
显然343422
23
0,,44
k y y y y k k ?>∴+=-
=-++ 3344(,),(,)EP x m y EQ x m y =-=-,
则2
343434()EP EQ x x m x x m y y ?=-+++
223434(1)(1)()21k y y k m y y m m =++-++-+
2222(4)481
4
m k m m k -+-+=+
若存在定点(,0)E m 使2222(4)481
4
m k m m k λ-+-+=+为定值(λ与k 值无关),则必有
2
2
44814m m m λλ
?-=??-+=??17,83364m λ?=?????=??
∴在x 轴上存在定点17(,0)8E ,使PE QE ?恒为定值3364
18.(Ⅰ)椭圆的离心率2
1
==
a c e . (Ⅱ)直线和椭圆相交.
【解析】(I )求出左、右焦点分别为F 1、F 2,上顶点为A 的坐标,通过112||||BF F F =,且AB ⊥AF 2,推出a ,b ,c 的关系,结合a 2
=b 2
+c 2
,即可求椭圆C 的离心率;
(II )利用(I )求出过A 、B 、F 2
三点的圆的圆心与半径,利用圆与直线30x -=相切圆心到直线的距离等于半径,求出a ,b ,即可求椭圆C 的方程. (Ⅰ)由题意知)0,(1c F -,)0,(2c F ,),0(b A .
因为2AF AB ⊥,所以在2ABF Rt ?中,2
2222AF AB BF +=. ……2分 又因为1F 为2BF 的中点,所以22222)9()4(a b c c ++=, ……4分 又222c b a +=,所以c a 2=.故椭圆的离心率2
1
==
a c e . ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知a c 21=,于是)0,2(2a F ,)0,2
3
(a B -,
2ABF Rt ?的外接圆圆心为)0,2
1
(1a F -,半径a r =. ……8分
所以
a a =--232
1
,解得2=a ,所以1=c ,3=b .
……11分
19.(Ⅰ)13
42
2=+y x ()0≠y ;(Ⅱ)见解析。 【解析】(Ⅰ)利用交轨法来求直线P 1A 1和P 2A 2的交点的轨迹方程,先根据已知条件求出A 1、A 2点的坐标,设P (x 0,y 0),则N (x 0,-y 0),求出直线PA 1和NA 2的方程,联立方程,方程组的解为直线PA 1和NA 2交点的坐标,再把P 点坐标(x 0,y 0)用x ,y 表示,代入双曲线方程,化简即得轨迹C 的方程.
(Ⅱ)设MN 的方程为)4(-=x k y ,),(),,(2211y x N y x M ,直线MN 的方程与曲线C 的方程联立消y 可得关于x 的一元二次方程,解出M ,N
点横坐标之和与之积代入下式
FM FN k k +为定值.
(Ⅰ)设),(),,(002001y x P y x P -,则11P A 的方程为)2(2
00
++=
x x y y ① 22P A 的方程为)2(200
---=x x y y ② 将①×②,得)4(4
2202
02---=x x y y
又),(001y x P 在双曲线上,1342
020=-∴y x ,即)4(4
3202
-=x y , 代入上式 ,得13
42
2=+y x ()0≠y ………5分 (Ⅱ)法一:设MN 的方程为)4(-=x k y ,),(),,(2211y x N y x M
联立,得?????=+-=134)4(2
2y x x k y 消y ,得0126432)43(2
222=-+-+k x k x k 则???
????+-=+=+22
2122
214312644332k k x x k k x x 0)
1)(1(8)(52)1)(1()1()1(111221211221121122=--++-=---+-=-+-=
+x x k
x x k x kx x x x y x y x y x y k k FM FN ..12分 20.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)0m =时,四边形OACB 的面积最小,最小值是4. 【解析】(1)先利用已知条件设出直线AB 的方程,与抛物线联立方程组,然后结合韦达定理表示出向量的数量积,进而证明。
(2)根据由点C 与原点O 关于点M 对称,得M 是线段OC 的中点,从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等,得到四边形OACB 的面积等于2AOB S ?,结合三角形面积公式得到。 (Ⅰ)解:依题意(1,0)F ,设直线AB 方程为1x my =+. …………1分 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立,消去x 得2
440y my --=.……3分 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,所以 124y y m +=,124y y =-.
1)y (y m 1)1)(m y (m y 212122121+++=++=m y y x x =1,
故3-2121=+=?y y x x OB OA .………………6分
(Ⅱ)解:由点C 与原点O 关于点M 对称,得M 是线段OC 的中点,从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等,所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ?.……8分 因为 121
22||||2
AOB S OF y y ?=???- ……………9分
==,…………11分
m 时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.……12分所以0