【衡水金卷】2018年衡水中学全国卷 I A 信息卷(五) 高三理数试题

5 5 ? ? 2 5 5 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

理数（五）

第Ⅰ卷（共 60 分）

一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合 M = {x | x 2

- 2x < 0}, N = {y | y = 2x

+1}，则 M ? N = （ ）

A ． (0,2)

B ． (1,2)

C ． (0,1)

D ．?

2. 已知i 为虚数单位，复数 z =

i (1+ ai ) 的虚部为 2 ，则实数 a = （ ） 1+ i

A ．1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

3. 函数 y = cos 2x + 2 s in x 的最大值为（ ）

A ．

1 B ．1

C ．

3 D ． 2

2

2

4. 如图，分别以 A , C 为圆心，正方形 ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1

个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）

1 A ．

B ．

2

π- 2 2

1 C.

4

y 2 - x 2 =

π- 2

D ．

4

> >

5. 已知O 为坐标原点，分别在双曲线 a

2 4

1(a b

2 0, b 0) 第一象限和第二象限的渐近线上取点 M , N ，

若∠MON 的正切值为 3

，则双曲线离心率为（ ）

5 5 A ．

B ．

C.

D ．

5

2

4

3

?x + 2 y ≥ 0 6. 若点(x , y ) 满足? y ≤ 2x

?x + y ≤ 3

，则 x 2 + ( y - 2)2

的最小值为（ ）

4 1 A ．

B ．

C.

D ．

5

5

5

5

3

3

)

7. 按下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3] ，则输出的 x 的取值范围为（ ）

A ．[-3,4]

B ．[-1,3] C. [-3,9] D ．[3,4]

8. 将函数 f (x ) = sin x cos(x +

π

的图象向右平移π

个单位，得到函数 g (x ) 的图象，则 g (x ) 图象的一个 3

3

对称中心是（ ）

π A. ( 6

,0)

π B. ( 3

,0)

π

C. ( ,- )

6 4

π

D ． ( ,-

) 3

4

9. (x +1)5 (C 1 x + 2C 2 x 2

+ +10C 10 x 10 ) 展开式中， x 7

项的系数是（ ）

10

10

10

A ． 50400

B ．15300 C. 30030 D ．150015

10. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）

25π A ．

4

25π B ．

16

1125π C.

4

1125π D ．

16

11. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 内的奇函数，且满足 f (2 - x ) =

f (1+ 1) + f (2 + 1 ) + + f (8 + 1

) = （ ）

f (x ) ，若在区间(0,1] 上， f (x ) = 1

，则 x

1 2 8 31 31 35 35

A.

B ．

C.

D ．

6

12

6

12

→

→

12. 过抛物线 y

2

= 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 交抛物线于点 A , B ，若 AF = λFB ，且

1

n n

100 λ∈(1

, 3 1) ) ，则 k 的取值范围是（ ）

2

A ． (1, 3)

B. ( 3,2)

C. (2,2 2) D ． ( 3,2 2)

第Ⅱ卷（共 90 分）

二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）

→ → →

13.

ABCD 中，M 为线段 DC 的中点，AM 交 BD 于点Q ，若 AQ = λAD + μAC ，则λ+ μ= ?．

14. 命题 p ：若 x > 0 ，则 x > a ；命题 q ：若 m ≤ a - 2 ，则 m < sin x (x ∈ R ) 恒成立.若 p 的逆命题， q 的

逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是

．

15. 已知函数 f (x ) = a + x - ln x ，若 f (x ) 与 f '(x )（ f '(x ) 为 f (x ) 的导函数）的图象有两个公共点，则实

数a 的取值范围是

．

π 16. 已知函数 f (x ) = sin ωx cos(ωx +

ω> 0) 在区间(0, π

) 内单调，且在区间(π,2π) 内恰有三条对称

)(

3 18

轴，则ω的取值范围是

．

三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{a n }满足 a 1 = 2, a n a n -1 + a n - 2a n -1 = 0(n ≥ 2) .

（1）求证：{1-

a n

} 是等比数列，且 a n < 2( 2n -1 - 1 2n +1 -1) +1；

（2）设 S 为数列{a }的前 n 项和，若 m ∈ N *

，且 m < S < m +1，求

m 的值.

18. 四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 为正方形， AA 1 ⊥ 平面 ABCD , M 为棱 DD 1 的中点， N 为棱 AD 的中点， Q 为棱 BB 1 的中点.

（1） 证明：平面 MNQ // 平面C 1BD ；

→ →

（2） 若 AA 1 = 2 A B ，棱 A 1B 1 上有一点 P ，且 A 1P = λA 1B 1 (λ∈(0,1)) ，使得二面角 P - MN - Q 的余弦值

为

13 21 ，求λ的值.

63

1

n n

∑

x - n (x ) 1

19. 从2017 年1月份，某市街头出现共享单车，到6 月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占60% ，骑行过共享单车的人数中，有35% 是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500 万计算，大学生人数约120 万人.

（1） 任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；

（2） 随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量 x 与乱停乱放单车数

量 y 之间的关系图表：

累计投放单车数量 x 100000 120000 150000 200000 230000 乱停乱放单车数量 y

1400

1700

2300

3000

3600

①计算 y 关于 x 的线性回归方程（其中b ? 精确到0.0001, a ? 值保留三位有效数字），并预测当 x = 250000 时，

单车乱停乱放的数量；

②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取

三个区调查单车乱停乱放数量， X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

参考公式和数据：回归直线方程 y ? = b ?x + a ? 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

∑ x i y i - nxy ∑(x i - x )( y i - y ) 5 5 b ? = i =1 = i =1 , a ? = y - b ?x . ∑ x y = 2117000000, ∑ x 2

= 1398 ?108 . n 2 2 i

i =1 ∑(x i i =1

- x )2

i i i =1 i i =1

20. 已知圆C 1 : (x +1)2 + y 2 = 1 ，圆C : (x -1)2 + y 2

= 25 ，圆 M 与圆C 、C 都相内切.

（1） 求圆心 M 的轨迹 E 的方程；

（2） 若点Q 是轨迹 E 上的一点，求证： ?QC 1C 2 中， ∠C 1QC 2 的外角平分线与曲线 E 相切.

21. 已知函数 f (x ) = (x 2

+ 2x +1)e - x

，其中e 为自然对数的底数.

（1）求函数 f (x ) 的单调区间；

2 2 n

?

+ + ≥

（2）求证： x > 0 时，[

3x e - xf (x )]?(x - 3 + 3 + ln x ) ≥ 1 . x e

请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 选修 4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2

=

?x = a cos ? 程为? y = b sin ?（ a > 0, b > 0,?为参数）.

（1） 求 a 与b 的值；

（2） 求椭圆C 上的点 M 到点 A (1,0) 距离的最小值.

3

2 - cos 2θ

，参数方

23. 选修 4-5：不等式选讲已知 a , b , c ∈ R +

.

b 3

c 3 a 3 (a 2 + b 2 + c 2 )2

（1） 求证： ； a b c ab + bc + ac

（2） 求函数 f (x ) = (ab + bc + ac )x 2

- 2(a 2

+ b 2

+ c 2

)x + b a + c 3 b + a 3 c

的零点个数.

3