圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程
１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:
222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程
2、圆的标准方程 :2
2
2
)()(r b y a x =-+-
若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是2
2
2
r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:
例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程
例2已知圆的方程2
22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程
例3.求过点(3,1)M ，且与圆2
2
(1)4x y -+=相切的直线l 的方程
例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程
例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB
长为30
x y -=上,求此圆的方程.
2. 圆的一般方程
1.圆的一般方程
将标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-=展开，整理, 得2
2
2
2
2
220x y ax by a b r +--++-=,
反过来, 将①配方得：22224()()224
D E D E F
x y +-+++=. ②
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2
2
40D
E F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;
(2)当2
240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22
D E
-
-; （３)当2
2
40D E F +-<时,方程①不表示任何图形.
结论:当2
2
40D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1)2x 和2
y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．
以上两点是二元二次方程22
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,042
2>-+FA E D ）
说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．
2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程）
例１.求过三点(0,0)O 、1(1,1)M 、2(4,2)M 的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
例２.已知圆22
80x y x y m +--+=与直线260x y +-=相交于P 、Q 两点,定点(1,1)R ，
若PR QR ⊥,求实数m 的值．
例3.若圆x 2+y 2－2ｋx +2ｙ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为
例4.(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆Ｃ1：(x +1）２
+(y －1）2=1,圆C ２与圆C 1关于直线x -y －1＝0对称,则圆C ２的方程为________＿＿____＿_．
例5．(原创题)圆x 2+y 2-4x +2y +c ＝０与ｙ轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠ＡP Ｂ=90°，
则实数c 的值是＿___＿_＿＿．
例6．已知点P (1,4)在圆Ｃ:x 2＋y 2＋2ax -4y ＋ｂ＝0上,点P 关于直线ｘ＋ｙ-３＝0的对称点也在圆C 上，则a =＿___＿___,b ＝__＿_____.
例7．过圆x 2＋y 2=4外一点P (4，2)作圆的两条切线,切点为A 、Ｂ，则△ABP 的外接圆的方程是_＿＿______＿＿＿＿＿_＿____.
3. 圆的参数方程
(1)根据三角函数的定义,cos sin x r y r θ
θ
=??
=?, ①
显然，对于θ的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。 我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程,θ是参数． (2）圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是怎样的? 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的(如图）, 由11O P OP =可以得到圆心为1(,)O a b ,
半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+??=+?
（θ为参数)
1O
(,)P x y
y
例1.把下列参数方程化为普通方程:
１.23cos 32sin x y θθ=+??=+? 2. 2
2
2121x t t y t ?=??+??=?+?
例2．如图，已知点P 是圆2
2
16x y +=上的一个动点,定点A (12,0),当点P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹是什么？
例3 在圆224x y +=上有定点A （2,０)，及两个动点Ｂ、Ｃ,且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BA Ｃ=3
π
，求△ＡBC 的重心G （x,y ）的轨迹方程
例4.：设圆??
?+-=+=θ
θsin 5,
cos 3r y r x （θ为参数)上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于１，
则r 的取值范围是
例6、已知点P （ｘ，y)是圆ｘ2+y2- 6x － 4ｙ+12=0上动点，求（1) x2+y2 的最值,
（2)x+y 的最值,
(3）P 到直线x+ｙ－ 1=0的距离d 的最值。
例7、 过点(2,1）的直线中，被圆x ２
＋y ２
-2x ＋４y=0截得的弦：为最长的直线方程是＿_
＿＿＿＿＿__;为最短的直线方程是____＿_____；
例８、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2ｘ＋４y ＝0,则x -2y 的最大值为 。
例9 已知点P(x,y)是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+ｃ≥0恒成立,求ｃ的取值范围。
例10 求函数sin 1
()cos 2
f θθθ-=
-的最大值和最小值。
3cos 2sin x y θθ
=+??
=+?
补充:已知曲线C的参数方程为
2cos
sin
x
y
θ
θ
=-+
?
?
=
?
(θ为参数）,(,)
P x y是曲线C上任意
一点，
y
t
x
=，求t的取值范围.