人教中考数学专题题库∶圆的综合的综合题附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．

（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °

（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．

要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．

【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．

（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．

试题解析：（1）连接FE，

∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，

∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．

∵，即．

∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．

（2）作图如下：

P（7，7），PH是分割线．

考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．

2．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；

（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．

试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB

，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且

DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=8

4

=2，∵BF是⊙O的切

线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．

点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．

3．（1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA=PB+PC．

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：

第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．

（2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=4

3

AC，AB⊥AC，垂足

为A，则OC的最小值为．

【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是2﹣3；（3）3

2

．

【解析】

试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；

（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=4

3

OA，连接OQ，

BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=4

3

OC，当BQ最小时，OC最小；

试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC 是直径，∴∠BAC=90°， ∵AB=AC ，∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋转可得∠QBA=∠PCA ，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB ，

∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q ，B ，P 三点共线， ∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP 2=AP 2+AQ 2=2AP 2， ∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB ，∴

2AP=PC+PB ．

（2）如图②中，连接OA ，将△OAC 绕点A 顺时针旋转90°至△QAB ，连接OB ，OQ ，

∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ， 即OC 最小值是32﹣3；

（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=

4

3

OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．

∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC =4

3

， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=

4

3

OC ， 当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2，

∴OC的最小值为3

4×2=

3

2

，

故答案为3

2

．

【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若

1

3 CF

DF

=,连

接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.

（1）求证：△ADF∽△AED；

（2）求FG的长；

（3）求tan∠E的值．

【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3)

5 4

.

【解析】

分析：（1）由AB是 O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，

继而证得△ADF∽△AED；（2）由

1

3

CF

FD

= ,CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，

则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠

5

本题解析：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，∴AD AC

=，∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；

②∵

1

3

CF

FD

=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，∴FG=CG-CF=2；

③∵AF=3，FG=2，∴225

AF FG

-=，

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.

5．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；

(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；

（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．

【详解】

（1）直线PD为⊙O的切线，

理由如下：

如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，

∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，

∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，

∴直线PD为⊙O的切线；

（2）∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，

∴∠P=30°，

∵PD为⊙O的切线，

∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，

∴0 tan30

OD

PD

=，解得OD=1，

∴PO，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；

（3）如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，

∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，

∵四边形AFBD内接于⊙O，

∴∠DAF+∠DBF=180°，

即90°+x+2x=180°，解得x=30°，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，

∵BE、ED是⊙O的切线，

∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，

∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，

∴BD=DF=BF，

∴DE=BE=DF=BF，

∴四边形DFBE为菱形.

【点睛】

本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．

6．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且

x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，

3），点B的坐标为（m，0）

（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是

_____；

（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；

（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．

【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．

【详解】

（1）

∵

30330

,3tan60 1(1)221

?--

===

-

--

，

333

3tan60

31

?

-

==

-

，

∴点S，T与A点互为“向善点”．

故答案为S，T．

（2）根据题意得：

30

3

|1|

m

-

=

-

，

解得：m1＝0，m2＝2，

经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，

∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：

3

k b

b

?+=

?

?

=

??

或

3

20

k b

k b

?+=

?

?

+=

??

，

解得：

3

k

b

?=

?

?

=

??

或

3

23

k

b

?=-

?

?

=

??

，

∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．

（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．

∵∠BOE＝60°，

∴sin60°＝3

BE

OB

=，

∴OB＝2，

∴m＝﹣2或m＝2；

当⊙B与直线y＝﹣3x+23相切时，过点B作BF⊥直线y＝﹣3x+23于点F，如图3所示．

同理，可求出m＝0或m＝4．

综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．

7．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．

（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于

点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是；

（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；

（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．

【答案】（1）P2，P3；（2）x P＜-5或x P＞-5

3

．（3）-3＜t＜2或2＜t＜2

【解析】

【分析】

（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；

（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；

（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.

【详解】

（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独

立于AB的点是P2，P3．

（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），

∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，

由

28

3

y x

y x

+

?

?

+

?

＝

＝

，解得

5

2

x

y

-

?

?

-

?

＝

＝

，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，

由

28

3

y x

y x

+

?

?

-+

?

＝

＝

，解得

5

3

14

3

x

y

?

