相交线与平行线-全章知识点归纳及典型题目练习

15相交线与平行线知识点梳理汇总

一、知识结构图

余角 补角

角 两线相交 对顶角

同位角

内错角 同旁内角

平行线的判定

平行线的性质

尺规作图

二、基本知识提炼整理

相交

线与

平行

（一）余角与补角

1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）0000

∠+∠=∠+∠=则23

1290(180),1390(180),

∠=∠(同角的余角或补角相等)。

（2）0000

1290(180),3490(180),

∠+∠=∠+∠=且14,

∠=∠则23

∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

（三）同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

（四）六类角

1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

（五）平行线的判定与性质

平行线的判定平行线的性质

1、同位角相等，两直线平

行

2、内错角相等，两直线平

行

3、同旁内角互补，两直线1、两直线平行，同位角相等

2、两直线平行，内错角相等

3、两直线平行，同旁内角互补

4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

平行

4、平行于同一条直线的两

直线平行

5、垂直于同一条直线的两

直线平行

（六）尺规作线段和角(了解)

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

（1）在两点间连接一条线段；

（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5、熟练掌握以下作图语言：

（1）作射线××；

（2）在射线上截取××=××；

（3）在射线××上依次截取××=××=××；

（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；

（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；

（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；

（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的

O

D

C

B A

详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。 （1）画线段××=××； （2）画∠×××=∠×××；

第五章 相交线与平行线 (分节知识点) 5.1.1相交线（详见课本第 2 页）

1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线

只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。

如图所示，直线与直线相交于点O 。

2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角

的两条边的 延长线，那么这两个角叫做对顶角。

如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角 。

4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。

如图所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠

1＋∠2＝180°。

5.1.2垂线（详见课本第 3 页）

1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一

43

21A

B

C

D

O 21

O

C

B

A

A B

C

D

1

图1

个角是角时，就说这两条直线互相，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。

2、垂线的性质

（1）（垂线公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有条直线与已知直线。

（2）（垂线推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最。

3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的线段的长度，叫做点到直线的。

4、垂线的画法（工具：三角板或量角器）

画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，

⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，

⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第 6 页）1、三线八角

两条直线被第条直线所截形成个角，它们构成了

同位角、内错角与同旁内角。如图6，直线b a ,被直线l 所截

①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F ”型

②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内）， 叫做 角（位置在内且交错）内错角是“Z ”型 ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内）， 叫做 角。同旁内角是“I ”型

2、如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角

的“三线”， 有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看， 有时又需要把图形补全。如图

温馨提示：在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪

两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确找到所需要的角。同学们要注意：并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只有当这两条直线平行时，才会有这个性质。

5.2.1平行线（详见课本第11 页）

6 B A D 2

3 4 5 7 8

9

F E

C

1、平行线的概念：在同一平面内，不的两条直线叫做平行线。

2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴；⑵。（通常把的两直线看成一条直线）.垂直是特殊的相交关系。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

3、平行线的表示方法

平行用“”表示，如图8所示，直线与直线平行，记

作∥，

读作平行于。

4、平行线的画法：

5、平行线的基本性质

（1）平行公理：经过直线一点，有且只有条直线与已知直线。

（2）平行推理：如果两条直线都和第条直线平行，那么这两条直线也。

如左图8所示

5.2.2平行线的判定（详见课本第 12 页）

1、平行线的判定方法：

（1）判定1

那么这两条直线平行。简称：

（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角，两直线a b c

F 图7

D

C B

A

图8

（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角，两直线（4）平行线的概念：如果两条直线没有交点（不），那么两直线平行。

（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线。（平行于同一条直线的两条直线也）

（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线。（垂直于同一条直线的两条直线）

5.3.1平行线的性质（详见课本第 18 页）

1、平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线，同位角。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线，内错角。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线，同旁内角。

2、两条平行线的距离

直线∥，⊥于E，⊥于F，则称线段的长度为两平行线与间的距离。

3．平行线的性质与判定是互逆的关系:

两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。

5.3.2命题、定理（详见课本第 20 页）

1、命题的概念：一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的组成：每个命题都是、两部分组成。（1）题设是事项；（2）结论是由已知事项的事项。

3、命题的表述句式：命题常写成“……，……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是，用“那么”开始的部分是。

4. 命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。

5. 定理：经过推理得到的真命题称为定理。

5.4平移（详见课本第 28 页）

1、平移变换的概念：把一个图形沿某一方向移动，会得到一个新图形的平移变换。

2、平移的特征：①大小：；②形状：；③位置：；④对应点的连线：且。

（1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

（2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.平移作图：平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，并且在作图时要注意平移的方向和距离． 【考点例析】 一、概念型考题

主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型

例1．如图1，下列条件中，不能判断直线

1l ∥2l 的是（ ）

（A ）∠1=∠3（B ）∠2=∠3（C ）∠4=∠5 （D ）∠2+∠4=1800

分析：本例可用平行线的判定方法采用排除法 使问题得以解决．

A 中∠1与∠3为内错角，∠1=∠3可得1l ∥2l ； C 中∠4与∠5是两个相等的同位角，可得1l ∥2l ； D 中∠2与∠4是两个互补的同旁内角，可得1l ∥2l 只有

B 不能确定． 答案：应选（B ）．

点评：本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理

2

1 3

4 5 1l 2l 图

的理解与运用情况． 二、计算型考题

主要考察平行线的性质；互余、互补角的性质，常以填空题为主要题型；

例2．如图2,a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（ ）

A ．180o

B ．270o

C ．360o

D ．540o

分析：此题考查平行线的性质. 点P 为两平行线间折线的拐点，可过此点作a 或b 的平

行线，并证明与b 或a 平行，从而可利用平行线的性质求解. 此题也可延长与直线b 相交，从而可利用三角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造三角形，再利用有关图形的性质证明求解.

