江苏省无锡市2021届新高考数学第一次押题试卷含解析

江苏省无锡市2021届新高考数学第一次押题试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( ) A ．322- B

．233-

C ．23-

D ．22-

【答案】A 【解析】 【分析】

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4m

m

x x

-=

+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】

解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝?1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),

(1m 1)H -<<

根据角平分线定理可得

||||||

=||||||

PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4m

m

x x

-=

+++， 当0x =时，0m =，

当0x ≠21242(1)4112

x x

x x

?=??++??+

++，

211032221m m m

-∴

≤

本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．

2．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96

【答案】D 【解析】

因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛

①当甲参加另外3场比赛时，共有1

3C ?3

4A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有4

4A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96

点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 3．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)

(0,]ππ-的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】

()f x 是奇函数，排除C ，D ；()

2()ln 0f ππππ=-<，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的判断，属于常考题.

4．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5???

???

B ．9

32,2ln 2ln 5??

??? C ．9

32,2ln 2ln 5??

???

D ．9,2ln 2??

+∞

???

【答案】C 【解析】 【分析】

由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32

()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据32

ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间

(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.

【详解】

设函数()ln(1)f x a x =+，32

()2g x x x =-，

因为2

()34g x x x '=-， 所以()0g x '=，

0x ∴=或43x =

， 因为4

03

x << 时，()0g x '<，

4

3

x >

或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：

当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；

当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)

(4)(4)f g f g >???

，

32

32

ln 4323ln 5424a a ?>-?∴?-??

， 所以

932

2ln 2ln 5

a <. 故选：C. 【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．83π

3B ．4π1633

C 16343π

+D ．43π

163 【答案】D 【解析】 【分析】

结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】

由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积1

1143π

4π23233

V =???=

,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =??=163故该几何体的体积1243π

3V V V =+=故选:D. 【点睛】

本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

6．己知函数()()1,0,

ln ,0,kx x f x x x ->?=?--

若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值

范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1

C ．()0,∞+

D ．10,2??

???

【答案】B 【解析】 【分析】

考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】

因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对， 所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.

令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kx

h x x

-'=

， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，

()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.

当0k >时， 若10,

??∈ ???x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ??

???

上为增函数；

若1,??∈+∞

???

x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ??

+∞ ???上为减函数；

故()max 11ln h x h k k ??

==

?

??

， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1

ln 0k

>，解得01k <<. 又当01k <<时，

11e k <且10k h e e ??

=-< ???，故()h x 在10,k ?? ???

上存在一个零点.

又22ln +122ln e e e h t et k k k ??

=-=+-

???

，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2et

g t t

-'=

，

当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h

k ??

<

???

. 因为2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ??+∞ ???

上也存在一个零点.

综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.

7．若x ，y 满足约束条件40,

20,20,x y x x y -+≥??

-≤??+-≥?

且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）

A ．[1,)-+∞

B ．(,1]-∞-

C ．(1,)-+∞

D ．(,1)-∞-

【答案】A 【解析】 【分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】

作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-. 故选：A

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

8．已知函数()2cos (0)3f x x πωω??=-> ?

?

?在,32ππ??

-????上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23

??????

B ．20,3

?? ??

?

C ．2,13??????

D ．(0,2]

【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -

≤≤,可得πππ

333

ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ3

2ωω??--?-????-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -

≤≤,可得πππ

333

ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ??=- ???

,而ππ,320??∈-????,

又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π

[π,0]3

-

-∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω??--?-????-,则π

ππ33π

π0

2

30ωωω?--≥-???-≤??>???

,即2230

ωωω≤???≤??>??,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】

本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，

216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）

A ．6i >，7

S S = B ．6i 7

S S =

C ．6i >，7S S =

D ．6i ，7S S =

【答案】A 【解析】 【分析】

依题意问题是()()()222

12712020207S x x x ??=-+-+?+-?

?，然后按直到型验证即可. 【详解】

根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()222

12712020207S x x x ??=

-+-+?+-?

?， 观察程序框图可知，应填入6i >，7

S

S =， 故选：A. 【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题. 10．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥b B ．a ⊥b

C ．a ∥(a b -)

D ．a ⊥( a b -)

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】

∵向量a =（1，﹣2），b =（3，﹣1），∴a 和b 的坐标对应不成比例，故a 、b 不平行，故排除A ；

显然，a ?b =3+2≠0，故a 、b 不垂直，故排除B ；

∴a b -=（﹣2，﹣1），显然，a 和a b -的坐标对应不成比例，故a 和a b -不平行，故排除C ； ∴a ?（a b -）＝﹣2+2＝0，故 a ⊥（a b -），故D 正确， 故选：D. 【点睛】

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 11．给出下列三个命题：

①“2

000,210x x x ?∈-+≤R ”的否定；

②在ABC 中，“30B ?>”是“cos B <

”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π

个单位长度，得到函数π2cos 26y x ??=+ ??