-

??

?

?

??

＝

＝

，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-

5

3

，

∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜-5或x P＞-5

3

．

（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=2，

∴22-1，

∴T（0，22

∴当-3＜t＜2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．

如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．

OT=OH+KH-KT=4+2-3=1+2，

∴T（0，1+2），此时t=1+2，

如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．

22

∴T（0，22

∴当2＜t＜2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．

综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜2或2＜t＜2

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.

8．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．

①求证：AG＝GD；

②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？

③若AB＝10，sin∠ABD＝3

5

，求BC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；

（3）BC的长为14

5

．

【解析】

【分析】

（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE

=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；

（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；

（3）利用三角函数先求出tan∠ABD

3

4

=，cos∠ABD＝

4

5

，再求出DF、BF，然后即可求出

BC.

【详解】

（1）证明：连接AD，

∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴AD AE

=，

∴∠ADE＝∠ABD，

∵弦BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠ADE＝∠DAC，

∴AG＝GD；

（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，

∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，

∵DE ⊥AB ，

∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°， ∴△DGF 是等边三角形； （3）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°， ∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ， ∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝

35

， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB?sin ∠ABD ＝6， ∴BD ＝

22AB BD -＝8，

∴tan ∠ABD ＝

34AD BD =，cos ∠ABD ＝4

=5

BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD?tan ∠DAF ＝AD?tan ∠ABD ＝6×34＝9

2

， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣

92＝72

， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF?cos ∠DBC ＝BF?cos ∠ABD ＝72×45＝145

． ∴BC 的长为：

14

5

．

【点睛】

此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．

9．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)

设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝

1

2

(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;

(3)若10, PD ＝2. 求△ABC 各边长.

【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）91010,1510

，12

【解析】

【分析】

（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，

BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．

（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．

（3）由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．

【详解】

解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，

∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE

∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°

∴四边形BDOF是矩形

∵OD=OF=r

∴矩形BDOF是正方形

∴BD=BF=r

∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r

∵AE+CE=AC

∴c-r+a-r=b

整理得：r=1

2

（a+b-c）

（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC

∴∠AFH=∠B=90° ∵AB 与圆相切于点F ， ∴FH 为圆的直径，即O 为圆心 ∵FH ∥BC

∴∠DOH=∠ODB=90° ∴∠CPD=

1

2

∠DOH=45°

（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90° ∵PD=18 ∴DM=

1

2

PD=9 ∵10

∴22OD DM -22(310)9-9081-3 ∴tan ∠MOD=DM

OM

＝3 ∵DG 为直径 ∴∠DPG=90°

∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90° ∴∠G=∠MOD

∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90° ∴∠ADB=∠G ∴∠ADB=∠MOD ∴tan ∠ADB=

AB

BD

=tan ∠MOD=3 ∴10

∴10?10＝10 设CE=CD=x ，则10+x ，10+x ∵AB 2+BC 2=AC 2

∴10)2．10+x)2＝10+x)2 解得：10

∴

BC=1210，

AC=1510

∴△ABC各边长AB=910，AC=1510，BC=1210

【点睛】

本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．

10．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．

（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；

（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若

tan∠CAF=1

2

，求1

2

S

S的值．

【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

【解析】

【分析】

（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得

CD PB PD

==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；

（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则

OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3

4

x，代入面积公式可得结

论．

【详解】

（1）连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠BCD=90°，

∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ACB=∠G=48°；

（2）∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，

∴∠BCG=∠DAC，

∴CD PB

=，

∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，

∴CD PD

=，

∴CD PB PD

==，

∴∠BAD=2∠DAC，

∵∠COF=2∠DAC，

∴∠BAD=∠COF；

（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，

∵tan∠CAF=1

2=

CF AF

，

∴AF=2x，

∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，

∴△COF≌△OAG，

∴OG=CF=x，AG=OF，

设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，

Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，

∴（2x﹣a）2=x2+a2，

a=3

4 x，

∴OF=AG=3

4 x，

∵OA=OB

，OG⊥AB，

∴AB=2AG=3

2

x，

∴1

213

··3 22 1·24·

2

AB OG x x

S

S x x

CF AF

===．

【点睛】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：CD PB PD

==；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．