解：过点P 作∥a ，则123∠+∠+∠=180°＋180°=360°，所以选择 C 。

点评：本题虽然是选择题型，它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识通过简单的推理计算来解

a b

M

P N

1

2

3 图2

决问题的． 三、说理型考题

例3．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图3，所示的零件，工人师傅告诉他：∥，∠40°，∠1=70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C 的度数，聪明的你一定知道∠ ．

分析：本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和

三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路．

解：方法1：连结，由∥，得∠∠180°， 从而∠180°-40°-（180°-70°）=30°

方法2：过E 作∥，由平行线的性质定理，得∠∠，∠∠，从而∠∠1-∠70°-40°=30°．

点评：本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理，借助于添加辅助线的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇到这种带有“折线”、“拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割”的思想，解决问题的办法有二：一要连结线段，构成三角形，然后运用三角

E B

A

C D

F 1 图3

形内角和定理；二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决，但解本题时，还要注意找准“内错角”，否则容易出错！ 四、操作画图型

例4．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后(如图4)，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）

A. 第一次向左拐300

，第二次向右拐300

B. 第一次向右拐500

，第二次向左拐1300

C. 第一次向右拐500

，第二次向右拐1300

D. 第一次向左拐500

，第二次向左拐1300

分析：解决本题的关键是准确地画出示意图，如图10：

答案：应选A.

点评：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果

是显然的，本题属于操作画图型中考题．

B

A 300 300 13500

D 500

13C

13

500 图4

五、开放创新型

主要考察学生的探究能力，常以解答题为主要题型． 例5．如图5，E 在直线上，B 在直线上，若∠∠，∠∠D，试判断∠A 与∠F 的关系，并说明理由．

分析：从图中可以猜测∠∠F，但题目没有告诉∥，所以需要根据已知条件说明∥． 解：∠∠F．理由： 因为∠∠，∠∠， 所以∠∠，所以∥， 所以∠∠，又∠∠D，

所以∠∠，所以∥，所以∠∠F． 的

点评：例5主要对学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力的考查，学生必须具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题．

相交线与平行线练习题

1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边

A B C D

E F G H

图5

互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为.

2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角

的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为.对顶角的性质： .

3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就

称这两条直线相互.垂线的性质：⑴过一点一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做.

5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共

顶点的角中，

⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做；

⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做；

⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做.

6.在同一平面内，不相交的两条直线互相.同一平面内的两条

直线的位置关系只有与两种.

7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线.

★推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么.

8.平行线的判定：

★⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：.

★⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：.

★⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：

.

9.★在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么

这两条直线 .

10.平行线的性质：

⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：.

⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： .

11.判断一件事情的语句，叫做.命题由和两部分组成.题设

是已知事项，结论是.命题常可以写成“如果……那么……”

的形式，这时“如果”后接的部分是＿＿＿＿＿，“那么”

后接的部分是.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做.定理都是真命题.

12.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，

图形的这种移动，叫做平移变换，简称. 图形平移的方向不一定是水平的.

平移的性质：

⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全.

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点. 连接各组对应点的线段.

13、下列语句中，是对顶角的语句为( )

A.有公共顶点并且相等的两个角

B.两条直线相交，有公共顶点的两个角

C.顶点相对的两个角

D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角

14、下列说法正确的是（）

A.两点之间，直线最短；

B.过一点有一条直线平行于已知直线；

C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；

D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

15、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，

欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A. 45o，

B. 60o，

C. 75o，

D. 80o16．如图5，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（）

A．2条B．3条C．4条D．5条

图5

17.如图，,8,6,10,

⊥===

BC AC CB cm AC cm AB cm

那么点A到的距离是，点B到的距离是，

点A、B两点的距离是，点C到的距离是．

18.如图，已知、、相交于点O，⊥，

平分∠，∠＝28°，

求∠、∠、∠的度数．

19.如图，AOC

∠与BOC

∠是邻补角，、分别是AOC

∠的平

∠与BOC

分线，试判断与的位置关系，并说明理由．

20、如图，下列说法错误的是( )

A.∠1和∠3是同位角

B.∠1和∠5是

同位角

C.∠1和∠2是同旁内角

D.∠5和∠6是内错角

21、下列图中∠1和∠2是同位角的是（）

A. ⑴、⑵、⑶，

B. ⑵、⑶、⑷，

C. ⑶、⑷、⑸，

D. ⑴、⑵、⑸

21、如图，已知∥∥，∥，平分∠，

那么图中与∠相等的角有( )

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

22、如图，已知∠1=∠B，∠2=∠C，