?的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】

对于命题①,因为()2

2

0002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ?∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,

即①是假命题;

对于命题②,充分性:ABC 中,若30B ?>,则30180B ??<<,由余弦函数的单调性可

知,cos180cos cos30B ??<<,即1cos B -<<

,即可得到cos B <,即充分性成立;必要性:ABC

中,0180B ??<<,若cos B <

结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ??<<,即30180B ??<<,可得到30B ?>,即必要性成立.故命题②正确;

对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ????=+= ???

??+ ?

??

????的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③.

故选:C 【点睛】

本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.

12．若()12n

x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

【答案】B 【解析】 【分析】

先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r

r

n r r n T C x -+=??-，然后直接求解即可

【详解】

()

12n

x -的二项展开式中第1r +项()112r

r

n r r n T C x -+=??-.令2r

，

则()2

2

32n T C x =?-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】

本题考查二项展开式问题，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在ABC 中，2,

,4

6

AB B C π

π

==

=

，点P 是边BC 的中点，则AC =__________，

AP BC ?=________.

【答案】 2 【解析】 【分析】

根据正弦定理直接求出AC ，利用三角形的边表示向量AP ,然后利用向量的数量积求解AP BC ?即可. 【详解】

ABC 中，2,,4

6

AB B C π

π

==

=

，

sin sin AC AB

B C

=∴

，

可得AC =因为点P 是边BC 的中点， 所以221111

()()()2222

AP BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ?=

+?=+?-=-

2211

(22)2222

=?-?= 故答案为：22；2. 【点睛】

本题主要考查了三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题.

14．如图,已知4AC BC ==，90ACB ∠=，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则

AM DC ?的最小值是_____．

【答案】845- 【解析】 【分析】

建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得,AM DC 的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出AM DC ?的表达式,求出其最小值即可. 【详解】

建立直角坐标系如图所示：

则点()2,0A -,()2,0C ,()()0,0,2,2O M -, 设点()2cos ,2sin D αα,

所以()()4,2,22cos ,2sin AM DC αα=-=--, 由平面向量数量积的坐标表示可得,

()()()422cos 22sin AM DC αα?=?-+-?-

()84sin 2cos αα=+-

()

8αθ=+-,其中tan 2θ=,

因为()[]sin 1,1αθ-∈-,

所以AM DC ?的最小值为8-

故答案为:8-【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把AM DC ?表示为关于角α的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.

15．曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】

对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程. 【详解】

因为2(1)x y x e =+，所以(

)

2

21x

y x x e =++'，从而切线的斜率1k =， 所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+= 【点睛】

本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.

16．若方程()0,1x

a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____________.

【答案】1

1e a e << 【解析】 【详解】

由x a x =知x ＞0，故ln ln ln 0ln x

x a x a x

?-=?=. 令()()ln 0x f x x x =

>，则()21ln 'x f x x

-=. 当()0,x e ∈时，()'0f x >；当(),x e ∈+∞时，()'0f x <. 所以()f x 在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）上递减.

故()1

0ln a f e e

<<=

，即11e a e <<. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.

（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；

（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（3）将频率视为概率，现从A 市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“2η≥”的概率. 【答案】（1）

29

49

;（2）从而ξ的分布列为 ξ 0

1

2

P

2049 2549 449

433()01249494949

E ξ=?

+?+?=;（3）12.

【解析】 【分析】 【详解】

（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解：

（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A ，则

()222

525202

502049C C C P A C ++==，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为()29

149

P A -=. （2）由题，知ξ的可能取值分别为0，1，2

()222

525202

5020

049C C C P C ξ++===， ()1111

52520252

5025

149C C C C P C ξ+===， ()11

5202504

249

C C P C ξ===，

从而ξ的分布列为

()01249494949

E ξ=?

+?+?=. （3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为251502P ==，所以1~3,2B η??

???

，所以事件“2η≥”的概率为

()()2

3

233311112312222

P P C C ηη??

????=+==-+= ?

? ?

??

????. 18．已知函数32()21f x x mx m =+++. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为3-，求m 的值. 【答案】（1）见解析 （2）3m =- 【解析】 【分析】

（1）先求导，再对m 分类讨论，求出()f x 的单调性；（2）对m 分三种情况讨论求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值即得解. 【详解】

（1）2

()622(3)f x x mx x x m '

=+=+ 若0m <，当(,0),3m x ??

∈-∞?-

+∞ ???

时，()0f x '>； 当0,3m x ?

?

∈-

???

时.()0f x '<，

所以()f x 在(,0),,3m ??-∞-

+∞ ???上单调递增，在0,3m ?

?- ??

?上单调递减

若0,()0m f x '

=.()f x 在R 上单调递增

若0m >，当,(0,)3m x ?

?∈-∞-?+∞ ??

?时，()0f x '>；

当,03m x ??

∈-

???

时.()0f x '<， 所以()f x 在,,(0,)3m ??-∞-

+∞ ???上单调递增，在,03m ??

- ???

上单调递减 （2）由（1）可知，当0m ≥时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，则min ()(0)13f x f m ==+=-.则-4m =不合题意

当0m <时，()f x 在0,3m ??-

????上单调递减，在,3m ??

-+∞ ???

上单调递增. 则33min

2()133279m m m f x f m ??=-=-+++=- ???

，即3

4027m m ++=

又因为3

()427

m g m m =++单调递增，且(3)0g -=，故3m =-

综上，3m =- 【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4

B ∠=

.

（1）求AC 的长；

（2）若ABC ?的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠?∠的值. 【答案】 (1) 22AC =(2) 9

sin sin 22

CAB ACB ∠?∠=

【解析】 【分析】

（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得. 【详解】

解：（1）由题可知2

1

cos cos212sin 8

D B B ∠=∠=-∠=-

. 在ACD ?中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-?∠=， 所以22AC =

.

（2）1

sin 62

ABC S AB BC B ?=?=，则16AB BC ?=. 又

422

sin sin sin 3

BC AB AC CAB ACB B ===

∠∠∠， 所以2

9sin sin 1622422CAB ACB ∠?∠=?= ???

.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.

20．如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==

150EDC ∠=,将EAD ?沿AD 折到PAD ?的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .

（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC AB 与所成角的正切值为

1

2

，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（227

【解析】

试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB 的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果. 试题解析:（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1

//,2

MN CD MN CD =， 又1

//,2

AB CD AB CD =

，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ，

∴,AN PD AN CD ⊥⊥.

由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ?为等边三角形， ∴060PDA ∠=，

又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ?平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：

//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，

由（1）可得090PDC ∠=，∴1

tan 2

PD PCD CD ∠=

=，∴2CD PD =， 设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====， 取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，

则1113,0,0,,1,0,,2,0,0,0,2222D B C P ?

??????-- ? ? ? ????????

， ∴134M ?-

??

， 所以()13331,1,0,,1,,24DB PB BM ???==-=- ? ? ????

，

设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则·0

{·0

n DB n PB ==，即0

{13

022

x y x y z +=+-=， 取3x =，则(3,3,3n =--为平面PBD 的一个法向量，

∵

·27cos ,73

212

n BM n BM n BM

??=

=

=-

?

，

则直线BM 与平面PDB

所成角的正弦值为

7

. 点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．

21．已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足()2

2

120n n a n a n n -+--=.

（1）求1a ，2a 及{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2

n

a 的前n 项和n

S

.

【答案】（1）13a =；25a =.21n a n =+；（2）()8413

n

n S =- 【解析】 【分析】

（1）根据题意，知0n a >，且()22

120n n a n a n n -+--=，令1n =和2n =即可求出1a ，2a ，以及运

用递推关系求出{}n a 的通项公式；

（2）通过定义法证明出{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得{}2

n

a 的前n 项和n

S

.

【详解】

解：（1）由题可知，0n a >，且()22

120n n a n a n n -+--=， 当1n =时，2

11230a a --=，则13a =， 当2n =时，2

223100a a --=，25a =，

由已知可得()()210n n a n a n +-+=????，且0n a >， ∴{}n a 的通项公式：21n a n =+.

（2）设2n a

n b =，则212n n b +=，

所以

21

22112242

n n n n b b +--===，3128b ==， 得{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列， 所以数列{}n b 的前n 项和n S 为：

12n n S b b b =+++，

即()()352181482224114

3

n n n

n S +-=++???+==

--， 所以数列{}2n

a 的前n 项和：()8413

n

n

S

=

-. 【点睛】

本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力. 22．已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2

{|2}3

x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 试题分析：

(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ??

<

；

(Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()2

2163

a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：

（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得

2

13

x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223x

x ??

<

． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-??

=+--≤≤??-++>?

所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -??

???

，()21,0B a +，

(),1C a a +，ABC ?的面积为

()2

213

a +． 由题设得

()2

2163

a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞

23．已知椭圆C 2222:1(0)x y b a a b +=<<

且经过点

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 在椭圆C 上，求直线l 的方程.

【答案】（1）2214x y +=（2

）2y x =±+

【解析】 【分析】

（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及222a c b -=列方程，由此求得2

2

,a b ，进而求得椭圆的方程.

（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到OM OA OB =+，由此求得M 点的坐标，将,,A B M 的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线l 的斜率，由此求得直线l 的方程. 【详解】

（1

）由椭圆的离心率为

2

，点

在椭圆上，所以221314c a a b =+=，且222a c b -=

解得2

2

4,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，设

()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由2

2142x y y kx ?+=???=+?

消去y 得22

(14)16120k x kx +++=，

所以1212

22

1612

,1414k x x x x k k +=-

=++， 由已知得OM OA OB =+，所以012

12x x x y y y =+??=+?，由于点A B M 、、都在椭圆上，

所以22

22

22

2

20121212012(1,

1,1,()14

4

4

)4

x x x x x y y y y y ++=+=+=++=， 展开有22

22

121212121212()()21,240442

x x x x y y y y x x y y +++++=++=，

又2

2

121212122

44(2)(2)2()414k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，

所以22

22

1244240154,14142

k k k k k -++?=?=∴=±++，